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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Netze

Hallo! Es gibt nicht nur den Geist von Vermeer van Delft, den man auch als Tisch benutzen kann, es gibt auch die Pyramide der Mathematikwerkstatt Münster, die als Konzepthalter benutzt werden kann und da lese ich also etwas zu den Informationen zur Abschlussprüfung Mathematik Realschule 2010 im Bundesland Hessen. Da steht nämlich was zu den Themenbereichen und Inhalten der Pflichtaufgaben und da gibt es den Punkt "Konstruktionen (Dreieck, Viereck, Schrägbild, Netz) und Freihandskizze - neu". Ich lese das deshalb vor, denn, wenn ich das einfach so sagen würde, dass Konstruktionen vorkommen, würde mir das glaube ich keiner glauben, aber es ist so. Deshalb habe ich hier eine Aufgabe vorbereitet dazu, unter anderem zu Konstruktionen. Wir haben hier eine Pyramide, die hat eine quadratische Grundfläche und alle Kanten und alle Seiten der Grundfläche sind gleich lang, nämlich alle 30 cm. Die Aufgabe besteht nun darin: Zeichne das Netz der Pyramide im Maßstab 1 zu 5. Bestimme fehlende Punkte, gegebenenfalls durch Konstruktion (nicht durch Rechnung). Erkläre dein Vorgehen. Kurz zur Klärung: Was ist ein Netz einer Pyramide? Das ist die Figur, die entsteht, wenn ich jetzt also diese Pyramide hier hinstelle und quasi die Seiten hier aufklappe. So. Dann würde da eine Figur liegen, die als Ganzes dann als Netz dieser Pyramide bezeichnet wird. Wir sollen dieses Netz zeichnen, und zwar im Maßstab 1 zu 5, das bedeutet, 1 cm auf unserer Zeichnung soll 5 cm in Wirklichkeit sein, was dann aber auch bedeutet, dass wir die Wirklichkeit, also diese Pyramide hier, 5-mal verkleinern müssen, also um den Faktor 5 verkleinern müssen, um zu der Größe in unserer Zeichnung zu kommen. Wenn wir also nun wissen, dass zum Beispiel hier jede Seite der Grundfläche 30 cm lang ist, dann wissen wir, wir müssen eine solche Seite um den Faktor 5 verkleinert darstellen. 30/5=6, das heißt, eine Seite wird in unserer Zeichnung, in unserem Netz also 6 cm lang sein. Wenn man da anfängt zu zeichnen, dann muss man sich als Erstes mal überlegen, wo fange ich mit der Zeichnung an, was folgt noch? Ich muss die Seiten, die da noch ausgeklappt werden, auch mit berücksichtigen und ich fange jetzt einfach mal hier in der Mitte an, zumindest halbwegs in der Mitte, damit ich noch schön viel Platz habe. Ich fange mit der vorderen Seite an und zeichne einfach ein Quadrat. Das sind jetzt bei mir hier natürlich keine 6 cm, denn dann würdest du nichts mehr erkennen können, weil es viel zu klein ist. Ich hoffe, das ist halbwegs ein Quadrat geworden. Das ist hier die Grundfläche und jetzt schließen sich also hier noch die Dreiecke der Seiten an, diese Dreiecke hier. Und die Frage ist: Wie groß ist dieses Dreieck? Das ist also gemeint mit der Aufgabe hier: Bestimme fehlende Punkte, gegebenenfalls durch Konstruktion. Wie könnten wir das jetzt machen? Bei der Konstruktion können wir einen Zirkel verwenden und wir wissen ja, dass diese Kanten hier jeweils in unserer Zeichnung 6 cm lang sein sollen. Das hier sind ja auch jeweils 6 cm, das heißt, wir können unseren Zirkel auf diese Länge hier einstellen und dann so einen Kreisbogen zeichnen und den Zirkel hier einstechen und dann so einen Kreisbogen zeichnen. Der muss nicht komplett sein. Ich habe es hier nur angedeutet, damit du siehst, worauf ich hinaus will. Und zwar deshalb, wenn wir jetzt hier das Dreieck zeichnen, dieses, dann wissen wir, dass das das richtige Dreieck ist. Also wir verbinden einfach den Schnittpunkt dieser beiden Kreislinien mit den Ecken des Quadrats. Es ist deshalb das richtige Dreieck entstanden, weil wir wissen, dass die Spitze der Pyramide, die jetzt also hier in diesem Dreieck ist - da oben ist die Spitze der Pyramide, wenn man das jetzt wieder zurückklappen würde - die ist ja von dieser Ecke der Grundfläche 6 cm entfernt, deshalb liegt diese Spitze hier auf diesem Kreisbogen, denn alle Punkte des Kreisbogens sind 6 cm von dieser Ecke entfernt. Diese Spitze liegt aber auch auf diesem Kreisbogen, denn alle Punkte dieses Kreisbogens sind 6 cm hiervon entfernt, von dieser Ecke. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist dann die gesuchte Ecke des Dreiecks. Das kannst du natürlich etwas kürzer formulieren, indem du einfach sagst, dass die beiden Kreise die Punkte bezeichnen, die von den jeweiligen Ecken der Grundseite 6 cm entfernt sind. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreise oder der beiden Kreislinien ergibt die gesuchte Ecke. Da musst du auch nicht einen ganzen Roman schreiben und bist dann ziemlich schnell fertig. Das müsste ich jetzt hier noch genauso machen. Das deute ich eben nur mal so an. Hier ist dann also das Dreieck, die Dreiecksspitze. Ich kann es auch ein bisschen dicker malen, dann siehst du das besser. Das muss ich an jeder Seite hier noch mal machen. Ich versuche das mal so ein bisschen hier anzudeuten. Wenn das hier so rumgeht, da vielleicht, müssten sich da vielleicht die beiden Kreislinien schneiden und da auch noch mal, vermutlich hier, und wenn ich da rum gehe, da. Du musst auch nicht jeweils den gesamten Kreisbogen oder die gesamte Kreislinie zeichnen. Ein kleines Kreuz hier ist auch gut genug. Man kann dann schon erkennen, was du gemacht hast. Und wenn das jetzt hier noch richtig ordentlich gemacht worden wäre, dann hätten wir hier jetzt ein schönes Netz dieser Pyramide hier stehen - maßstäblich verkleinert in den Maßstab 1 zu 5. Es stand ja hier noch in der Aufgabe, erkläre dein Vorgehen. Die einzige Begründung oder Erklärung war halt, dass man diese Kreislinien verwendet. Du hättest auch anders vorgehen können, du hättest nämlich auch sagen können: Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, sind die Winkel hier unten 60° und hättest damit auch weiterrechnen können. Ich glaube, das wäre genauso gut gewesen, aber vielleicht meint man mit der Konstruktion doch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Falls du nicht sicher bist, frage den Mathelehrer deines Vertrauens und der weiß dann, wie er das bewerten will. Viel Spaß damit. Tschüss.

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