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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Pythagoras

Hallo! Hier wird eine schon angefangene Aufgabe fortgeführt, die folgendermaßen bisher vonstatten ging: Wir haben hier eine Pyramide beziehungsweise ein Kantenmodell einer Pyramide. Alle Stäbe, die du siehst, sind gleich lang, nämlich alle 30 cm. Wir haben ein Netz gezeichnet im Maßstab 1:5 und haben in ein Dreieck dieses Netzes eine Höhe des Dreiecks eingezeichnet, eine Seitenhöhe dieser Pyramide und haben das nachgemessen. Zu dem Messwert sage ich jetzt im Moment nichts, da komme ich gleich zu. Die Aufgabe geht mir folgender Fragestellung weiter: Berechne die tatsächliche Seitenhöhe dieser Pyramide und vergleiche mit deinem gemessenen Wert. Wie man das vergleicht, sage ich auch gleich was dazu. Zunächst mal: Wie berechnet man hier die tatsächliche Seitenhöhe dieser Pyramide? Nun, wir wissen, alle Kanten, alle Seiten hier sind gleich lang, und deshalb handelt es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck, sogar um ein gleichseitiges Dreieck, aber das brauche ich jetzt im Moment nicht. Es ist ein gleichschenkliges Dreieck, weil diese Kanten gleich lang sind und deshalb wissen wir, dass die Höhe in diesem gleichschenkligen Dreieck gleichzeitig die Mittelsenkrechte ist, das heißt, der Fußpunkt der Höhe teilt diese Seite hier in 2 gleiche Teile. Da alle 30 cm lang sind, ist die Hälfte davon 15 cm lang. Und da mache ich mir doch gleich mal eine Skizze. Wir haben hier eine Höhe, die bestimmt werden soll, die nenne ich mal x. Und wir haben hier unten, wenn man das hier so sieht, eine Strecke, die ist 15 cm lang und hier ist eine Strecke, die ist 30 cm lang. Die Zentimeter spare ich mir jetzt hierbei. Und ja, das x ist auszurechnen. Und ich glaube, es macht bei dir direkt klick, wenn du so was siehst. Du denkst an den Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras ist eins der Themen bei den Pflichtaufgaben in der Abschlussprüfung für die Realschule in Hessen im Jahr 2010, und deshalb zeige ich hier was zum Satz des Pythagoras. Oft wird der ja aufgeschrieben mit a2+b2=c2. Meine Erfahrung mit Schülern ist, dass oft irgendwann so im Laufe der Zeit, wenn man den Satz nicht mehr so häufig gemacht hat, weiß man nicht mehr genau, was ist a, was ist b, was ist c, was bedeutet das eigentlich. Und deshalb schreibe ich den häufiger dann so auf: Wir haben eine Kathete zum Quadrat. Also in einem rechtwinkligen Dreieck haben wir Katheten. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck hier. Die Katheten sind die beiden Seiten, die am rechten Winkel dran sind. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Und man kann den Satz nun also so aufschreiben: Eine Kathete zum Quadrat, die heißt jetzt hier k1 plus andere Kathete zum Quadrat, die heißt hier sinnigerweise k2, ist gleich die Hypotenuse zum Quadrat. Gut, wenn man so weit ist, muss man sich ja überlegen: Was ist Kathete, was ist Hypotenuse? Wir suchen eine Kathete und müssten deshalb diese Formel hier zu einer Kathete hin umstellen und das geht folgendermaßen: Ich nehme mal die Kathete 1, die ich hier ausrechnen möchte. Das heißt, dazu muss ich also hier k22 auf die andere Seite bringen indem ich nämlich -k22 auf beiden Seiten rechne. Und dann muss ich aus der gesamten Summe die Wurzel ziehen. Das heißt also hier konkret, wir haben einmal h2-k22, und daraus bestimmen wir die Wurzel. Jetzt kollidiert das hier etwas mit den 30. Die 30 schreibe ich mal hierhin. So, das ist unsere Formel, die wir hier brauchen und jetzt kann ich einfach die Zahlen einsetzen, die hier gegeben sind. Unsere Kathete, ich fange mal mit dieser Kathete an, die ist 15. Ich schreibe die Formel quasi von hinten nach vorne auf. Wir haben hier 152, davor ist ein Minuszeichen. Wir haben diese Hypotenuse zum Quadrat. Hätte ich vielleicht auch mit großen Buchstaben, damit man nicht denkt, das sei eine Höhe, ist auch egal, auf jeden Fall, das ist die Hypotenuse, die ist 30 lang und die müssen wir quadrieren. Und aus dieser gesamten Summe, ja, auch wenn da ein Minuszeichen steht, ist es eine Summe, aus dieser gesamten Summe müssen wir die Wurzel ziehen und das ist dann gleich k1. So, eine kleine Anmerkung noch: Ich habe hier theoretisch etwas unterschlagen, bei diesem Äquivalenzzeichen. Das ist nicht ganz richtig, was hier steht. Es müsste hier eigentlich plus minus die Wurzel heißen. Da wir aber hier konkrete Strecken messen, sind sie alle positiv, deshalb können wir es hier bei der positiven Wurzel belassen. Vielleicht, wenn sich jemand dran stört, dass hier ein Äquivalenzzeichen ist, ja, wie gesagt, ganz korrekt ist es nicht - hier ist es aber völlig okay, meine ich zumindest. Dann haben wir jetzt hier unsere Zahlen eingesetzt und das kann man jetzt natürlich einfach in den Taschenrechner eintippen, aber oft ist eben auch in der Prüfung das exakte Ergebnis gefragt, vor allem dann, wenn sich auf dieses Ergebnis noch weitere Folgeaufgaben aufbauen. Das steht extra so in den Richtlinien drinnen, dass du solche Ergebnisse exakt ausrechnen musst. Das bedeutet, du musst diesen Wurzelterm so weit vereinfachen, wie möglich und kannst dann noch mit deinem Taschenrechner einen Näherungswert eingeben. Solltest du Folgeaufgaben mit diesen Zahlen hier bearbeiten müssen, musst du den exakten Wert verwenden, das heißt den möglichst weit vereinfachten Wurzelterm. So ist nun mal die Lage. Kann man diskutieren oder sonst was mit machen, auf jeden Fall ist es so und deshalb zeige ich, wie der exakte Wert ist und wie man hier diesen Wurzelterm weiter auflöst. Also, wir können direkt im Kopf rechnen: 30×30=900. Ich denke, damit ist keiner von uns überfordert. Wir wissen ebenfalls, da du die Quadratzahlen kennst: 152=225. Das Ganze steht jetzt hier unter der Wurzel. Und das können wir auch direkt ausrechnen, das ist nämlich, 900-200=700-25=675. Und die Wurzel aus 675 ist jetzt auch noch weiter zu vereinfachen: Wir sehen, dass 75 in der 25er-Reihe drinnen ist und vielleicht, wenn du das nicht direkt siehst, kannst du dir überlegen, wie viel mal 25 ist denn 625. Dann muss ich einfach die 625 durch 25 teilen. Das kann man auch sehen, wenn man weiß, dass 252=625, aber ist egal. Das musst du, wenn du aufgeregt bist in der Prüfung, nicht alles sofort parat haben, vielleicht. Also, wir wissen, 27×25=625. Wir wissen weiter, dass 27=33, das heißt, es ist 3×32. Also ist die 625 letzten Endes Folgendes: 3×32×52. Und dann können wir hier teilweise die Wurzel ziehen: 3×5=15, 15×\sqrt3 ist das exakte Ergebnis. Und hier kann man noch einen Schätzwert angeben. Einen gerundeten Wert, da benutze ich auch meinen Taschenrechner einfach. Wir haben 15×\sqrt3=25,980 irgendwas, muss ich mir eben überlegen, ob das stimmen kann. Ich weiß, dass die \sqrt3 ungefähr 1,7 ist. Ich sage mal so, das muss also kleiner sein als 15×2. 15×2 wäre 30. Das, was hier rauskommt, muss kleiner als 30 sein. Und wenn ich jetzt 15×1,5 rechne, das heißt, das ist 15 und noch die Hälfte dazu, dann bin ich bei 22,5 und dazwischen muss es liegen, zwischen 22,5 und 30. Und 25,89 liegt dazwischen, kein Problem. Ich möchte hier runden auf die 1. Stelle nach dem Komma, das sind die Millimeter. Und zwar deshalb, weil wir ja diesen Wert vergleichen sollen mit dem Wert in der Zeichnung. Und ich glaube, auf den Zehntelmillimeter haben wir nicht genau gezeichnet und deshalb soll hier mal der Millimeter ausreichen. Das heißt, wir haben 25,98, ich muss also aufrunden auf die 1. Stelle nach dem Komma und das ist dann eine 10 quasi, das heißt ich schreibe eine 0 hin und die Zahl davor ändert sich. Und dann haben wir 26,0 da stehen. So, und wenn wir das jetzt vergleichen sollen, mit dem gemessenen Wert in der Zeichnung aus dem vorigen Film, dann müssen wir diesen Wert natürlich noch teilen durch 5. Der ist ja 5-mal größer als unsere Zeichnung, weil wir die Zeichnung im Maßstab 1:5 gezeichnet haben. Nun, das sehe ich so, 25/5=5, 1/5=0,2, das heißt 5,2 hätte in der Zeichnung rauskommen müssen als Seitenhöhe oder so was um den Dreh. Wenn du also 5,2 gemessen hast, dann kannst du drunter schreiben "Ich bin toll, ich hab's richtig gemacht". Und wenn das nicht der Fall ist, kannst du dir irgendwas ausdenken, ist egal. Damit ist diese Aufgabe dann endlich beendet. Ich wollte es noch mal sagen, wenn man damit weiterrechnet, es steht in den Richtlinien, du musst den exakten Wert nehmen. Das ist der hier. Daran kommst du nicht vorbei, die Sache so umzuformen. Trotzdem viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Photo 00033

    Hätte ich Sie als Mathelehrer..wäre Mathe weniger grausam. Vielen Dank für soviel Hilfe!

    Von Bernadette W., vor mehr als 4 Jahren
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