Rotationskörper - Woher kommt die Formel? und Beispiele

Hallo, in diesem Video geht es um Rotationskörper. Ich möchte die Frage erklären, woher eigentlich die Formel des Volumens kommt und dann rechnen wir noch ein paar Beispiele. Das ist also gewissermaßen die Fortführung meines Einsteigervideos zu Rotationskörper.
Dann nehmen wir uns erst einmal einen Funktionsgraphen und lassen den um die x-Achse rotieren. Dann schreiben wir die Formel noch einmal auf: Volumen = π × ∫ab [f(x)]^2dx. Die Stellen a und b sind die Stellen auf der x-Achse, die den Körper begrenzen. Als erstes ziehen wir mal das π ins Integral rein. Und jetzt erinnern wir uns daran, wie wir eigentlich das Integral definiert hatten. Das war ein Grenzwert für ∆x gegen 0 von der Summe von i = 1 bis n, wobei n die Anzahl der Stücke war, in die wir das Intervall unterteilt haben. Und dann kommt das, was im Integral steht, aber immer an der Stelle xi, und hinten ∆x, das ist die Breite der Intervallstückchen. So, um den Grenzwert kümmern wir uns erst einmal nicht, wir gucken erst einmal was in der Summe so steht. Sagen wir mal das n ist zum Beispiel 7, dann unterteilen wir also unser Intervall ab in 7 gleich große Stücke. Und dann haben wir für i = 1 zum Beispiel π × [f(x1)]^2 × ∆x. Und f an der Stelle x1 ist ungefähr diese Höhe hier. Dann steht hier eigentlich genau die Formel für das Volumen des Zylinders, der den Radius f von x1 hat und die Höhe ∆x. Das ist r^2, das ist h und das ist π. Das wäre also dieser Zylinder hier. Wenn wir jetzt die zweite Stelle einsetzen, dann kriegen wir das Volumen des Zylinders, der als Radius f von x2 hat und Höhe ∆x, also dieser hier. Wenn ich also jetzt die anderen Stellen einsetze, kriege ich immer das Volumen des jeweiligen Zylinders, und die Summe summiert dann die ganzen Volumina auf. Das wäre also wieder eine Annäherung durch Unter- beziehungsweise Obersummen des Volumen des Rotationskörpers, und wenn man dann eben den Grenzwert anguckt, kann man sich vorstellen, dass wirklich das richtige Volumen rauskommt. Gut und jetzt nehmen wir mal als Beispiel die Funktion f(x) = x^2, zwischen den Stellen 1 und 2. Das ist der Funktionsgraph, und bei Rotation würde in etwa so ein Körper entstehen. Das wäre also so ein tiefer Teller oder eine Schüssel. Da haben wir jetzt unsere Formel und wir setzen ein: π × ∫1,2[x^2]^2dx. Das natürlich x^4 und die Stammfunktion ist 1/5x^5. Also 2^5/5 - 1^5/5 und das ergibt dann schlussendlich 31/5 π. Geht doch eigentlich ganz schnell. Jetzt nehmen wir mal die Funktion -x^2 + 4 und die Gerade -x + 2. Die sieht so aus. Die beiden schließen eine Fläche ein, und wir wollen das Volumen des Rotationskörpers wissen, der entsteht, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert. Das kann man sich also wie eine Schale vorstellen mit einer kegelförmigen Einkerbung. Um das Volumen zu berechnen, berechnen wir erst das Volumen dieses großén Rotationskörpers, der zur Funktion f gehört, und ziehen dann das Volumen des kleinen Rotationskörpers, der zur Funktion g gehört, ab. Also V = V1 - V2, V1 entsteht bei Rotation von f und V2 entsteht bei Rotation von g. V1 ist also π × ∫(-x^2 + 4)^2dx in den Grenzen von -1 bis 2, denn -1 und 2 sind die Stellen, wo f und g sich schneiden. Das müsste man also vorher eigentlich noch ausrechnen. So, das Quadrat der Funktion ist x^4 - 8x^2 + 16, und das hat die Stammfunktion x^5/5 - 8/3x^3 + 16x. Dann setzen wir zuerst die 2 ein, machen eine -Klammer auf und setzen dann die -1 ein. Es ergibt sich dann 30,6 π. V1 haben wir also schon einmal, und jetzt zu V2: Dann nehmen wir die gleichen Grenzen und quadrieren die Funktion -x + 2. Das Quadrat ist x^2 - 4x + 4, das hat die Stammfunktion x^3/3 - 4 halbe x^2, also 2x^2 + 4x. Dann setzen wir die 2 ein, machen eine -Klammer auf, setzen die -1 ein, und das ergibt für V2 dann 9 π. Unser gesuchtes Volumen ist also 30,6 π - 9 π, also 21,6 π. Okay, jetzt seid ihr eigentlich so weit, dass ihr von allen Vasen und Tassen zuhause ausrechnen könnt, wieviel Wasser reinpasst. Das war´s.