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Transkript Grenzwert von 1/x im Negativen

Hallo, der Grenzwert von 1/x für große, positive x Werte ist 0, weil 0 die größte Zahl ist, die von 1/x nicht erreicht wird. Hier im positiven Bereich. Die Frage ist natürlich, was ist im negativen Bereich. Ja, das ist praktisch, kann ich einfach umdrehen. So sieht 1/x im negativen Bereich ungefähr aus. Das schreibe ich auch noch daran, das ist die Funktion 1/x, für hier negative x-Werte. Die Funktion steigt, wenn x immer mehr nach links geht. Immer mehr ins Negative rein geht. Denn es ist z. B. -1/5 kleiner als -1/6, -1/6 ist kleiner als -1/7. Denn die Funktionswerte kommen hier immer näher zur x-Achse, wenn das x immer weiter nach links geht. Es ist also eine steigende Funktion, eine monoton steigende Funktion. Und der Grenzwert dieser Funktion ist nun die kleinste Zahl, die durch diese Funktion nicht erreicht wird. Na, wir haben eine Vermutung. Die kleinste Zahl, die durch diese Funktion hier, im negativen Bereich nicht erreicht wird, das ist die 0. Es werden natürlich andere Zahlen auch nicht erreicht, wie z. B. +3. Denn wenn ich hier für x negative Zahlen einsetze, z. B. 1/-1000000, das ist niemals 3, das wird niemals positiv. Egal wie weit x ins Negative geht. Aber von all diesen Zahlen, die von 1/x  hier nicht erreicht werden, ist 0 die kleinste. Und deshalb ist 0 der Grenzwert von, so schreibt man das auch, limes von 1/x=0. Und zwar, wenn x--> -∞ geht. Und hier ergibt sich natürlich auch die Frage, wie kann man sicher sein, dass das so ist? Wir müssen dafür 2 Punkte klären. Zum einen gehört 0 tatsächlich nicht zu 1/x. Zweitens ist 0 die kleinste Zahl, die nicht erreicht wird. Nun, wir können 1/x nicht zu 0 machen, denn egal welche x Werte wir einsetzen, die jetzt sehr negativ sind, die weit nach links gehen, z. B. 1/-1000000, 1/-1000000000, immer haben wir noch einen Funktionswert, der von 0 verschieden ist, auch wenn es nicht viel ist. Also, 0 wird tatsächlich nicht erreicht. Punkt Nummer 2: Ist 0 die kleinste Zahl, die nicht erreicht wird? Wir stellen uns mal vor, wir hätten irgendeine kleine Zahl, also eine noch kleinere Zahl als 0. Die also ein bisschen unterhalb von 0 ist. Und dazu nehme ich jetzt mal z. B. die -0,001. Es könnten ganz viele Nullen folgen, ich schreibe jetzt nur 2 hin, man kann das natürlich auch mit mehreren Nullen machen. Die Frage ist, wird denn jetzt -0,001 durch die Funktion 1/x überboten, wird sie denn größer als z. B. -0,001. -0,001 kann man erreichen, in dem man 1/ Zehntel, Hundertstel, Tausendstel rechnet, also das sind ja Tausendstel. Also muss ich 1/-1000 teilen und bin bei -0,001. Wie wird das größer? Naja, 1/-2000 ist größer, als 1/-1000. Und egal wie viele Nullen hier stehen, man kann das immer machen. Wenn man hier auch 1/-100000000 schreibt, dann ist 1/-200000000 wieder größer. Und so kann man also sicher sein, dass jede Zahl, die ein bisschen kleiner ist als 0, von dieser Funktion hier, 1/x überboten wird. Hier im negativen Bereich. Und damit ist 0 tatsächlich die kleinste Zahl, die nicht erreicht wird. Und der lim 1/x für x--> -∞ =0. Und beim nächsten Mal betrachten wir Grenzwerte, die nicht in der Unendlichkeit sind, sondern ganz nah bei uns. Bis dann, tschüss  

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1 Kommentar
  1. Default

    Bei ca. 1 Minute kommt die Korrektur dass der Graph fällt
    Allerdings war Steigung schon richtig wenn danach gesagt wird, dass man davon ausgeht dass x größer wird

    Der Graph steigt also mit kleiner werdenden x im negativen Bereich

    Von Meggyme, vor mehr als einem Jahr