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Transkript Einführung in das Rechnen mit Logarithmen

Hallo, mein Name ist Thomas und herzlich willkommen zum ersten Teil meiner Logarithmus-Trilogie. Ihr werdet in diesem Video lernen: Was ist ein Logarithmus? Welche wichtigen Logarithmen gibt es? Und außerdem werden wir noch ein paar einfache Rechenbeispiele durchgehen. Klären wir zunächst einmal: Was ist eigentlich ein Logarithmus? Ein Logarithmus ist im Allgemeinen die Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion. Als Ausgangsproblem betrachten wir die Gleichung: 10n=100. Natürlich ist die Lösung in diesem Fall hier trivial, also n=2, aber dies soll auch nur ein einfaches Beispiel zum besseren Verständnis darstellen. Um Probleme dieser Art zu lösen, können wir den Logarithmus verwenden. Aber zunächst einmal formal: Was ist ein Logarithmus? Für die Variablen x,y und n Element der reellen Zahlen, mit den Einschränkungen x,y>0 und x?1 gilt: xn=y ist äquivalent zu n=logx(y) oder ihr könnt es auch aussprechen mit: Logarithmus von y zur Basis x. Wenn man sich die beiden Gleichungen genauer anschaut, ergibt sich auch noch ein anderer Zusammenhang. Wenn man nämlich in der linken Gleichung für das n den Term aus der rechten Gleichung einsetzt, ergibt sich: xlogx(y)=y. Auf diesen Zusammenhang werden wir dann später noch zurückkommen. Zunächst einmal möchte ich euch aber erklären, warum die Einschränkungen der vorher genannten Variablen notwendig sind. Beginnen wir mit der Einschränkung x und y müssen >0 sein. Nehmen wir mal an, x wäre = 0 und nehmen wir analog dazu das Beispiel: log0(4)=n. Die Exponentendarstellung davon wäre 0n=4 und an dieser Stelle sehen wir, dass es im Bereich der reellen Zahlen dafür keine Lösung gibt. Betrachten wir nun den Fall, dass y<0 wäre und nehmen dafür an, dass y=-4 ist und schauen uns dann analog dazu das Beispiel log2(-4)=n an. Wenn wir das nun wieder in die Exponentenform bringen, also 2n=-4 sehen wir auch an dieser Stelle, dass es dafür keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen gibt. Setzen wir y=0, so kommen wir in einem ähnlichen Beispiel am Ende zu dem Schluss, dass auch dies keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat. Betrachten wir nun die Einschränkung, x?1. Nehmen wir mal an, x wäre 1 und betrachten wir analog dazu das Beispiel log1(4)=n. Wenn wir dieses wieder in die Exponentenform bringen, also 1n=4 sehen wir auch an dieser Stelle, dass es dafür im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung gibt. Abschließend möchte ich noch etwas genauer auf eine spezielle Einschränkung eingehen. x, also die Basis des Logarithmus, darf nicht negativ sein. Zum besseren Verständnis zunächst aber ein kleiner Exkurs in die Wurzelrechnung. Wie ihr sicherlich wisst, darf man aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen, obwohl es manchmal möglich scheint. Zum Beispiel könnte man meinen, dass die dritte Wurzel aus -8 gleich -2 ist, da ja (-2)³=-8 ist, dennoch ist in der Mathematik die Wurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Warum? Weil beim Rechnen mit einem solchen Terms verschiedene Wurzelgesetze verletzt werden könnten. Sehr ähnlich ist dies auch bei Logarithmen mit negativen Basen. Um euch das an einem Beispiel zu verdeutlichen, muss ich allerdings schon mit einer Rechenregel vorweggreifen. Vertraut mir in dem Fall, das stimmt so. Nehmen wir mal an, wir haben den log-2(4). Laut der Rechenregel könnte man diesen Logarithmus auch als ln4/ln-2 aufschreiben. Ln ist der Logarithmus naturalis, also der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl als Basis. Okay und wo ist dann das Problem? Nach der Umformung haben wir unter dem Bruchstrich den Logarithmus von -2 zur Basis e und genau hier liegt das Problem. Laut einer der vorigen Einschränkungen darf der Numerus eines Logarithmus nicht negativ sein, das wurde in diesem Fall verletzt. Ich werde jetzt aber nicht tiefer in die Problematik einsteigen. Wer das gerne möchte, dem empfehle ich wärmstens ein Mathematikstudium. Das Einfachste wird sein, ihr merkt euch, dass die Basis eines Logarithmus nicht negativ sein darf. Nach so vielen Einschränkungen zeige ich euch nun ein paar Beispiele, die funktionieren: Der log10(100)=2. Wem das jetzt noch nicht so ganz klar ist, der schaut sich einfach noch mal die Exponentenform an. Also 10²=100. Der log4(2)=½, auch hier hilft die Exponentenform, um sich das noch einmal zu verdeutlichen. 4^½ oder man könnte es auch als Wurzel 4 ausdrücken, =2. Etwas komplizierteres Beispiel: log3(1/27)=-3. Das Ganze noch einmal in der Exponentenform: 3^-3 oder anders ausgedrückt, 1/3³=1/27. Bei Logarithmen mit einer bestimmten, sehr häufig vorkommenden Basis hat man eine verkürzte Schreibweise eingeführt. Diese stelle ich euch nun im Einzelnen vor. Der sogenannte "Dekadische Logarithmus" ist der Logarithmus zur Basis 10 und wird verkürzt als lg geschrieben. Beim sogenannten "Natürlichen Logarithmus" ist die Basis e, also die Eulersche Zahl, und dieser wird verkürzt als ln geschrieben. Beim "Dyadischen Logarithmus" ist die Basis 2 und dieser wird verkürzt als ld geschrieben. Noch eine Besonderheit: Der Logarithmus ohne Basis kann unterschiedliche Bedeutung haben und diese hängt vom verwendeten Kontext ab. So ist er zum Beispiel in der Informatik oft mit dem Logarithmus dualis gleichzusetzen, in technischen Anwendungen wiederum mit dem dekadischen Logarithmus oder auch mit dem natürlichen Logarithmus in der Mathematik und Physik. Nun sind wir am Ende des ersten Teils meiner Logarithmus-Trilogie angelangt. Ihr solltet nun wissen, was der Logarithmus ist, wie man ihn anwendet und auch mit den verschiedenen Schreibweisen vertraut sein. Für Fragen, Lob oder Kritik könnt ihr einfach die Kommentarfunktion auf sofatutor.com nutzen. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit und sage tschüss, bis zum nächsten Video.

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4 Kommentare
  1. Default

    Hallo Thomas,
    der Audio Kanal ist nicht zur Mitte verlegt worden, deshalb hört man mit dem Kopfhörer manchmal nur von der linke Seite, manchmal rechts und ein paar Minuten normal.
    Jetzt zum Video, für mich war es ein wenig zu schnell. Aber vielleicht liegt es an meine Vorkenntnisse.

    Gruss
    Aby

    Von Mastermind, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    super, danke!

    Von Fibroe, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    gut!

    Von Tobias Beule, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Danke, tolles Viedeo. Dein Tempo wie Du erklärst ist sehr gut.

    Von Buchi81, vor fast 4 Jahren