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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Leistungskurs – Aufgabe 4

Hallo, wir machen eine lustige Abituraufgabe. Das Lustige kommt gleich, wir machen erst mal Aufgabenteil 6. Wir haben ein paar Punkte gegeben, wir haben einen Würfel gegeben, wir haben ein Tetraeder in diesem Würfel. Da hab ich schon mal eine Kante entfernt, weil ich an diese beiden Dreiecke rankommen möchte. Diese beiden Dreiecke schließen einen Winkel ein, und wir sollen herausfinden, wie groß der Winkel ist. So, und um das ein wenig genauer zeigen zu können habe ich etwas vorbereitet, nämlich 2 Dreiecke. Das eine ist hier, und das andere ist da. So, dass sind also 2 Tetraederseiten. Die beiden Dreieckseiten schließen einen Winkel ein, den wir herausfinden sollen. Wie macht man das? Man kann sich an die Trigonometrie erinnern, wir haben Sinus, Cosinus, Tangens. Ich möchte hier eine Ebene reinstellen. Diese Ebene halbiert diesen Winkel, der gesucht ist. Und jetzt haben wir ja hier, da, da und da ein Dreieck. Wir wissen, wie groß diese Seite ist hier. Die ist nämlich 12 Längeneinheiten lang, weil das ein Würfel ist, der die Kantenlänge 12 Längeneinheiten hat. Und wir kennen diese Seite hier, in diesem rechtwinkligen Dreieck, weil das nämlich die Höhe einer Seite eines Tetraeders ist. Und wir wissen schon, dass die Höhe in einem solchen Dreieck Wurzel aus 3 ÷ 2 × Kantenlänge ist. Die Kantenlänge haben wir auch schon ausgerechnet. Wenn man sich hier dieses rechtwinklige Dreieck vorstellt, dann sieht man, wir kennen, von dem Winkel hier unten aus gesehen, die Ankathete, wir kennen die Hypotenuse. Dort kennen wir den Cosinus und können dann Cosinus^-1 von diesem Bruch rechnen. So kommen wir zu dem Winkel. Also, ich habe gesagt, das ist die Hälfte des gesuchten Winkels, deshalb muss ich hier 2 x cos^-1, weil wir ja den Cosinus selbst kennen und wir suchen den Winkel dazu. Dann haben wir Ankathete durch Hypotenuse und die Ankathete ist 12. Die Hypotenuse ist die Höhe in diesem Dreieck hier in der Tetraederseite, das ist \sqrt(3÷2) × Kantenlänge. Die Kantenlänge ist 12 × \sqrt(2). So, das ist der Bruch, davon müssen wir Cosinus^-1 berechnen. Da seh ich gleich, dass ich etwas kürzen kann, nämlich hier die 12. Dann seh ich, hier wird durch 2 geteilt, und mit Wurzel 2 multipliziert, das heißt letztlich wird nur durch \sqrt(2) geteilt. Wenn man durch einen Bruch teilt, dann muss man mit dem Kehrwert multiplizieren, das heißt hier kommt \sqrt(2) hin. Das bedeutet, wir müssen einfach Cosinus^-1 von \sqrt(2) ÷ \sqrt(3) rechnen und das dann mit 2 multiplizieren. Da kommt ungefähr heraus: 70, 53. Das war schon Aufgabenteil 6. Dann kommt Aufgabenteil 7. Wir haben jetzt die Koordinaten eines Eckpunktes dieses Würfels zu bestimmen. Und zwar dieser Eckpunkt hier. Wir haben schon a, b, c, d und sollen die Koordinaten dieses Eckpunktes bestimmen. Es ist auch noch ein Kontrollergebnis angegeben. Das ist -3|8|10. Die x- und y-Koordinate dieses Punktes w, ist ja die gleiche wie die x- und y- Koordinate des Punktes b, weil der ja direkt dadrüber ist. Und die z-Koordinate ist die von c und von d. Die xy-Koordinate ist -3 und 8 von b und z-Koordinate von c und d ist ja 10, also -3|8|10. Wenn man diese Aufgabe jetzt im Abitur sieht, denkt man natürlich, was wollen die jetzt eigentlich? Ich kann die Lösung mal zeigen. Die Koordinaten sind gesucht, das ist das Kontrollergebnis. Wenn die jetzt schon ein Kontrollergebnis angeben, geht man meistens davon aus, dass man das hinterher noch braucht. Das ist hier aber nicht so. Und dieser Punkt w spielt in der ganzen Aufgabe, weder davor noch danach, irgendeine Rolle. Wir sollen einfach hier die Koordinaten bestimmen. Ich habe auch in der Musterlösung nachgeguckt und es gibt tatsächlich einen Rechenweg. Man nimmt hier eine Diagonale, setzt eine Hälfte dran und so weiter. Notwendig ist es nicht. Mal im ernst, wenn ich sage, dieser Punkt hat die x- und y-Koordinate von b, dann geh ich natürlich davon aus, dass dieser Würfel so im Koordinatensystem liegt, dass hier diese Würfelseiten jeweils parallel zu einer Koordinatenebene sind. Wenn man es genau nimmt, muss man natürlich sagen, das haben wir bisher nicht bewiesen. Wenn wir das wissen, dass es so ist, dann kann man es natürlich einfach ablesen. Die Zeichnung ist ja auch gegeben und die Punkte a, b, c, d sind eingezeichnet mit Koordinaten. Von daher kann man es einfach ablesen. Man hätte also dann noch sagen müssen, dass diese Würfelseiten tatsächlich parallel zu jeweils einer Koordinatenebene sind. Das sieht man daran, dass zum Beispiel a und b die gleiche z-Koordinate haben, dass b und c die gleiche x-Koordinate haben, und dass a und c die gleiche y-Koordinate haben. Ansonsten, das richtige Ergebnis stand schon da, wir haben alles gelöst. Viel Spaß damit, tschüss.

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