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Transkript Ganzrationale Funktionen – Nullstellen 1

Hallo! Ganzrationale Funktionen und deren Nullstellen, das ist hier das Thema. Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die häufig vorkommen in der Schulmathematik, vielleicht der gängigste Funktionstyp, den es da so gibt. Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm als Polynom dargestellt werden kann beziehungsweise der ein Polynom sein kann. Wie wir wissen, haben Polynome Grade und das ist auch die Art und Weise, wie man die Methoden, mit denen man Nullstellen ganzrationaler Funktionen bestimmt, strukturieren kann, nämlich nach den Graden des Polynoms. Wir fangen an beim Grad 0. Ein Polynom vom Grad 0 besteht einfach aus einer Zahl, die ich jetzt einmal hier a0 nenne. Die Funktionsgleichung, nur mal so als Beispiel, sieht dann aus wie y=2. So eine Funktion hat einen Funktionsgraphen. Hier ist ein Koordinatensystem, mal eben schnell hingezaubert. Und so sieht der Graph dieser Funktion aus mit der Funktionsgleichung y=2. Manche fragen sich: Wo ist das x? Na ja, das x ist auch da. Da steht nämlich 2x0 - x0 ist ja immer 1. Man kann also alle möglichen Zahlen für x einsetzen, es kommt hier immer 2 raus, weil x0 1 ist, ×2 ist dann natürlich 2. Wenn der Funktionsterm so aussieht, also parallel zur x-Achse verläuft, dann gibt es keine Nullstellen. Dann sind wir an dem Punkt hier direkt fertig. Übrigens, a0=0 beziehungsweise y=0 kann nicht vorkommen, wenn man es ganz genau nimmt, weil nämlich der führende Koeffizient eines Polynoms nicht 0 sein soll, wenn das Polynom nur aus dem Koeffizienten a0 besteht, dann ist das der führende Koeffizient. Und wenn der nicht 0 sein soll, na ja, dann ist er halt nicht 0 und dann können nur Funktionen vom nullten Grad auftreten hier, die nicht gleich 0 sind und damit überhaupt keine Nullstelle haben. Aber ganz so genau muss man das vielleicht nicht immer sehen. Y=0, was ist dazu zu sagen. Das ist eine Gerade, die mit der x-Achse identisch ist, also auf der x-Achse liegt, das heißt, diese Funktion besteht dann komplett aus Nullstellen. Aber das ist eigentlich auch nicht so das Thema und nicht das Interessante daran. Kommen wir zum Grad 1. Ein Polynom vom Grad 1 sieht so aus: a1x+a0. Und hier gibt es ja wieder die verschiedenen Schreibweisen. Ich kann daher auch x1 schreiben. x1 ist ja immer gleich x. Und ich kann an das a0 auch noch ein ×x0 anfügen, je nach Geschmack - ist egal. So, wenn man jetzt eine Funktion 1. Grades hat, da sollte es bei dir klingeln direkt im Kopf, das hast du nämlich schon mal gemacht. Das sind lineare Funktionen. Du hast auch Nullstellen linearer Funktionen schon bestimmt, da warst du noch ganz klein. Und das macht man einfach, indem man den Funktionsterm =0 setzt, und erhält eine Gleichung, die man mit Äquivalenzumformungen prima lösen kann. Das mache ich mal eben vor. Dazu bastle ich mir hier wieder mein ×x0 weg. Das kann ich jetzt gleich allgemein vormachen. Ich glaube, es ist so einfach, dass das hier auch allgemein funktioniert. Man kann auf beiden Seiten -a0 rechnen und dann auf beiden Seiten durch a1 teilen. Durch a1 kann man sowieso teilen, weil der führende Koeffizient nicht 0 ist. Durch 0 darf man ja nicht teilen, muss man sich immer vorher überlegen. Wenn man also -a0 rechnet auf beiden Seiten, da steht -a0 auf der rechten Seite. Danach teilt man durch a1 und dann steht hier noch das x auf der Seite. Ja, und das ist dann die Nullstelle. Übrigens, ein Graph einer linearen Funktion sieht ungefähr so aus. Einfach eine Gerade ist das. Die kann auch so verlaufen. Wir haben nur eine einzige Nullstelle. Vielleicht noch mal so als Beispiel, so wie ich den Graphen hier gezeichnet habe, könnte das ein Graph sein mit der Funktionsgleichung, ja, was ist die Steigung, vielleicht 1,5 oder 1,2, weiß ich nicht, 1,2x+, na, was haben wir hier, ein bisschen was Erhöhtes, +0,5 vielleicht. Der Graph geht ja nicht hier durch den Ursprung, sondern er verläuft etwas höher durch die x-Achse. Sage ich mal, 0,5 ist der y-Achsenabschnitt. Das kennst du schon als lineare Funktion, meistens als y=m×x+b. Ob man nun hier für a m und für 1 m und für a 0b einsetzt, ist ja nun völlig egal. Wenn du eine ganzrationale Funktion hast, die den Grad 1 hat, kannst du die Nullstelle einfach durch Nullsetzen des Funktionsterms, dann durch Äquivalenzumformungen finden. Ja, und wie das mit dem 2. Grad und höheren Graden aussieht, zeige ich dann im 2. Teil. Bis dahin - tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Danke super erklärt, dennoch habe ich eine Frage, und ich konnte keine Beispielaufgaben finden.

    Wie zeichne ich die Steigung ein?
    Wenn z.B. y = 0,5x + 1,5 ist? y = mx + b
    1,5 ist ja der y-Abschnitt (b) und wird z.B. bei 1,5 cm auf der y-Achse eingezeichnet.
    Wie finde ich also den Punkt (m) der 1,5 ist?

    Von Lila34, vor etwa 3 Jahren
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