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Transkript Reifeprüfung Mathematik – Zahlenbereiche

Hallo, wir machen eine Aufgabe, wie sie in der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik im 1. Teil vorkommen kann. Es sind mehrere Gleichungen und mehrere Zahlenmengen gegeben. Und die Aufgabenstellung lautet: Kreuzen Sie alle Zahlenmengen an, in denen sich mindestens eine Lösung der jeweiligen Gleichung befindet. Und damit ist auch gemeint, falls eine Gleichung keine Lösung in den angegebenen Zahlenmengen hat, dann soll man auch nichts ankreuzen. Es ist wichtig für Dich, Dir Gedanken über die Lösung dieser Aufgabe zu machen, ja dazu kannst Du den Film anhalten und erst dann solltest Du Deine Ergebnisse mit der Lösung vergleichen, die jetzt kommt. Die 1. Gleichung hat eine Lösungsmenge, in dieser Menge befindet sich die Zahl -3 und sonst keine andere. Die -3 ist eine ganze Zahl, damit ist sie auch eine rationale Zahl und auch eine reelle Zahl. Die 2. Gleichung hat eine Lösungsmenge, und zwar besteht die aus allen reellen Zahlen, und zwar deshalb, weil das Kommutativgesetz der Adition gilt. Hier kann man jede Zahl einsetzen, man kann auch eine natürliche Zahl einsetzen und damit kann man auch eine ganze Zahl einsetzen und rationale Zahl und auch eine reelle Zahl. Die 3. Gleichung ist eine lineare Gleichung, wir können die im Kopf eben umformen. -3 auf beiden Seiten rechnen, dann durch 2 teilen. Dann haben wir eine Lösung und die ist =3÷2. Das ist eine rationale Zahl und damit auch eine reelle Zahl. Es ist keine ganze Zahl und auch keine natürliche Zahl. Die 4. Gleichung ist innerhalb der vorgegebenen Zahlenmenge nicht lösbar. Und deshalb können wir hier schreiben, dass die Menge leer ist. Hätten wir die komplexen Zahlen auch noch, wäre die Lösungsmenge hier nicht leer, aber da das nicht vorgegeben ist, ist das so korrekt. Die 5. Gleichung hat eine Lösung innerhalb der vorgegebenen Zahlenmengen, sie hat nicht nur eine, sondern sogar 2, nämlich -√3 und √3. Das + Zeichen schreibt man hier natürlich nicht hin. -√3 und √3 sind jeweils irrationale Zahlen, das heißt, sie gehören nur der Menge der reellen Zahlenmenge an, und keiner anderen dieser Mengen. Damit ist die Aufgabe erledigt. So, ich hoffe Du hattest alles richtig, falls nicht, könnte das daran liegen, dass Dir die Zahlenmengen nicht mehr ganz so geläufig sind. Deshalb seien sie hier kurz erwähnt. Also wir haben die Menge der natürlichen Zahlen, die besteht aus den Zahlen 0,1,2,3,4 naja Du ahnst, wie es weiter geht. Das sind die natürlichen Zahlen, das kann man natürlich auch noch anders definieren.Über die Peanome, Axiome, und so weiter, das wird dann an der Uni vermutlich gemacht. Dann haben wir die ganzen Zahlen, die kann man ebenso aufzählen hier, wir haben die 0,1,-1,2,-2,3,-3 usw. Muss ich jetzt nicht weiter ausführen, das sind die ganzen Zahlen. Kommen wir zu den rationalen Zahlen. Das sind alle Brüche, oder man könnte auch sagen alle Dezimalzahlen, die entweder endlich viele Nachkommastellen haben, oder die unendlich viele periodische Nachkommastellen haben. Man kann das aber auch so ausdrücken, also die rationalen Zahlen sind alle Brüche und es gilt, dass a und b ganze Zahlen sind, kommen also aus der Menge der ganzen Zahlen. So kann man das aufschreiben und es muss natürlich gelten, dass b≠0 ist. Denn dann bekämen wir einen sinnlosen Ausdruck. Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen Zahlen, also hier hab ich die Menge der rationalen Zahlen. Und die wird vereinigt mit der Menge der irrationalen Zahlen. Und diese irrationalen Zahlen werden in der Schulmathematik normalerweise nicht so genau definiert. Man macht das dann in der Universitätsmathematik, mit dem Dedekinschen Schnitt oder mit allen konvergenten Koschifolgen. Für uns soll mal hier die Definition reichen, dass wir sagen, die irrationalen Zahlen sind alle nicht-periodisch unendlichen Dezimalzahlen. Bei nicht-periodisch unendlich sind natürlich die Nachkommastellen gemeint. Und dann bleibt noch anzumerken, dass folgende Inklusion gilt. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge, der ganzen Zahlen. Diese wiederum ist eine echte Teilmenge, der Menge der rationalen Zahlen. Und diese ist eine Untermenge, so kann man das ja auch sagen, der reellen Zahlen. Es gilt, wenn eine Zahl eine natürliche Zahl ist, dann ist sie auch eine ganze Zahl, dann ist sie auch eine rationale Zahl, dann ist sie auch eine reelle Zahl. Oder eine ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl und auch eine reelle Zahl. Eine rationale Zahl ist auch immer eine reelle Zahl, darauf war noch hinzuweisen. Und noch eine kleine Anmerkung zum Inhaltsbereich. Es ging um Algebra und Geometrie. Es wurden Grundkompetenzen abgefragt und dazu gehören die Grundbegriffe der der Algebra und hier wiederum natürlich das Grundwissen über die Zahlenmengen. Wozu auch gehört, dass es Zahlbereiche gibt, die über R, also die reellen Zahlen hinausgehen. Das wars jetzt aber endgültig zu dieser Aufgabe, viel Spaß damit, tschüss.

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