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Transkript Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Hallo. Wie kannst Du Gleichungen lösen, ganz allgemein zusammengefasst. Das funktioniert im Prinzip immer mit Äquivalenzumformungen und ich möchte kurz sagen, welche das sind, welche Möglichkeiten Du für Äquivalenzumformungen hast. Hier konstruiere ich mal eine Gleichung, das ist die Gleichung X=2, da siehst Du, was Du einsetzen musst, damit die Gleichung richtig ist, nämlich 2, das habe ich hier auch gemacht. Äquivalenzumformung 1: wie Du Dir das vielleicht merken kannst, ist auf beiden Seiten etwas addieren. Das tue ich jetzt auch, diese beiden grünen Klötze kommen auf diese beiden Seiten. Das, was Du für X einsetzen musst, ändert sich nicht, erste Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformung 2: Könnte sein, auf beiden Seiten etwas abziehen. Das kann ich einmal dadurch machen, indem ich zum Beispiel zwei Klötze hier in den negativen Bereich lege und im Prinzip ist die Gleichung hier auch in der Waage, also im Gleichgewicht. Auch die Gleichungswaage ist im Gleichgewicht hier. Etwas abziehen, ist die zweite Äquivalenzumformung, natürlich das Gleiche, die gleiche Zahl auf beiden Seiten abziehen oder den gleichen Term abziehen. Du kannst hier auch variablen auf beiden Seiten abziehen. Ich kann dieses Abziehen auch dadurch zeigen, indem ich hier diese beiden Klötze aus dem positiven Bereich gleichzeitig wegnehme, das bleibt sich eins.

Äquivalenzumformung 3: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren. Ich werde hier beide Seiten mit 2 multiplizieren, das bedeutet, ich habe statt einem x jetzt 2 x und statt 2, lege ich hier 4 hin, dann ist die Gleichungswaage wieder im Gleichgewicht und die Gleichung ist richtig und an der Lösungsmenge hat sich nichts geändert. Das ist die dritte Äquivalenzumformung, etwas auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren. Was kann die Vierte sein? Auf beiden Seiten durch die gleiche Zahl teilen. Was bietet sich hier an? Ich könnte natürlich durch 2 teilen, damit es nicht ganz so langweilig wird. Nehme ich die Gleichung 3x=6 und die teile ich jetzt durch 3, das bedeutet diese 3x, wenn ich die durch 3 teile, dann bleibt noch 1x übrig, das ist also mit dem teilen durch 3 gemeint. Es bleibt 1/3 übrig, hier kann ich die 6 durch 3 teilen und es bleiben 2 übrig, 1/3 der 6 bleibt übrig und dann ist die Gleichung wieder richtig. Die Lösungsmenge hat sich nicht geändert. Das ist die vierte Äquivalenzumformung, durch dieselbe Zahl teilen und das auf beiden Seiten. Was ich jetzt noch nicht erwähnt habe, sind diese Äquivalenzumformungen, die immer so ein bisschen unter den Tisch fallen, und zwar sind das alle Termumformungen. Das heißt, Du kannst zum Beispiel im negativen und im positiven Bereich eine 1 addieren dann steht hier -1+3, und zwar auf der linken Seite. Eine Termumformung ist jetzt zum Beispiel, dass Du das hier erst mal ausrechnest. Du rechnest -1+3, das ist nämlich 2 und Du kannst dann diese Seite, wo -1+3 gestanden hat, durch das Ergebnis ersetzen, also durch 2 ersetzen. Du kannst auch, wenn Du mehrere Variablen hast, alle möglichen Termumformungen einfach auf einer Seite machen, denn eine Termumformung bedeutet ja, dass Du den gleichen Term, also einen ergebnisgleichen Term hinschreibst. Du schreibst also nicht den gleichen hin, aber einen anderen, der aber ergebnisgleich ist und das kannst Du immer auf einer Seite machen, weil ja dann ein ergebnisgleicher Term wieder da steht. Die Termumformungen zeige ich jetzt hier im Moment nicht alle, weil ich in diesem Anfangsstadium zu wenig Variablen habe, das kommt später noch mehr, noch intensiver. Was auch noch oft unter den Tisch fällt und man traut es sich schon gar nicht zu sagen, ist natürlich, Du kannst die Seiten der Gleichungen umkehren, Du kannst die Seiten der Gleichungen vertauschen. Das ist klar, denn wenn die eine Seite gleich der anderen ist, dann ist auch die andere Seite gleich der einen Seite und man weiß gar nicht, wie man es erklären soll. Auf jeden Fall, Du kannst die Gleichungsseiten vertauschen und das sind für den Anfang eigentlich alle Äquivalenzumformungen, die Du in einer Gleichung machen kannst. Ich zähle sie noch mal auf: Auf beiden Seiten etwas addieren, dasselbe natürlich addieren auf beiden Seiten, das Gleiche abziehen auf beiden Seiten, mit derselben Zahl multiplizieren auf beiden Seiten, durch die gleiche Zahl teilen. Termumformungen auf einer der Seiten machen oder die beiden Seiten tauschen. Dann viel Spaß damit, beim Gleichungslösen. Bis dann, tschüss.      

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14 Kommentare
  1. Felix

    @Hanno Weber: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin Buettner, vor 6 Monaten
  2. Default

    Ich hab das ganze Video akustisxh,wie sachlich nicht verstanden!!!

    Von Hanno Weber, vor 6 Monaten
  3. Default

    sehr gut erklärt

    Von Jacqueline 2, vor 8 Monaten
  4. Felix

    @Kojomintah1: Das Wichtigste ist doch, dass man weiß, was hinter Äquivalenzumformungen steckt. Wenn du Gleichungen umstellst und Gleichungswaagen verstanden hast, befolgst du nicht blind die Regeln für Äquivalenzumformungen, sondern hast gleichzeitig die anschauliche Vorstellung einer Gleichungswaage im Hinterkopf.
    Gerne kannst du dieses Video zur Widerholung oder als Einstieg in diese Thematik nutzen.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Wenn mann nächstes Jahr in die 9. klasse kommt und das Video anschaut um die achte klasse zu wiederholen oder ist das video für die 7. Klässler die dann in die 8 klasse kommen?

    Von Kojomintah1, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Michatka , dnke für die sehr gute und ausführliche Äquivalent beschreibung hat mir sehr geholfen :DDD

    Von Enko1968, vor mehr als einem Jahr
  2. Giuliano test

    @Michatka:
    Äquivalent beudetet soviel wie "gleichbedeutend".
    In der Mathematik benutzt man diesen Begriff, um zu zeigen, dass man zwei Gleichungen in die jeweils andere Gleichung umformen kann.
    Das bedeutet, das man beispielsweise die Operationen +, -, * und / in spezieller Weise auf beide Seiten der Gleichung anwendet, damit zwei Gleichungen auch gleichbedeutend also äquivalent sind.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Was heißt äquivalent?

    Von Michatka, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Das ist sehr einfach!

    Von Michatka, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null
    WIR HABEN ES VERSTANDEN

    (//_.)

    Von Pata Is Daa, vor fast 3 Jahren
  6. Default

    0niemals

    Von J Eckersberger, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    xD was für o-Kommentare

    Von Yassibiba, vor mehr als 3 Jahren
  8. Default

    0 niemals

    Von Muhammetking, vor mehr als 3 Jahren
  9. Default

    Immer diese Kommentare von den Nullen ;-) Dankeschön für die Erklärung

    Von Timfreed, vor fast 5 Jahren
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