Kap2 Theorie 2: Basis des IR^n, lineare Hülle, Erzeugendensystem

Hallo ich bin Sergej.
In diesem Video geht es um den Begriff Basis des Raumes R^n. Das ist das Zentrale in diesem Video. Wir besprechen die allgemeine Definition und drum herum gibt es sehr viel Veranschaulichung. Als Nebenprodukte dieser Diskussion ergeben sich die Begriffe "Erzeugendensystem" und "Spann" oder auch "lineare Hülle", lineare Hülle ist dasselbe wie Spann.
Lasst uns gleich anfangen mit einer Veranschaulichung, bevor wir zu der exakten Definition kommen.
Was ist nun eine Basis? Über die Basis sollte man sich im Wesentlichen Folgendes merken: Basis ist eine Familie von Vektoren, das heißt 2, 3, 4, 10 oder 20 Vektoren mit den folgenden Eigenschaften: Durch sie kann man jeden weiteren Vektor eindeutig linear kombinieren.
Was bedeutet das?
Wir betrachten die Ebene, das ist R², zweidimensionaler Raum und ich behaupte auf der Ebene sind beliebige zwei Vektoren, die von 0 verschieden sind und in verschiedene Richtungen zeigen. Beliebige 2 Vektoren bilden eine Basis. Was bedeutet denn das?
Ich hab ja gesagt, Basis ist eine Familie von Vektoren, durch die man jeden weiteren Vektor linear kombinieren kann. Wie geht das in diesem Fall auf dem Bild?
Nehmen wir mal einen beliebigen Vektor und sehen wir jetzt genau auf dem Bild, wie geht denn diese lineare Kombination. Also ich nehme hier den Vektor, sag ich mal hier unten, ja? Ist ein bisschen schief gezeichnet, also bessere Zeichnung. Das ist ein Vektor, ich sage mal v und jetzt wollen wir sehen, wie lässt sich der Vektor v aus den gegebenen Vektoren a und b linear kombinieren. Und am besten, der Vektor v liegt ziemlich weit unten, deswegen, wenn ich den Vektor v mit dem Vektor b erreichen will, dann gehe ich mit dem Vektor b nach hinten, das heißt, ich betrachte den Vektor -b. Und der Vektor v liegt unterhalb von a, dann nehme ich am besten die Hälfte von a. Ich betrachte den Vektor ½a, hier ist der Vektor, und das ist auf dem Bild klar, wenn ich die Summe von den beiden schwarzen Vektoren nehme, nach der Parallelogrammregel, dann bekomme ich den Vektor v.
Also, der Vektor v lässt sich so scheiben: v=½a-b. Und auf diese Weise haben wir den Vektor v aus den Vektoren a und b linear kombiniert. Es ist absolut klar, dass das für einen beliebigen Vektor v auch geht. Wenn der Vektor v meinetwegen hier oben wäre, dann müssten wir a und b mit geeigneten Zeichen multiplizieren, addieren und dann bekommen wie Vektor v mit positiven Zahlen.
Wenn der Vektor v hinten wäre, dann müssen wir a und b mit negativen Zahlen multiplizieren, also nach hinten gehen mit den Pfeilen, die Pfeile dann addieren nach der Parallelogrammregel und dann bekommen wir jeden beliebigen Vektor v, der da hinten liegt. Also es gilt für jeden Vektor v. Das ist der wesentliche Teil der Definition: Basis ist eine Familie von Vektoren, durch die man jeden weiteren Vektor linear kombinieren kann.
Nun widmen wir uns der Frage, ob die Darstellung eindeutig ist. So, und dazu wollen wir folgendes Spiel treiben: Wir nehmen zwei Zahlen α und β incognito Zahlen: Seien α und β Zahlen mit der folgenden Eigenschaft: Wenn ich den Vektor a mit α multipliziere und Vektor b mit β multipliziere und dann das alles zusammen addiere, dann habe ich meinen Vektor v, diesen hier. Was kann man über die Zahlen α und β aussagen?
Dieser Frage gehen wir in den nächsten zwei Minuten nach oder einer Minute.
Also von Vektor v ist schon bekannt, Vektor v ist ½ des Vektors a - der Vektor b. Was lässt sich dann über a, α und β aussagen und was lässt sich folgern? Also daraus ergibt sich auf jeden Fall schon die Gleichung αa+βb=½a-b. Ich hab einfach nur den Vektor v weggelassen. Und ich kann natürlich die Vektoren, die auf der rechten Seite stehen auf die linke Seite bringen, da wechsel ich einfach nur die Vorzeichen. Da habe ich -½a+b und auf der rechten Seite bleibt der Nullvektor stehen. Als Nächstes kann ich die Koeffizienten bei a und b sammeln. Die Koeffizienten bei a sind α und -½. Die Koeffizienten bei b sind β und 1 und das ist alles gleich 0.
Jetzt kommt ein sehr wichtiges Argument. Die Vektoren a und b liegen nicht auf einer Linie, das heißt, diese beiden Vektoren sind linear unabhängig voneinander. Und aus der Definition der linearen Unabhängigkeiten kennen wir folgende Eigenschaft. Wenn ich zwei voneinander unabhängige Vektoren a und b linear kombiniere, so, dass die lineare Kombination gleich dem linearen Nullvektor ist, dann folgt daraus, dass die Koeffizienten der linearen Kombinationen selber die Nullen sind.
Also man kann linear unabhängige Vektoren nur trivial zu 0 kombinieren. Das heißt, daraus folgt, dass diese beiden Koeffizienten bei a und b selber 0 sind, also α-½=0 und β+1=0. Das ist das Selbe wie α=½ und β=-1.
Nun schauen wir noch einmal diese Gleichung an. Wir haben gerade gefolgert, dass α nur notwendigerweise ½ ist und β notwendigerweise -1 ist. Also v lässt sich durch diese lineare Kombination aus a und b darstellen, aber das wussten wir schon am Anfang. Also wir haben schon gewusst, dass das eine lineare Kombination ist, die den Vektor v ergibt. Und hier haben wir gesehen, dass dies die einzige lineare Kombination ist. Das heißt alpha und beta mit der Eigenschaft, dass sie Koeffizienten der linearen Kombination für a und b sind, die v ergeben. Alpha und beta mit dieser Eigenschaft sind schon eindeutig festgelegt. Also es gibt keine anderen alphas und betas nur ½ und -1.
Also wir haben gesehen, dass diese lineare Kombination auch eindeutig ist und das ist das Wesentliche für eine Basis, das soll man sich merken. Nun soll man daraus die exakte Definition machen, die Definition aufschreiben, so wie sie in jedem Lehrbuch steht. Zuvor wollen wir aber erstmal die Begriffe lineare Hülle, Spann und Erzeugendensystem einführen.
Nun definieren wir den Begriff "Spann". Gegeben ist eine Familie von Vektoren v1 bis vk, irgendwelche Vektoren. Nun betrachten wir alle Vektoren, die sich linear aus diesen Gegebenen kombinieren lassen. Die Menge aller möglichen linearen Kombinationen. Die werfen wir in einen Topf und diesen Topf nennen wir Spann oder lineare Hülle der gegebenen v1-vk.
Span wird oft so bezeichnet. Man schreibt nur ein n, das ist das englische "Span". Wir lesen es trotzdem so: Span der Vektoren v1-vk, das ist die Bezeichnung und jetzt noch einmal die Definition formal geschrieben. Also sie besteht aus linearen Kombinationen, also alpha 1, v1+alpha 2, v2 und so weiter bis alpha k, vk. Wobei alphas beliebige reelle Zahlen sind. α1 - αk sind reelle Zahlen. Das ist der Spann oder die lineare Hülle der Vektoren v1 - vk.
Wie sehen die Dinge konkret aus? Für einen Vektor, der von 0 verschieden ist, ist Span oder Spann die Menge aller Vektoren, die einfach nur proportional zu Vektor v sind und geometrisch ist das einfach die Gerade, die den Vektor v enthält. Sie geht natürlich durch den Ursprung.
Für zwei linear unabhängige Vektoren v, w, das heißt, sie liegen nicht auf einer Geraden, sie sind linear unabhängig. Der Span ist die Menge der linearen Kombinationen von diesen Vektoren und geometrisch ist das die Ebene, die die beiden Vektoren enthält. Hier ist sie.
Nun definieren wir den Begriff Erzeugendensystem, des R^n. Wir nehmen die Vektoren v1 bis vk, wir nehmen eine Vektorenfamilie und bilden Span davon. Der Span besteht selber aus Vektoren. Es ist klar, dass diese Menge im Raum R^n enthalten ist, das ist triviale Weise der Definition. Wenn hier aber nicht die Inklusion, sondern die Gleichheit besteht. Wenn die Gleichheit besteht, so nennt man die Vektorenfamilie ein Erzeugendensystem des Raumes R^n.
Was bedeutet das im Einzelnen? Das bedeutet, dass jeder Vektor im Raum R^n sich linear aus den Vektoren v1 bis vk kombinieren lässt. Das heißt, zu jedem Vektor sage ich mal w im Raum R^n, gibt es Koeffizienten α1 bis αk, reelle Zahlen mit der folgenden Eigenschaft. Der Vektor w ist die lineare Kombination der Vektoren v1 bis vk mit den Koeffizienten α. Das ist ein Erzeugendensystem.
Nun kommen wir zum Begriff der Basis. Eine Vektorenfamilie v1 bis vk heißt Basis des R^n, falls diese Vektoren ein Erzeugendensystem bilden und linear unabhängig sind. Diese zwei Eigenschaften.
Was bedeutet das im Einzelnen. Wie wir schon gesehen haben, Erzeugendensystem bedeutet, dass für jeden Vektor w in R^n, Koeffizienten α1 bis αk existieren. Also, dass der Vektor w sich als lineare Kombination von Vektoren v darstellen lässt, mit Koeffizienten alphas. Das haben wir schon gesehen.
Das ist die Eigenschaft Erzeugendensystem zu sein.
Nun, was liefert denn lineare Unabhängigkeit? Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass diese Koeffizienten alphas eindeutig sind. Und das bezeichnet man mit dem Ausrufezeichen. Das heißt, es existieren eindeutige alphas, sodass man diese lineare Kombination hat. Das ist der Begriff der Basis.
Welche Beispiele gibt es denn für Basen? Wir wir am Anfang des Videos gesehen haben, auf der Ebene ist Basis durch beliebige zwei Vektoren gegeben, die von 0 verschieden sind und in verschiedene Richtungen zeigen. Auch im dreidimensionalen Raum ist die Basis durch beliebige 3 Vektoren gegeben, die von 0 verschieden sind und nicht in einer Ebenen enthalten sind. Das kann man wie am Anfang des Videos grafisch anschaulich überlegen. Was soll man sich merken?
Vektorenfamilie v1 bis vk heißt Basis, falls jeder Vektor w des Raumes R^n sich eindeutig linear kombinieren lässt. Das ist dass, was wir am Anfang des Videos diskutiert haben.
Eine wichtige Bemerkung zur Definition von Basis und Erzeugendensystem. Wir betrachten eine Familie bestehend aus k Vektoren im n-dimensionalen Raum R^n. Wenn diese Familie ein Erzeugendensystem des R^n bildet, dann ist die Anzahl der Vektoren k größer gleich der Dimension des Raumes n. Größer gleich. Wenn wir wissen, dass diese Familie eine Basis des R^n bildet, so müssen die beiden Zeilen übereinstimmen. Die Anzahl der Vektoren in der Familie ist gleich der Dimensionen des Raumes. Das ist eine sehr wichtige Eigenschaft und daraus ergibt sich eine nützliche Handhabe für die Übungsaufgaben.
Wenn wir, ich sage mal im dreidimensionalen Raum, r^3 zwei Vektoren bekommen und gefragt wird, ob das ein Erzeugendensystem ist, dann ist die Antwort: nein, aufgrund der ersten Eigenschaft. Und optional oder zusätzlich möchte ich diese Eigenschaft begründen, für diejenigen von euch, die den Algorithmus von Chaos kennen.
Dazu schreibe ich die übliche Gleichung, die wir schon oft in diesem Video gesehen haben: Also ein Vektor w, also ein Vektor aus R^n wird dargestellt als lineare Kombination aus den Vektoren vs mit den Koeffizienten alpha. Also α1×v1+ und so weiter und so fort, αk×vk ist der Vektor w. Also die Eigenschaft Erzeugendensystem zu sein, bedeutet, dass für jeden Vektor w diese Koeffizienten alphas existieren, sodass die Gleichung erfüllt ist. Das kann man als lineares Gleichungssystem sehen, bezüglich alphas. Das heißt, für jede rechte Seite w ist dieses Gleichungssystem lösbar, wenn das ein Erzeugendensystem ist.
Nun überlegen wir uns, was passiert, wenn k echt kleiner als n ist. K ist in dem Fall Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix. Wenn die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix des Systems kleiner als die Anzahl der Zeilen ist, dann kann man immer die rechte Seite w so wählen, dass der Rang der Koeffizientenmatrix ungleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Und in diesem Fall ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Also wenn kn sein, wenn es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Die Begründung zum 2. Punkt: Basis zu sein bedeutet, dass dieses Gleichungssystem für die beliebige rechte Seite eindeutig lösbar ist, dass die Lösung eindeutig ist. Und wenn wir k, die Anzahl der Vektoren oder die Anzahl der Spalten des Koeffizientenmatrixsystems größer nehmen als n, größer als die Anzahl der Zeilen, dann wird der Rang der Matrix, der Koeffizientenmatrix immer kleiner sein, als die Anzahl der Spalten und das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Wenn es unendlich viele alphas gibt, die das hier realisieren, das bedeutet, dass die lineare Kombination nicht eindeutig ist. Also, wenn wir Eindeutigkeit gewährleisten wollen, muss k=n sein, nach dem Algorithmus von Gauß.
Die Leute, die den Algorithmus von Gauss nicht kennen, sollen sich einfach nur das merken, diese Ungleichungen oder Gleichungen.
Unter allen Basen des R^n gibt es eine ausgezeichnete Basis, die sogenannte Standardbasis. Sie besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren. Ja n-Stück. Der erste kanonische Einheitsvektor hat 1 an der ersten Stelle und sonst sind die Nullen. Der 2. kanonische Basisvektor hat an 2. Stelle 1 und sonst hat man die Nullen und so weiter bis zum n-ten Vektor. Das ist eine Basis des R^n. In der Tat jeder Vektor a mit der Komponenten α1 bis αn lässt sich als lineare Kombination dieser Vektoren dieser kanonischen Einheitsvektoren schreiben in offensichtlicher Weise. Man schreibt einfach nur die Komponenten α1, α2 vor die kanonischen Basisvektoren und fertig ist die Darstellung. Tatsächlich a ist gleich der Linearkombination aus den kanonischen Einheitsvektoren. Das ist diese Eigenschaft, dass diese e's eine Erzeugendensystem ist und diese Darstellung ist auch eindeutig, das ist auch Basiseigenschaft.
Das ist der Begriff der Basis und auf dieser Seite gibt es einige Übungsaufgaben wo wir die Begriffe Basis und Erzeugendensystem üben an verschiedenen Beispielen. Ich hoffe das war informativ dieses Video, ich danke euch fürs Zuschauen.