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Binomische Formeln 04:27 min

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Transkript Binomische Formeln

In diesem Video möchte ich euch die Binomischen Formeln vorstellen. Die Binomischen Formeln sollen uns das Rechnen erleichtern und beim Vereinfachen von Termen helfen. Die 1. Binomische Formel sagt uns, was das Quadrat einer Summe ist. (a+b)²=a²+2ab+b². Wie man auf die Formel kommt, sieht man durch explizites Ausrechnen der Klammern. Der Summand a×b kommt zweimal vor. Wichtig ist, dass das Plus aus der Klammer unten vor dem Term 2ab wieder auftaucht. Die 2. Binomische Formel sagt uns, was das Quadrat einer Differenz ist. (a-b)²=a²-2ab+b². Auch hier können wir explizit ausrechnen, wie die Formel entsteht. Diesmal wird der Term ab abgezogen. Also merkt man sich, das Minus aus der Klammer taucht auch vor dem Term 2ab wieder auf. Was das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist, sagt uns nun die 3. Binomische Formel. (a+b)×(a-b)=a²-b². Diesmal wird der Term ab einmal addiert und einmal subtrahiert und fällt somit ganz weg. Wichtig ist das Minus zwischen dem a² und dem b². Schauen wir uns anhand von Beispielen an, ob wir die Formel schon anwenden können. (3x+1)²=(3x)²+2×3x×1+1²=9x²+6x+1. Das war doch gar nicht so schwer, oder? Man sieht auch, dass das Plus aus der Klammer überall wieder auftaucht. Nächstes Beispiel: (x-½)²=x²-2×x×½+(½)²=x²-x+¼. Auch das Minus ist überall wiederzufinden. Und noch ein Beispiel zu der gemischten Formel: (y+3)×(y-3)=y²-3²=y²-9. Noch mal zur Erinnerung: Bei Plus und Minus setzt sich das Minus durch. Wollt ihr mal Therme vereinfachen oder Brüche kürzen, kann es auch sehr hilfreich sein, diese Formel in umgekehrter Richtung zu erkennen. Dazu Beispiel 4: 16x4+8x²y+y². Vorne steht das Quadrat von 4x², hinten steht das Quadrat von y und in der Mitte tatsächlich 2× das Produkt dieser Zahlen. Also muss das (4x²+y)² sein. Und noch ein Beispiel zum Kürzen von Brüchen: Dieser Bruch sieht zunächst nicht so aus, als könnte man ihn noch kürzen, denn wir haben nur Summen und Differenzen. Mit den Binomischen Formeln sehen wir jedoch,  dass wir den Zähler als Quadrat einer Summe und den Nenner als Produkt einer Summe und einer Differenz schreiben können. So, dass wir im nächsten Schritt den Term (x+y) kürzen können und es bleibt übrig x+y/x-y. Zum Schluss noch ein kleiner Rechentrick: Dieses Produkt sieht eigentlich nicht so aus, als könnte man es leicht berechnen. Es lässt sich jedoch als Produkt der Differenz und der Summe zweier Zahlen schreiben. Somit können wir die 3. Binomische Formel anwenden und berechnen 40²-3²=1600-9=1591. Und das war's auch schon mit den Binomischen Formeln. 

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16 Kommentare
  1. Default

    Ich konnte dem Rechenweg nicht folgen, aber danke.

    Von .Mika, vor 20 Tagen
  2. Default

    Wirklich gut erklärt aber ich glaube ich bin und bleibe ein hoffnungsloser Fall... :(

    Von Moony, vor etwa einem Monat
  3. Bewerbungsfoto

    :( Probier es nochmal mit verminderter Geschwindigkeit. Das kleine Tacho-Symbol unten rechts am Video.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  4. Default

    Es ist wirklich schwer dem Rechenweg zu folgen!

    Von Naomi Maya, vor etwa einem Monat
  5. Default

    bisschen schnell sonst sehr gut :)

    Von Molin, vor etwa 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Sabrina,

    hast du meine Nachricht erhalten?

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Sabrina,

    doch das kannst du als Kürzen ansehen. Es gibt zwei Wege, sich das zu erklären:
    1. Multiplikationsregel für Brüche: 2 x 1/2 = 2/1 x 1/2 = (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner) 2/2 = 1.
    2. 2 x 1/2 = 2 Halbe = 1 Ganzes = 1

    Jetzt klar? Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Hallo Herr Steve T.,
    das ist sicher auch ein schlimmer Fehler meinerseits aber wohin verschwinden das 2 x 1/2 bloß?
    Ich kann ja nicht einfach die beiden 2en streichen und das als "Kürzen" ansehen oder?
    Sabrina

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    Ich fand es etwas zu schnell aber trotzdem hilfreich.

    Von Heike2110, vor etwa 3 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Paula,

    gut, dass du das ansprichst, das ist ein häufiger Fehler.
    In der Formel heißt es (a+b)(a-b)=a²-b². In dem Beispiel ist a = y und b = -3. ALso ist a²=y² und b²=(-3)²=9. ALso ist a²-b²=y²-9. Es ist richtig, dass minus mal minus plus ergibt. Aber dieses positive Ergebnis muss laut Formel abgezogen werden. Du musst ERST quadrieren und DANN das Ergebnis subtrahieren.
    Alles klar? Viel Erfolg!

    Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  6. Default

    Bei dem 3. Beispiel komme ich auf y²+3², denn in der 3. Binomischen Grundformel heißt es a²-b² und da b= -3 ist müsste es dann +3 sein, da - mal - Plus ergibt. ???

    Von Paula Schuler, vor etwa 3 Jahren
  7. Cool 003

    Vielen Dank für dieses Meisterwerk eines Videos !!!

    Von Robert Viehbeck, vor etwa 3 Jahren
  8. Default

    ein bissen schnell ...aber trotzdem gut erklärt !

    Von Nelly M., vor etwa 4 Jahren
  9. Default

    was ich schade finde das keine übungsaufgaben darin zu fanden waren

    Von Kevin Siger, vor fast 5 Jahren
  10. Default

    ich finde er macht die besten videos weil er eine angenehme stimme hat und gut erklaeren kann

    Von Kevin Siger, vor fast 5 Jahren
  11. Default

    Schön wäre noch eine Veranschaulichung über Flächen gewesen. Aber ansonsten gut!

    Von Sdinkel, vor mehr als 7 Jahren
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