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Transkript Ableitungen trigonometrischer Funktionen (1)

Hallo! Wir machen Ableitungen trigonometrischer Funktionen. Hier in dieser Filmreihe zeige ich keine Herleitungen, sondern nur die Übungsaufgaben, ein bisschen zum pauken. Das braucht man, um da einfach ein bisschen durch zu blicken, wo welche Ableitung herkommt und letzten Endes auch um zu wissen, was ein Computer so macht, wenn er Ableitungen ausspuckt. Also, wir haben zunächst mal die Funktion sin(x). Die hat eine Ableitung und die Ableitung ist cos(x). Wie gesagt, hier keine Herleitung, ich erwähne das nur kurz. Wenn wir eine Funktion haben f(x)=cos(x), dann ist die Ableitung davon f'(x)=-sin(x). So, darauf wollen wir jetzt aufbauen und diese Funktionen Sinus und Cosinus ein bisschen kombinieren, auch mit anderen Funktionen und hinterher kommt noch der Tangens hinzu, Cotangens und was auch immer. Aber das kommt später. Also zunächst mal, ich mache eine neue Funktion f(x)=x×sin(x). Hinweis zur Schreibweise noch: Manchmal schreibt man das mit Klammer, manchmal nicht, ich schreibe es hier jetzt mit Klammern, muss man sich nur darauf einigen, was man will. Also, die Funktion x×sin(x) ist gegeben, die soll abgeleitet werden. Wie macht man das? Da dürfen wir uns zunächst erinnern an eine Regel. Wir stellen ja fest, dass es sich hier bei dieser Funktion, der unteren dort, um ein Produkt handelt. Also noch mal zur Erinnerung, Produktregel haben wir folgendermaßen: Wir haben eine Funktion u×v, u(x)×v(x) und das (x) lasse ich jetzt jeweils weg. Dieses Produkt soll abgeleitet werden, das ist der Ableitungsstrich hier. Dann haben wir als Ableitung u'×v+u×v'. Okay, (x) habe ich auch jeweils weg gelassen. Das ist die Produktregel. Wir dürfen die Produktregel auf dieses Produkt anwenden und dann bekommen wir folgende Situation. f'(x) ist gleich Ableitung von x, das ist 1, mal zweiter Faktor, also mal sin(x), plus erste Funktion, also x, mal Ableitung des zweiten Faktors, also Ableitung von sin(x) und das ist cos(x). Die 1 kann ich jetzt natürlich weglassen, ich könnte sie jetzt noch auswischen, mache ich aber nicht, das weißt du auch so. Ja, das ist schon die Ableitung von x×sin(x). Ich habe noch eine kleine Funktion vorbereitet. Es geht ein bisschen schnell hintereinander hier, aber es ist auch nur zum pauken da. Es geht weiter mit f(x)=2×x5×sin(2x) und da ist gleich richtig was zu tun. Wir brauchen zunächst mal die Produktregel, habe ich schon aufgeschrieben. Und wir stellen hier fest, dass es sich bei sin(2x) um eine verkettete Funktion handelt, das heißt, wir brauchen die Kettenregel. Ich darf die Kettenregel noch mal kurz aufschreiben. Wenn wir eine verkettete Funktion haben, die folgendermaßen aussieht f(g(x)), da schreibe ich das x mit dazu, dann wird es etwas deutlicher, hoffe ich, f(g(x)) und die soll abgeleitet werden. Dann können wir die äußere Funktion ableiten f'(g(x)) und multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion, also g'(x), das ist die Kettenregel. Die müssen wir hier jetzt auch anwenden. Die Kettenregel setze ich im Wesentlichen voraus, ich habe sie nur noch mal aufgeschrieben, so zur Erinnerung. Die Kettenregel soll hier nicht weiter bewiesen werden. Doch zunächst handelt es sich um ein Produkt, deshalb kommt zunächst die Produktregel ins Spiel, also haben wir Ableitung von 2x5 ist 10x4. Das setze ich voraus, dass dir solche ganzrationalen Funktionen ableiten kannst, möchte ich jetzt hier nicht weiter besprechen. Mal sin(2x), ja den zweiten Faktor muss ich einfach hinschreiben, plus erster Faktor, also 2x5, mal Ableitung des zweiten Faktors und dazu brauche ich jetzt die Kettenregel. Ich muss erst die äußere Funktion ableiten, man kann auch sagen, erst innere Ableitung und dann äußere Ableitung, die Reihenfolge ist ja egal, ich hab jetzt hier gesagt, ich möchte außen anfangen. Also, Ableitung der äußeren Funktion ist cos(2x) und dann muss ich noch die innere Funktion ableiten. Die innere Funktion ist 2x und die Ableitung davon ist 2. So, und jetzt lässt man das so nicht stehen, vor allem diese Sache hier hinten schreibt man meistens nicht so. Die 2 zieht man meistens vor Cosinus, damit keine Unklarheit darüber besteht ob jetzt hier Cosinus von 2x×2 gerechnet wird oder der Cosinus von 2x bestimmt wird und dann das Ergebnis mit 2 multipliziert wird. Wenn man so klammert ist es eigentlich auch klar, aber schöner ist es, wenn es vorne steht, deshalb werde ich das jetzt noch machen. Also haben wir dann Gleich, und da darf ich gleich das Distributivgesetz anwenden. Ich darf ja hier 2x4 ausklammern. Wenn man das Distributivgesetz anwenden kann, dann macht man da auch meistens. Also 2x4 werden ausgeklammert und dann habe ich hier noch 5 stehen, 5×sin(2x)+2x×cos(2x). Und dann muss ich das eben hochhalten, damit du das auch in voller Schönheit sehen kannst, was ich da unten noch hin geschmiert habe. Das ist die Ableitung davon mit dem Distributivgesetz. Viel Spaß damit, tschüss!    

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2 Kommentare
  1. Who is who 34

    Hallo,
    schau dir das Video am besten noch mal an, Martin erklärt insbesondere auch den letzten Schritt. Er wendet das Distributivgesetz an. So "verschwinden" die x^5 und die letzte 2.

    Von Sebastian W., vor mehr als 4 Jahren
  2. Couch

    Wo ist denn bei der letzten Aufgabe das hoch 5 und die letzte 2 hin? Muss man die nicht wie im Video gesagt, vor dem cos schreiben? o.o

    Von Minna, vor mehr als 4 Jahren