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Transkript Abschlussprüfung Klasse 10 – Anwendung zu quadratischen Funktionen (2)

Hallo, wir sind beim Aufgabenteil D der 3. Aufgabe im 2. Prüfungsteil der Abschlussprüfung Realschule für Nordrhein-Westfalen, zumindest bei den Aufgaben, die ich mir dazu ausgedacht habe. Der Aufgabentext lautet: Das Ei soll 1,5 cm unterhalb des höchsten Punktes durchgeschnitten werden, zum Beispiel, um es besser essen zu können, steht da in Klammern. In der Parabeldarstellung verläuft dieser Schnitt entlang der Geraden y=1. Aufgabe D1 heißt nun: Zeichne diesen Schnitt in das Koordinatensystem ein. Nun, wir haben die Funktionsgleichung y=1. Da fragt sich mancher, ja, wieso ist das eine Funktionsgleichung, ist ja gar kein x. Das x ist schon da, das kann man sich so denken: mal x0. Du weißt ja, dass x0 immer 1 ist, egal was man für x einsetzt. Also wir können sehr viele x-Werte hier einsetzen in diese Funktionsgleichung, es kommt für x0 immer 1 raus. Wir rechnen dann auch: 1 mal das, was hier rauskommt, nämlich 1 und es bleibt bei 1, also läuft das darauf hinaus, dass die Funktionswerte immer =1 sind. Und deshalb schreibt man auch kurz: y=1. Und ich zeichne diese Gerade hier mal gestrichelt ein, das ist also eine Parallele zur x-Achse, die quasi, kann man so sagen, in Höhe 1 verläuft. Da gibt es auch andere Funktionsgleichungen dazu noch, also ähnlicher Art: y=25, y=-18 oder so und die verlaufen dann in anderen "Höhen" parallel zur x-Achse. Ja, ich glaube, mehr ist dazu nicht zu sagen, das ist der Graph dazu, zur Funktionsgleichung. Es geht weiter mit Aufgabentext D2: Welche x-Koordinaten haben die Punkte der Parabel, deren y-Koordinaten gleich 1 sind? Gib jeweils den exakten Wert und auch einen Näherungswert an. Also, das mit dem exakten Wert das gilt sowieso immer, hier habe ich es noch mal dazugeschrieben. Es ist immer so, dass wenn du Gleichungen umformst, wenn du etwas mit Wurzeln hast oder so und damit weiterrechnen möchtest, dann rechnest du natürlich nicht Näherungswerte aus mit deinem Taschenrechner. Wie wir ja wissen, kann dein Taschenrechner keine Wurzeln anzeigen, er kann nur Näherungswerte anzeigen dafür, damit sollst du aber nicht weiterrechnen, sondern du sollst mit Wurzeltermen weiterrechnen. Das sind die exakten Werte, das ist damit gemeint. Und danach, wenn du alles fertig hast, dann kannst du das Ganze in deinen Taschenrechner eintippen und einen Näherungswert angeben, aber erst dann. Und das gilt eigentlich bei jeder Aufgabenstellung, aber hier noch mal zur Erinnerung. Gut, was müssen wir jetzt machen, wenn wir wissen wollen, welche x-Werte gehören zu den y-Werten, die 1 sind. D. h. es geht also um die Schnittpunkte dieser Parabel mit dieser Geraden. Und wir haben schon die y-Werte und suchen noch die x-Werte dazu. Ich sage auch hier noch mal, vielleicht kannst du es auch nicht mehr hören, jeder Punkt hat 2 Koordinaten: eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Die y-Koordinaten kennen wir schon, wir suchen die x-Koordinaten. Wir wissen schon, dass diese Parabel einen Funktionsterm hat, der heißt: -8/9×x2+2,5. Und wenn wir diesen Funktionsterm gleich einsetzen und nach x auflösen, dann bekommen wir die x-Werte zu diesen y-Werten, die 1 sind. Ja, das habe ich hier gemacht, einfach mit Äquivalenzumformungen. Du brauchst hier natürlich nicht die PQ-Formel, die wäre jetzt doch relativ umständlich. Ich meine, das geht auch, aber man entscheidet sich ja immer für die Möglichkeit, die am einfachsten ist. Hier geht es also einfach mit Äquivalenzumformungen. Ich habe also -2,5 auf beiden Seiten gerechnet und dann durch -8/9 geteilt, daraus brauche ich dann die Wurzel, da steht sie. Und zwar plus und minus die Wurzel, denn es gibt ja, wie man hier sieht, auch 2 Schnittpunkte. Heraus kommt als exakter Wert: ±(3\sqrt3)/4. Das ist der exakte Wert, hier mit dem Wurzelterm. Und der Näherungswert ist dann ±1,3. In der Zeichnung ist das nicht ganz so gelungen, eigentlich 1,3 ist ja dann quasi hier und das müsste eigentlich hier vorbei laufen, na ja. Ich habe es aus der Hand gezeichnet, das ist immer schwierig, dann manchmal für jede Zeichnung hier eine extra Parabel-Schablone anzufertigen. Hier kannst du es noch sehen, aber so ungefähr haut das wohl hin. Gut, damit ist das auch hier erledigt. Und Aufgabentext D3 (also das gehört noch alles zu D hier, eine dreigeteilte Aufgabe): Welchen Flächeninhalt hat die entstandene Schnittfläche? Gib den exakten Wert und auch einen Näherungswert an. In Klammern: Falls du keinen exakten Wert für den Radius finden kannst, rechne mit Näherungswerten. Also: Flächeninhalt der Schnittfläche. Wir erinnern uns, das ist hier ja der Längsschnitt eines Eis, also eines Hühnereis. Das wölbt sich quasi hier so raus aus dieser Zeichnung und das ist hier also geköpft worden, damit man es essen kann. Und wir suchen diese Schnittfläche, die dann entstanden ist. Da müssen wir jetzt natürlich dreidimensional denken. Diese Schnittfläche, gehen wir mal davon aus, ist ein Kreis, habe ich jetzt nicht noch mal extra dazu geschrieben, aber kann man glaube ich von ausgehen. Wir müssen eine Kreisfläche berechnen, da überlegen wir als Erstes, wie macht man das? Also wir haben die Kreisflächenformel: a=Pi×r2 oder r2×Pi, ist ja egal. Und ja, wir müssen uns jetzt überlegen, was ist r, was ist der Radius des Kreises? Und wenn man sich das also so vorstellt, dass sich hier das Ei also so hinauswölbt und hier der Kreis entsteht, dann ist dieser Abstand hier oder dieser Abstand, ist ja egal, das ist der Radius. Das bedeutet, der Radius ist so lang wie der x-Wert, der zu dem Schnittpunkt hier gehört oder zu dem. Ich glaube, klarer wird's nicht. Deshalb haben wir auch die x-Werte ausgerechnet, deshalb ist das auch hier eine Aufgabe D2 und D3. Das sage ich deshalb, wenn solche Aufgaben zusammengefasst sind, also Aufgabe D, die sich in D1 bis D3 gliedert, dann haben diese Teile meistens etwas miteinander zu tun. Und es ist ganz schlau, sich dass immer vor Augen zu führen. Wenn man zum Beispiel an dem Punkt jetzt hier keine Idee hat und weiß nicht, wie man weitermachen soll, dann darf man ruhig in der Aufgabe D2 gucken und sich fragen: Was habe ich denn da berechnet? Kann ich damit irgendwas anfangen, vielleicht hat das ja einen Sinn, dass das hier irgendwie zusammengefasst ist. Und meistens hat es einen Sinn, sollte es zumindest haben. Soweit zur Vorrede. Wir haben den Radius, das ist also hier ca. 1,3 bzw. dieser Term und mit dem Radius müssen wir jetzt eine Kreisfläche ausrechnen. Wenn man das dann weiß, braucht man es halt nur noch in die Formel einzusetzen und einmal kurz umformen und dann den Rest in den Taschenrechner eintippen, das ist dann kein Ding mehr. Ich habe hier also den exakten Wert genommen: (3×\sqrt3)/4, das in Zentimetern, das ist der Radius, der muss quadriert werden mal Pi das Ganze. Hier habe ich das noch mal umgeformt, nicht wahr, wenn man (3×\sqrt3) quadriert, dann kommt ja hier 9 raus. (\sqrt3)2=3, 9×3=27 und 4×4=16, das steht hier, mehr habe ich nicht gemacht. Das Ganze dann mal Pi und heraus kommt eine Fläche von ca. 5,3 cm². Ja, das war's zu diesen Aufgabenteilen, ein kleiner kommt noch im nächsten Film. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

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1 Kommentar
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    Hallo Martin,

    achte doch bitte darauf, dass die Achsen deiner Koordinatensysteme benannt sind und Pfeile in die Positive Richtung vorweisen. Du kannst dir nicht vorstellen wie viele Punkte in Klausuren deswegen schon abgezogen wurden. Ansonsten: Gute Arbeit! Vielen Dank!

    Von Beneanima, vor mehr als 3 Jahren
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