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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 4

Hallo! Kommen wir zum 4. Teil dieser Abituraufgabe, Vektorrechnung Grundkurs NRW. Und jetzt geht es endlich um den Tetraeder. Wir haben schon ein paar Punkte, wir haben z. B. a, b und c. Wir haben schon den Schwerpunkt des Dreiecks a, b, c. Und wir sollen nun die beiden Punkte bestimmen, die, wenn man sie zu diesem Dreieck ergänzt, einen regulären Tetraeder ergeben. Wie kann man sich das vorstellen? Wir brauchen für einen regulären Tetraeder, einen weiteren Punkt hier. Der könnte z. B. hier liegen. Ich wollte das Mal eben vielleicht noch mal zeigen, wenn man dieses schwarze Dreieck mal hier rauslöst, mal ohne den Würfel sieht, dann kann man hier einen Punkt hinzufügen und erhält hier ein reguläres Tetraeder. Oder man kann eben auch hier einen Punkt hinzufügen und hat dann auch ein reguläres Tetraeder. So sieht es aus. Und diese beiden Punkte sollen wir jetzt bestimmen. Zum einen kann man jetzt den Punkt verwenden, in dem man hier die Diagonalen einfügt, die Diagonalen dieses Würfels, Seitendiagonalen. So, das ist der eine Punkt. Also, rein anschaulich kann man das natürlich so machen. Die rechte kommt später. Und der andere Punkt muss dann hier irgendwo liegen. Jetzt löst sich das auf hier. Also, da muss ich es einmal drehen. Da kommt er hin. Drehe es noch mal in die Ausgangslage, hier ist a, da ist b, da ist c. Hier ist der eine Punkt d, da ist der andere Punkt d, der aus a, b, c dann ein reguläres Tetraeder macht. So, und das müssen wir jetzt noch ausrechnen. Wie macht man das? Da braucht man erst mal eine Idee. Wir haben ja schon eine Gerade gebildet, in einer der letzten Teilaufgaben. Das war die Gerade durch P und Q. Wir haben schon festgestellt, dass diese Gerade, die Ebene a, b, c schneidet, und zwar im Schwerpunkt S des Dreiecks a, b, c. Und dann sollte es jetzt bei d wieder klingeln. Ja, als du den Tetraeder behandelt hast, da hast du auch Höhen berechnet und du weißt, dass der Höhenfußpunkt, also der Punkt, wenn man von hier aus rechtwinkelig auf diese Fläche hier geht, der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Und wenn man das jetzt weiß, weiß man auch, dass die beiden Punkte, die wir suchen, auf dieser Geraden liegen. Jetzt müssen wir uns nur noch überlegen, wo genau sind denn jetzt die beiden Punkte. Und dazu muss man sich überlegen, was wissen wir denn über diese Punkte. Die sind ja nicht irgendwo im Raum verteilt, oder auch nicht irgendwo auf dieser Geraden, sondern an einer bestimmten Stelle. Was wissen wir darüber? Wir wissen, z. B., dass dieser Punkt vom Punkt b genau so weit entfernt ist, wie der Punkt a von b entfernt ist. Und wenn wir das noch irgendwie in eine Gleichung verpacken können, dann können wir unser u ausrechnen. Und dann wissen wir, wo die beiden Punkte sind. Also, wir wissen schon, wie groß der Abstand von a zu b ist, der ist nämlich 12×\sqrt2, das haben wir schon ausgerechnet. Und jetzt können wir einfach sagen, wir suchen einen Punkt d, der von a genau so weit entfernt ist, wie z. B. a von b entfernt ist. Und dazu müssen wir einfach den Betrag des Vektors |ad¯|=12×\sqrt2 setzen. Daraus entsteht dann eine Gleichung, bzw. es ist ja schon eine Gleichung. Aber wenn man das jetzt weiter aufdröselt, hier, dann haben wir Punkt d-a. Und das habe ich hier weiter ausgerechnet, das kommt daraus. Dann habe ich hier diese linke Seite der Gleichung noch mal weiter umgeformt, nicht wahr. Wenn wir hier jetzt den Betrag suchen, dann müssen wir die \sqrt aus der Summe der Koordinatenquadrate bilden. Das steht dann also hier. Und dann kann man das noch weiter ausrechnen. Ja, also diese Sache geht jetzt hier weiter. Wenn man einfach die binomischen Formeln verwendet und dann habe ich auf beiden Seiten quadriert. Also, das ist ja die eine linke Seite noch und hier ist noch die rechte Seite, die habe ich jetzt nicht weiter hier mitgeschleppt. Wenn man das quadriert, wissen wir schon, da kommt 288 raus, hatten wir in der anderen Aufgabe schon. Und hier ist dann die Wurzel weg, wenn man quadriert. Daraus ergibt sich jetzt eine quadratische Gleichung in Normalform, die man dann mit der pq-Formel oder wie auch immer, lösen kann. Das kommt dann dabei heraus und wir haben dann u1=6 und u2=-10. Dann muss man diese beiden Werte noch in die Geradengleichung einsetzen, für u. Und dann kommt Folgendes raus: Wenn man 6 einsetzt, dann kommt 9, 8, 10 raus, und wenn man -10 einsetzt, kommt -7, -8 und -6 raus. Ich möchte es eben noch mal anschaulicher hier zeigen. Von der Sache sind wir ausgegangen, von der Position ungefähr. A, b, c, dann ist hier dieses d, das ist das hier. Und dieses d, das ist das hier. Das sind die beiden Punkte. Ja, das war es dazu, viel Spaß damit, tschüss.

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