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Binomialverteilung 13:44 min

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Transkript Binomialverteilung

Hallo! Wir machen die Binomialverteilung. Und zunächst zeige ich, wie die Binomialverteilung aus Bernoulli-Versuchen und Bernoulli-Ketten entsteht, und dann sage ich etwas abstrakter etwas zu den Binomialverteilungen. Also, wir haben einen Bernoulli-Versuch, der hat die beiden Ergebnisse 1 und 0, oder man kann auch sagen Treffer und Niete oder Erfolg und Misserfolg. Ich habe mich hier für die 1 und 0 entschieden, weil das jetzt hier im weiteren Verlauf ganz praktisch ist. Die Wahrscheinlichkeit für 1 soll p sein, die Wahrscheinlichkeit für 0 dann entsprechend (1-p). Ich habe das mal in einem anderen Film gezeigt mit einem 3-fachen Bernoulli-Versuch, dann erhält man so einen Baum. Da sind alle Möglichkeiten eingezeichnet, die sich ergeben, wenn man einen Bernoulli-Versuch 3 mal ausführt. Man kann nun aus einem 3-fachen Bernoulli-Versuch oder einer Bernoulli-Kette der Länge 3 einen einzigen Zufallsversuch machen, indem man sich erst überlegt: Welche Ergebnisse soll dieser Zufallsversuch haben? Das sind dann also Tripel, oder 3-Tupel kann man auch sagen. Alle 3-Tupel mit 0en und 1en sind dann unsere Grundmenge ? genannt. Manchmal wird es ja auch anders genannt, ist aber egal. Und diesen 3-Tupeln oder Tripeln können wir dann Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Und zwar müssen wir so oft mit der Wahrscheinlichkeit für 1 multiplizieren, wie 1en im 3-Tupel enthalten sind, und so oft mit der Wahrscheinlichkeit für 0 multiplizieren, wie 0en im 3-Tupel oder im Tripel enthalten sind. Allgemein kann man das natürlich auch machen. Darauf wollen wir ja hinaus mit der Binomialverteilung. Dann können wir eine Bernoulli-Kette der Länge n betrachten, daraus einen einzigen Zufallsversuch machen. Die Ergebnisse eines solchen Zufallsversuchs sind dann n-Tupel. Die Menge ?, also die Grundmenge, enthält dann diese n-Tupel hier (so schreibt man das auf), deren Einträge jeweils 0en und 1en sind. Also, so wie das hier steht, sagt man dann: Das sind also n-Tupel, mit der Eigenschaft, dass ti, also jeder dieser Einträge, die es hier gibt, Element der Menge {0,1} ist, also dass nur 0en und 1en hier vorkommen können. Wir können diesen n-Tupeln Wahrscheinlichkeiten zuordnen, also P((t1 bis tn)). Und da müssen wir wieder so oft mit der Wahrscheinlichkeit für 1 multiplizieren, wie 1en im n-Tupel vorkommen, und so oft mit der Wahrscheinlichkeit für 0 multiplizieren, wie 0en im n-Tupel vorkommen. Und das sind dann (n-k) 0en, wenn k 1en im n-Tupel vorkommen. Und das schreibt man jetzt so auf, das mit den k 1en da drin, dass man einfach alle Einträge addiert. Also man fängt an zu summieren von 1 bis n, addiert also alle Einträge, die hier stehen. Und wenn dann k herauskommt, dann hat man k 1en im n-Tupel stehen. Das ist jetzt ganz praktisch hier mit der Addition, weil ich mich dafür entschieden habe, dass der Bernoulli-Versuch 1en und 0en als Ergebnis haben soll. Wenn man sagt, Treffer und Niete, dann kann man hier nicht so schön addieren. Das war der Grund für die 0en und 1en. Ansonsten kann man auch sagen: Bei k Erfolgen muss man k-mal mit der Erfolgswahrscheinlichkeit multiplizieren und (n-k)-mal mit der Misserfolgswahrscheinlichkeit. So kann man es natürlich auch sagen. Dann definieren wir eine Zufallsgröße, hier auf der Grundmenge der Tripel, X; addiert einfach alle Einträge, und das ist dann die Anzahl der 1en. Das hatte ich hier jetzt schon erklärt. Allgemein macht man das auch so. Wir können den n-Tupeln / die Zufallsgröße X die Anzahl der 1en zuordnen, indem wir alle Einträge des n-Tupels addieren. Dann können wir den Werten der Zufallsgröße Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Hier habe ich das mal vorgemacht: Dem Wert 2 der Zufallsgröße X können wir eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, indem wir zunächst einmal die Wahrscheinlichkeit bestimmen für ein Tripel, das zwei 1en und eine 0 enthält. Da müssen wir 2-mal mit p multiplizieren und einmal mit der Wahrscheinlichkeit für 0, also einmal mit (1-p) multiplizieren. Und das Ganze mit 3 multiplizieren, weil es 3 Tripel gibt, die 3 1en enthalten. Wir müssen ja, um die Wahrscheinlichkeit eines Wertes einer Zufallsgröße zu bestimmen, alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die auf diese Zahl abgebildet werden, addieren. Und das sind dann halt 3, 3 Tripel mit 2 1en. Allgemein geht das auch. Wir können dem Wert der Zufallsgröße k (k ist eine natürliche Zahl von 0 bis n) eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, P(X=k), indem wir zunächst die Wahrscheinlichkeit eines n-Tupels bilden, das k 1en enthält. Da müssen wir k-mal mit p multiplizieren und (n-k)-mal mit (1-p) multiplizieren. Und dann müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten der n-Tupel, die k 1en enthalten, addieren. Alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Deshalb müssen wir nur mit der Anzahl dieser n-Tupel, die k 1en enthalten, multiplizieren. Und das sind in unserem Fall (n über k) n-Tupel mit k 1en. Warum das (n über k) ist und was (n über k) ist, sage ich hier in dem Film nicht. Das steht in einem anderen Film, das kannst du da nachgucken. Jetzt kommt's: Diese Funktion hier, P(X=k), die diesen k's hier diese Zahlen zuordnet, diese Wahrscheinlichkeiten zuordnet, ist die Binomialverteilung. Also mathematisch gesehen ist das einfach eine Funktion, die natürlichen Zahlen von 0 bis n solche Zahlen zuordnet, also Wahrscheinlichkeiten. Das ist die Binomialverteilung. Eine Zufallsgröße, deren Werten solche Zahlen zugeordnet werden, heißt binomial verteilt. Das ist also die Herleitung aus den Bernoulli-Versuchen und aus Bernoulli-Ketten. Das braucht man aber gar nicht so konkret, das kann man auch etwas abstrakter betrachtet anders machen. Wir können nämlich einfach n-Tupel nehmen, und es soll sich dabei um n-Tupel handeln, in denen nur 1en und 0en vorkommen. Diesen n-Tupeln können wir Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Genauer gesagt ordnen wir einfach durch P diesen n-Tupeln Zahlen zu und zeigen dann, dass es sich bei diesen zugeordneten Zahlen um Wahrscheinlichkeiten handelt. Das macht man so, indem man zunächst zeigt, dass es sich hierbei um Zahlen zwischen 0 und 1 handelt und dass die Summe aller zugeordneten Zahlen =1 ist. Die zugeordneten Zahlen richten sich dann nach der Anzahl der 1en, die in diesem n-Tupel vorkommen. Die soll jetzt hier k sein (die Anzahl der 1en). Dann können wir eine Zufallsgröße definieren, nämlich X. Die soll einfach die Anzahl der 1en zählen. Und den Werten der Zufallsgröße X können wir dann Wahrscheinlichkeiten zuordnen durch diesen Term hier. Und wenn wir also durch diese Funktion hier diesen Zahlen zwischen 0 und n solche Wahrscheinlichkeiten zuordnen, dann heißt diese Funktion hier Binomialverteilung. Und die Zufallsgröße, denen diese Zahlen, diese Wahrscheinlichkeiten dann zugeordnet werden, die heißt binomial verteilte Zufallsgröße. Es geht noch abstrakter. Wir brauchen das hier im Prinzip auch nicht. Wir können einfach sagen: Wir nehmen n-Tupel, in denen 0en und 1en vorkommen sollen, das heißt, ti ist aus der Menge {0,1}. Wir definieren eine Zählfunktion X. Diese Zählfunktion zählt die 1en im n-Tupel. Wir ordnen den Funktionswerten dieser Funktion hier solche Zahlen zu, durch die Funktion P; zeigen, dass es sich hierbei um Wahrscheinlichkeiten handelt, weil die hier zugeordneten Zahlen zwischen 0 und 1 liegen und die Summe aller zugeordneten Zahlen =1 ist. Und damit haben wir dann gezeigt, dass es sich hierbei um eine Zufallsvariable handelt, weil das eben hier Wahrscheinlichkeiten sind. Und wir haben dann eine binomial verteilte Zufallsgröße, weil dann diese Funktion hier, die diese Zahlen zu Werten dieser Zufallsgröße zuordnet, dann eine Binomialverteilung ist. Und das hier eine binomial verteilte Zufallsgröße. Man kann das aber auch noch abstrakter machen. Ja, du siehst, es wird immer leerer auf dem Tisch. Und zwar brauchen wir einfach nur ein n und ein p. (Ja, da  können wir sagen: Gib mir ein n, gib mir ein p!) Also wir brauchen ein n, das sagt uns dann, aus welcher Menge das k kommt, dem hier etwas zugeordnet wird letzten Endes. Das k ist dann eine natürliche Zahl von 0 bis n. Und wir brauchen ein p, das aus dem reellen Intervall [0,1] kommt. Das soll eine Teilmenge sein, eine Teilmenge von R. Und dann haben wir ja keine Zufallsgröße mehr, sondern wir haben nur noch ein k; ein k, das eine natürliche Zahl ist von 0 bis n. Und dann nennt man das auch nicht P von Wahrscheinlichkeit, sondern man sagt einfach B für Binomialverteilung. B ist abhängig von n und p. Und Bnp ordnet den natürlichen Zahlen von 0 bis n diese Zahlen zu, also (n über k)×pk×(1-p)n-k. Und diese Funktion, die diesen natürlichen Zahlen solche Zahlen zuordnet, das ist ganz abstrakt gesehen die Binomialverteilung, abhängig von n und p. Ja, daran kann sehen, nur mal beispielhaft, warum in der Mathematik immer weiter abstrahiert wird. In dem Fall, weil es dann sehr einfach wird. Ja, viel Spaß damit. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Was zur Hölle sind Tupel und Tripel?!

    Von Luvonstein, vor etwa 2 Jahren