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Transkript Exponentialfunktionen – Anwendungen

In diesem Video möchte ich eine Einführung in die Exponentialfunktionen geben. Und zwar möchte ich zeigen, was die mit Wachstum und Zerfall zu tun haben, wie die Graphen aussehen und 2 typische Aufgaben geben. Exponentialfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse und Abkling- bzw. Zerfallsprozesse. Die typischen Beispiele sind da immer das Wachstum einer Bevölkerung und der Zerfall eines radioaktiven Stoffes. So, fangen wir einmal an mit dem Wachstum einer Population. Wir haben hier 3 Bakterien. Das sind Paul, Petra und Max, und die sind so fleißig, dass sie sich täglich verdoppeln. D. h. nach einem Tag sieht das dann schon so aus, nach 2 Tagen so, und nach 3 Tagen sieht man schon, dass das ganze ziemlich schnell eine große lustige Gesellschaft wird. Da haben wir nämlich schon 24 Bakterien. Jetzt tragen wir das Ganze einmal in eine Tabelle ein, und zwar immer die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Anzahl der Tage. Mit jedem Tag der dazukommt, verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Und jetzt kann man auch relativ gut ablesen, dass wenn man das als Funktion schreibt: f(x), wobei x die Tage sind und f(x) dann die Anzahl, dass das 3×2x seien muss. So sieht also eine Exponentialfunktion aus. Der Unterschied zu der Potenzfunktion ist, dass die Variable x nicht in der Basis ist, sondern im Exponenten. Der Graph der Funktion sieht dann in etwa so aus. Markant und bezeichnend für die Exponentialfunktion ist, dass mit jedem Schritt, den wir nach rechts gehen, der y-Wert mit 2 multipliziert wird. Deswegen haben wir hier die 2 stehen. Und die Zahl, bei dem der Graph die y-Achse schneidet, ist der Anfangswert, also die Anfangspopulation. Allgemein sieht eine Exponentialfunktion also so aus: f(x)=K×ax. Wenn man da 0 einsetzt, kommt auch wirklich der Anfangswert K heraus. Für das a sind übrigens nur Zahlen zugelassen, die größer als 0 sind und nicht 1. Nun zu den Eigenschaften einer solchen Funktion. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen. Der Wertebereich besteht nur aus den positiven reellen Zahlen, da eine Potenz weder negativ, noch 0 werden kann.  Der Graph zeichnet sich durch diese typische Steigung aus. Das gilt übrigens nur, wenn das a größer als 1 ist. Wenn das a kleiner als 1 ist, ist der Graph fallend. Dazu kommen wir später noch. Geht man in der steigenden Kurve ganz weit nach rechts, wird der Funktionswert unendlich groß. Geht man jedoch nach links, so nähert er sich der 0 an. Der fallende Graph hingegen nähert sich mit steigendem x der 0 an und wird für kleineres x immer größer. Ist die Basis a größer, steigt auch die Funktion schneller. Ist die Basis kleiner, dann steigt die Funktion ein bisschen langsamer. So, jetzt wollen wir einmal ein bisschen rechnen. Eine Population von 600 Bakterien wächst stündlich um 20%. Wie viele Bakterien gibt es nach 3 Stunden? Die Anfangsmenge ist also 600 und wenn stündlich aus 100% 120% werden, dann ist der Wachstumsfaktor also 1,2. D. h. wir können die Wachstumsfunktion schon ganz genau aufschreiben. Für das x, das ist ja die Zeit, setzen wir jetzt die 3 Stunden ein - und da kommt dann ungefähr 1037 heraus. Die zweite Frage ist jetzt: Wann sind es 100.000 Bakterien? Das K und das a kennen wir schon. Und wir suchen jetzt das x,  für das als Funktionswert 100.000 herauskommt. Da schreiben wir also die Funktion auf und setzen sie gleich 100.000. An dieser Stelle wird es dann ein bisschen kniffelig, da muss man auf die ganze Gleichung den Logarithmus zur Basis 1,2 anwenden. So, dann sind es also nach ungefähr 28 Stunden 100.000 Bakterien. Kommen wir jetzt zum Zerfall. Von einem 5 kg schweren radioaktiven Stoff zerfallen jährlich 30%. D. h. nach 1 Jahr sind noch 70% übrig, nach 2 Jahren 70% von 70%. Der Zerfallsfaktor ist also 0,7. Damit kennen wir die Funktion also schon wieder vollständig und diesmal sieht man, dass das a kleiner als 1 ist. Ein sehr wichtiger Begriff bei Zerfällen ist die Halbwertszeit, damit ist die Zeit gemeint, die vergeht, bis sich die Menge des Stoffes halbiert hat. Okay, jetzt machen wir noch eine Zerfallsaufgabe: Von einem radioaktiven Stoff sind ursprünglich 1250 g vorhanden. Nach 3 Jahren sind es nur noch 10 g. Welche Zerfallsrate hat der Stoff pro Jahr? Wir kennen also die Anfangsmenge und wir kennen die Menge nach 3 Jahren - und wir suchen das a. Wir schreiben f(3) auf und setzen alles ein, was wir schon kennen. Als Ergebnis muss 10 herauskommen. Es ergibt sich dann: a=1/5 bzw. 20% oder 0,2. Nachdem wir nun a kennen, wird noch nach der Halbwertszeit des Stoffes gefragt. Wir wollen also das x bestimmen, für das am Ende die Hälfte, also 625 herauskommt. Hier wendet man dann den Logarithmus zur Basis 0,2 an und erhält: x=0,43 Jahre. Das sind ungefähr 5 Monate und 7 Tage. Okay, das war es zu den Exponentialfunktionen.

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15 Kommentare
  1. Default

    super video, aber viiieeellll zu schneeelll!!!!!!!!

    Von Zina Almutwali, vor 11 Monaten
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Hpneusser,

    jährlich zerfallen 30% bedeutet, dass noch 70% übrig sind, dass es also jedes Jahr im Vergleich zum Vorjahr von 100% auf 70% fällt. Man muss hier ganz genau auf die Wortwahl achten:
    Etwas sinkt / fällt UM 30% bedeutet von 100% UM 30% AUF 70%.
    Etwas sinkt / fällt AUF 30% bedeutet von 100% AUF 30% (und demnach UM 70%). Der Zerfallsfaktor ist der, der sich aus der "AUF"-Angabe ergibt.
    In dem Fall im Video war es noch ein wenig schwieriger, weil ich weder "AUF" noch "UM" gebraucht benutzt habe. Es zerfallen 30% bedeutet dabei, dass 30% wegfallen, also von 100% dann noch 70% übrig sind.

    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor 12 Monaten
  3. Default

    Wäre der Zerfallsfaktor nicht 0,3 ? Wegen den 30%?

    Von Hpneusser, vor 12 Monaten
  4. Default

    eins der wenigen guten Videos zu dem Thema , Sehr gut :)

    Von Cemil Akat, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Super, vielen, vielen lieben Dank!!!! Das Video ist echt klasse!
    Grüßle

    Von Lucy Post, vor fast 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Lucy,
    0,43 Jahre heißt 0,43 von einem Jahr bzw. 43% von einem Jahr. Ein Jahr hat 365 Tage, man berechnet also 43% von 365 Tagen, oder 0,43 * 365 Tage, das Ergebnis ist 156,95 Tage, also 157 Tage. Da man normalerweise mit 30 Tagen pro Monat rechnet, kommt man auf 5 Monate und 7 Tage.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Hallo Steve,

    eine Frage, wie und warum werden aus 0,43 die 5 Monate und 7 Tage

    Viele Grüße

    Von Lucy Post, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Das video ist zu schnell

    Von Annaluna19, vor etwa 2 Jahren
  4. Img 1552

    Cool, danke Steve. Es hat geklappt :)!!

    Von Oana Danescu, vor mehr als 2 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Oana,

    gute Frage! Hierzu nutzt man ein Rechengesetz der Logarithmen. Es gilt nämlich "log aus b zur Basis a" = log b / log a. Das heißt, log aus 166,6 zur Basis 1,2 = (log 166,6) / (log 1,2). Als Tastenfolge wäre das "166,6 log : 1,2 log = ". Die Regel gilt sogar für beliebige Basen, also "log aus b zur Basis a" = ln b / ln a = log b zur Basis 2 / log a zur Basis 2.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  6. Img 1552

    Steve T. wie gebe ich log1,2^166.6 im taschenrechner ein um das ergebnis auszurechnen?? Videostelle 4.18

    Von Oana Danescu, vor mehr als 2 Jahren
  7. Default

    Meiner Meinung nach der beste unter den Tutor

    Von Abdulhaye, vor fast 4 Jahren
  8. Default

    also ich hatte vorkenntnisse und zum Auffrischen is dieses video perfekt :) Ich muss sagen du erklärst sowieso am besten ;)

    Von Maximilian Haupt, vor etwa 5 Jahren
  9. Default

    Wirklich Gut!

    Von Mgrip, vor fast 6 Jahren
  10. N1592936277 4623

    Hallo!
    Super Video! wie wäre es, ein Video über begrenztes Wachstum (Abi BW) zu machen? wäre super!

    Von Abi2011, vor fast 6 Jahren
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