Der Logarithmus – eine Einführung

Hallo, in diesem Video geht es um den Logarithmus. Was ist ein Logarithmus? Wir betrachten die folgende Gleichung: a hoch b = c und stellen uns vor, eine der drei hier vorkommenden Zahlen ist unbekannt. Zunächst sei a unbekannt. Wie kann man diese unbekannte Zahl finden? Das ist ganz einfach, wir ziehen die Beta Wurzel aus c. Wenn c unbekannt ist, dann ist es noch einfacher, wir brauchen nur a hoch b zu berechnen. Was ist aber wenn b unbekannt ist? Wie findet man b? Genau dafür hat man sich den Logarithmus ausgedacht.
b ist der Logarithmus von c zu Basis a. Also der Logarithmus gibt uns den Exponenten, mit welchem die Basis a potenziert werden muss, um die Zahl c zu bekommen. Die linke Form nennt man die Potenzschreibweise der Gleichung und die rechte die Logarithmusschreibweise. Die Zahlen werden wie folgt bezeichnet: Exponent, Basis und Potenzwert in der Potenzschreibweise. Und Logarithmus, Numerus und Logarithmusbasis in der Logarithmusschreibweise.
Wir betrachten zwei Beispiele. Gesucht sei der Logarithmus von 9 zu Basis 3. Das heißt, wir suchen eine Zahl, mit der wir 3 potenzieren müssen, um die Zahl 9 zu erhalten. Die Lösung in diesem einfachen Beispiel können wir erraten, das ist die 2. Im zweiten Beispiel suchen wir den Logarithmus von 1000 zu Basis 10. In der Potenzschreibweise heißt das, das wir den Exponenten suchen, mit dem wir 10 potenzieren müssen, um 1000 zu erhalten. Auch hier ist die Lösung sofort klar. Das ist die 3.
Nicht für alle Werte von Logarithmusbasis und Numerus können Logarithmen definiert werden. Wir betrachten zum Beispiel folgende Gleichung. Logarithmus von 1000 zu Basis 0 ist gleich x. In der Potenzschreibweise heißt das. 0 hoch x ist gleich 1000. Wenn man 0 potenziert, kann man nur 0 bekommen. Und niemals 1000. Diese Gleichung ist ganz klar unlösbar.
Die gleiche Situation tritt auch für alle negativen Basen auf. Als Beispiel betrachten wir den Logarithmus von 8 zu Basis -2. In der Potenzschreibweise heißt das, -2 hoch x ist gleich 8. Auch diese Gleichung hat keine Lösung. Das heißt um den Logarithmus berechnen zu können müssen wir fordern, dass die Logarithmusbasis größer 0 ist.
Als Nächstes betrachten wir den Logarithmus von 8 zu Basis 1. In der Potenzform heißt das 1 hoch x ist gleich 8. Diese Gleichung ist auch unlösbar, denn der Potenzwert kann nie 8 werden. Egal welche Zahl wir für x einsetzen, es bleibt immer 1. Das heißt, die Basis darf auch nicht 1 sein.
Wir nehmen uns nun den Numerus vor. Und betrachten den Logarithmus von 0 zu Basis 3. Das heißt 3 hoch x muss 0 sein. Das geht natürlich nicht, denn 3 hoch x bleibt für alle x größer 0. Was ist mit einem negativen Numerus? Wir betrachten den Logarithmus von -9 zu Basis 3. Das heißt 3 hoch x muss gleich -9 sein. Das geht natürlich noch weniger. Das heißt, die Basis darf auch nicht 1 sein.
Zusammenfassend noch einmal die Definition. Der Logarithmus von c zu Basis a ist der Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um den Potenzwert c zu erhalten. Die Basis und der Numerus müssen dabei größer 0 sein, und die Basis außerdem ungleich 1. Zum Schluss noch eine interessante Eigenschaft des Logarithmus. Wenn wir x aus der rechten Gleichung in die linke einsetzen so bekommen wir a hoch Logarithmus von c zu Basis a ist gleich c. Genauso anders herum. Wenn wir c aus der linken Gleichung in die Rechte einsetzen, so bekommen wir x ist gleich Logarithmus von a hoch x zu Basis a. Das heißt, Logarithmieren und Potenzieren zur gleichen Basis heben sich gegenseitig auf. Soviel zum Logarithmus.
Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit der Mathematik.