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Transkript Was ist ein Integral?

Hallo! Dieses Video ist die Einführung in eine Reihe von Videos, die sich mit Integralen beschäftigen und deswegen möchte ich erklären, was eigentlich ein Integral ist. Alles fängt eigentlich damit an, dass man eine Fläche berechnen möchte, die von einer krummlinigen Kurve begrenzt wird. Da kann man eben nicht mehr einfach nur Breite×Höhe rechnen, sondern muss sich halt schon irgendwas anderes einfallen lassen. Meine 1. Idee wäre zum Beispiel, einfach die Einheitsquadrate aus dem Koordinatensystem über die Fläche zu zeichnen und dann abzuzählen. Hier hätten wir also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, da können wir die Ecke von hier unten da oben reinstecken. Dann haben wir hier noch ein Halbes und da oben ungefähr noch ein Halbes, also würde ungefähr 11 herauskommen. So, und damit man nicht solche abgehackten Kästchen hat, die man schätzen muss, nimmt man lieber Flächen, die man genau bestimmen kann, nämlich Rechtecke. Das heißt, man teilt das Intervall 0-4 in gleich große Stücke, hier mal in Stücke mit der Breite 1, und dann zeichnet man rechteckige Flächen ein, die jeweils unter dem Graphen liegen. Wir nehmen also die Stelle in dem Intervall 0 1, zum Beispiel, die von dem Graphen am tiefsten ist, und von da ziehen wir die Waagerechte herüber. Und von diesen Rechtecken können wir dann wirklich die Fläche bestimmen. Hier ist zum Beispiel die Höhe gleich dem Funktionswert an der Stelle 0 und die Breite ist 1. Und dann berechnet sich die blau schraffierte Fläche, also f(0)×1, plus die Fläche des 2. Rechtecks, das ist dann f(1)×1, plus die Fläche des 3. Rechtecks, das ist f(3)×1 weil hier die tiefste Stelle bei x=3 ist. Und das Letzte ist f(4)×1, da ist auch die 4 die kleinste Stelle. Und so eine Summe nennt man dann Untersumme der Funktion f. So, jetzt sind da aber noch ziemlich große weiße Flächen und das ist natürlich ziemlich unbefriedigend, und deswegen macht man die Unterteilung des Intervalls noch ein bisschen feiner, zum Beispiel kann man Säulen der Breite ½ nehmen. Da sieht man schon, dass viel weniger weiße Flächen übrig sind. Die rot eingekreisten Flächen sind jetzt dazugekommen. Wenn man die Unterteilung feiner macht, hat man natürlich bei der Berechnung der Summe der Flächen ein bisschen mehr Arbeit, aber vom Prinzip her funktioniert das genauso wie eben. Feinere Untersummen geben uns also eine genauere Annäherung an die tatsächliche Fläche. So, das Gleiche kann man jetzt auch mit Obersummen machen. Da nimmt man bei jedem Rechteck anstatt des kleinsten den größten Funktionswert in dem Intervall als Höhe des Rechtecks. So eine Obersumme ist dann natürlich immer größer als der tatsächliche Flächeninhalt. Und auch hier gilt, dass, wenn man die Unterteilung des Intervalls genauer macht, dass man eine bessere Annäherung kriegt, dass die Fläche also ein bisschen kleiner ist. So, wollen wir also mal festhalten. Die Untersumme ist immer kleiner gleich der tatsächlichen Fläche und diese ist kleiner gleich der Obersumme. Die Breite der Rechtecke will ich jetzt mal Δx nennen, denn das ist ja immer die Differenz von einem x-Wert zum nächsten, der die Rechtecke begrenzt. Wenn dieses Δx kleiner wird, dann wird die Untersumme größer und die Obersumme wird kleiner. Und die Idee ist jetzt, dass Δx wirklich unendlich klein werden zu lassen, sodass man am Ende eine Summe von unendlich vielen Flächen herauskriegt, die aber genau die Fläche ergeben, die wir suchen. Jetzt schiebe ich unser Bild mal nach oben, damit ich ein bisschen mehr Platz habe. Wir wollen also jetzt das Δx gegen 0 laufen lassen, was passiert dann? Dann geht auch die Differenz zwischen der Obersumme und der Untersumme gegen 0 und das heißt, dass die Beiden irgendwann gleich sind. Weil aber die tatsächliche Fläche A zwischen der Untersumme und der Obersumme liegt, muss sie dann genauso groß wie die Beiden sein. So, und jetzt sind wir also endlich so weit, dass wir sagen können, was ein Integral ist. Der gemeinsame Grenzwert von Obersumme und Untersumme für eine unendlich feine Unterteilung des Intervalls [a;b], bei uns wäre das das Intervall [0;4], und unendlich fein heißt, wie gesagt, dass das Δx gegen 0 geht, dieser Grenzwert heißt bestimmtes Integral von f über dem Intervall [a;b]. Ein bestimmtes Integral ist also eine Zahl, nämlich die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse, innerhalb der Intervallgrenzen. Und wie der Grenzwert der Unter- bzw. Obersummen aussieht, möchte ich jetzt noch mal exakt aufschreiben. A berechnet sich also durch die Summe aus diesen Rechtecken, wobei die Breite jedes Rechtecks Δx ist und die Höhe der Funktionswert an der Stelle xi. Die 0 wäre also hier zum Beispiel das x1. Die Summe geht von i=1 bis n, wobei n die Anzahl der Rechtecke ist, also b-a, die Größe des Intervalls, geteilt durch Δx, die Breite jedes Rechtecks. Und davon nehmen wir dann noch den Limes für Δx gegen 0. Oder man schreibt das Δx als (b-a)/n, Länge des Intervalls durch Anzahl der Teile und lässt den Rest gleich, und dann kann man den Limes schreiben für n gegen unendlich. Also unendlich viele Rechtecke. Und das schreibt man dann so: Man mach so ein großes, schmales, lang gezogenes S, das ersetzt den Limes und die Summe, da schreibt man unten die linke und oben die rechte Intervallgrenze dran. Dann die Funktion und dann noch dx. Den Term f(x) finden wir hier in unserer Summenformel und der Grenzwert von dem Δx ist das dx, also eine unendlich kleine Rechteckbreite. x heißt dabei Integrationsvariable, die Funktion f(x) heißt Integrand, das dx heißt Differential, also Grenzwert der kleinen Differenzen und a und b sind die Integrationsgrenzen. Das liest man dann als Integral von a bis b von f von x dx. Das Ergebnis ist eine Zahl und die entspricht der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen x=a bis x=b. O. k., dann machen wir jetzt erst mal Schluss hier. Und beim nächsten Mal möchte ich dann tatsächlich mal so eine Untersumme ausrechnen und zeigen, dass da auch wirklich die Fläche rauskommt, die rauskommen soll. Und dann kucken wir uns da noch verschiedene Eigenschaften des Integrals an. O. k., bis dann.

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18 Kommentare
  1. Default

    Echt Klasse das Thema erklärt! Sehr hilfreich. Kurz und knapp.

    Von Ekirschke, vor mehr als einem Jahr
  2. Bewerbungsfoto

    Ich will die Fläche der 4 Balken addieren. Jeder Balken wird auf der x-Achse von 2 Werten begrenzt: Balken 1 von x = 0 und x = 1, Balken 2 von x=1 und x = 2 usw. Für die Höhe jedes Balkens muss ich den Funktionswert von dem x wählen, das den kleineren Funktionswert (also das kleinere f(x)) hat. Sonst würde der Balken über den Graphen hinausragen. Ich muss also bei jedem Balken schauen, welches x (das linke oder das rechte) ich für die Höhe gebrauchen kann. Bei den ersten beiden Balken ist das in meinem Beispiel jeweils das linke x, bei den letzten beiden ist es jeweils das rechte x.

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    warum schreibst du bei der Untersumme f(0)*1+f(1)*2+f(3)*1+f(4)*1
    warum kommt nach f(1) bei dir f(3). Müsste nach f(1) nicht logischerweise f(2) heißen?

    Von Noah Raffenberg, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Meine Mathe Lehrerin erklärt uns dieses Thema nun schon seit 4 Wochen und keiner versteht es wirklich. Ich schau mir ein Video auf dieser Seite an und ich habe es verstanden, da läuft doch was schief ;)

    Von Seraph91p, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Das erste mal wirklich mit Integral-Rechnung auseinander gesetzt, und begeistert wie gut es im Video erklärt wurde :)

    Von Mariusrother, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    Ich denke es wird Integral von a bis b über f(x) nach dx gesprochen. So wurde es mir zumindest beigebracht.

    Von Elas, vor fast 2 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Marinastoll93,
    das i am Summenzeichen läuft von 1 bis n. Bei 1 fängt man normalerweise immer an zu zählen. Deswegen geht es bei 1 los. Wir zerteilen die Strecke (auf der x-Achse) in n Stücke. Dafür bestimmen wir n x-Werte, an denen wir ein "Rechteck einschneiden". x_1 ist der erste dieser Werte und x_n ist der letzte.
    Ich hoffe, das war verständlich.
    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Hallo ich habe eine Frage,
    i ist bei dem Summenzeichen = 1, woher kommt die 1? Komm da leider nicht drauf....

    Von Marinastoll93, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Das Video funktioniert bei mir nicht

    Von Katharinarings, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Genial, knapp und bündig. Danke!

    Von Fulya Bozaci 1, vor mehr als 2 Jahren
  6. Bewerbungsfoto

    Hallo Marcel,

    ich möchte den Flächeninhalt des ersten Rechtecks (von links) berechnen. Seine Breite ist 1 und seine Höhe ist f(0). Wenn ich f(1) als Höhe nehme, erhalte ich den Flächeninhalt des zweiten Rechtecks.
    Das Koordinatensystem könnte sauberer sein, ich habe es mehr als Skizze gedacht.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    Und ich finde das Koordinatensystem ist ja total ungenau gezeichnet!

    Von Marcel Freibuchner, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    Wieso bei der Untersumme f(0) x 1 + f(1) x 1
    muss es nicht heißen
    f(1) x 1 + f(2) x 1

    Von Marcel Freibuchner, vor fast 3 Jahren
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    Hallo Mehri94,

    du meinst sicher den Ansatz mit den rechteckigen Flaechen unter dem Graphen. Das erste Rechteck ist genauso hoch wie f(0), das zweite hat die Hoehe f(1), das dritte hat nicht die Hoehe f(2), denn sonst wuerde der Graph durch das Rechteck laufen (was wir nicht wollen). Jedes Rechteck wird von zwei x-Werten begrenzt. Die Hoehe des Rechtecks muss jeweils der kleinere der beiden Funktionswerte dieser x-Werte sein. Also z.B. beim dritten Rechteck: f(3) ist kleiner als f(2), deswegen muss die Hoehe des dritten Rechtecks f(3) sein (damit sich das gesamte Rechteck unterhalb des Graphen befindet). Die Hoehe des vierten Rechtecks ist entsprechend f(4).

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  10. Default

    Hallo,
    ich wollte fragen wie man A berechnet ich verstehe nicht warum z.B nach f(1)*1 direkt f(3)*1 kommt und nicht f(2)??

    Von Mehri, vor fast 4 Jahren
  11. Default

    Hallo,
    ich habe eine Frage ich finde diesen Mathe-Chat nicht wenn ich eingeloggt bin kann mir vielleicht jemand sagen wir man dahin kommt?

    Von Chiara.A, vor fast 4 Jahren
  12. Bewerbungsfoto

    Hallo,
    schreib bitte eine Mail an mathematik@sofatutor.com mit deiner Frage. Ich kann dir leider keine genaue Antwort geben.
    Steve

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  13. Default

    Hallo, eine Frage hab ich, undzwar wo ist der Button zum Chat?
    Den habe ich bis jetzt noch nicht gefunden. Danke

    Von Samsung, vor fast 4 Jahren
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