Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen

Hallo! In diesem Video möchte ich euch erklären, wie sich ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen im Unendlichen verhalten. Und zwar möchte ich da nicht nur die Regeln erklären, sondern auch so ein bisschen, wie man darauf kommt. Fangen wir mal mit dieser ganzrationalen Funktion hier an. Wenn da jetzt x->∞ strebt, gehen die einzelnen x-Exponenten alle gegen ∞, das haben wir bei den Grenzwertsätzen gesehen, von denen werden aber einige addiert und einige subtrahiert. Und da haben wir auch bei den Grenzwertsätzen schon gesagt, da können wir nicht so einfach bestimmen, was da rauskommt. Um das Ganze mal ein bisschen anders zu betrachten, klammern wir jetzt mal die höchste Potenz aus, also x4, und dann streben nämlich die ganzen hinteren Summanden und Subtrahenden gegen 0, weil die x-Potenzen da im Nenner stehen, nur die 1 bleibt. Das wäre also dann = dem Limes von x4 für x->∞ ×1 und da kommt ∞ raus. Ganzrationale Funktionen streben im Unendlichen also immer gegen +∞ oder -∞. Das Vorzeichen, das muss man nun noch bestimmen. Und da gibt es 3 Regeln. 1. man braucht nur auf die höchste Potenz zu achten, 2. muss man schauen, ob deren Hochzahl gerade oder ungerade ist, und 3. muss man noch schauen, ob die ein positives oder negatives Vorzeichen hat. Nehmen wir mal als Beispiel diese Funktion. Da ist die höchste Potenz x8, die hat eine gerade Hochzahl und als Vorzeichen ein +. Strebt also jetzt x->+∞, geht auch x8->+∞ und da das Vorzeichen ein + ist, bleibt es auch bei +∞. Für x->-∞ geht x8 auch ->+∞, weil eine gerade Anzahl von Minussen sich immer aufhebt zu Plus. Und da das Vorzeichen ein + ist, ändert sich daran auch nichts mehr. Der Grenzwert der Funktion für x->±∞ ist also +∞. Bei der nächsten Funktion ist die höchste Potenz x5, die Hochzahl ist ungerade und das Vorzeichen ist -. Für x->∞ geht auch x5->∞, aber das - macht es zu -∞. Für x->-∞ geht x5 auch ->-∞, weil - hoch eine ungerade Zahl wieder - ist. Und das negative Vorzeichen macht daraus wieder +∞. Das kann man dann auch so aufschreiben. Bei dem x schreibt man zuerst das +, dann das -, und entsprechend schreibt man dann umgekehrt im Ergebnis erst -, dann +∞. Bei den gebrochen rationalen Funktionen fangen wir gleich mit diesem Beispiel an. Da geht für x->∞ sowohl der Zähler als auch der Nenner ->∞. Und da haben wir bei den Grenzwertsätzen gesagt, da können wir nicht genauer bestimmen, was da rauskommt. Da gibt es jetzt folgenden Trick: Auf welcher Seite ist die größte Potenz kleiner? Und diese Potenz wird dann auf beiden Seiten ausgeklammert. Hier ist oben x3 und unten x5 die größte, davon ist x3 kleiner, also klammern wir auf beiden Seiten x3 aus. Beim Grenzprozess können wir dann die beiden x3 Terme vorne wegkürzen und die hinteren Termen, die gehen alle gegen 0, weil die x-Potenzen da im Nenner stehen. Es bleibt also nur Limes für x->∞ von 1/x2 übrig und das ist 0. Daraus kann man jetzt eine allgemeine Regel formulieren: Vergleiche den größten Exponenten im Zähler mit dem größten Exponenten im Nenner. Ist der im Nenner größer, strebt die Funktion für x->+∞ und x->-∞ gegen 0. Was ist, wenn jetzt die beiden größten Exponenten gleich groß sind? Dann können wir wieder die beiden höchsten Potenzen ausklammern. Das sieht dann so aus. Und für x->∞ gehen die hinteren Terme wieder gegen 0, die ausgeklammerten kürzen sich weg und was übrig bleibt, ist -2/7, also genau die beiden Zahlen, die vorne vor den x2-Termen standen. Und damit haben wir folgende Regel: Sind die beiden größten Exponenten gleich groß, so ist der Grenzwert im positiv oder negativ Unendlichen der Quotient aus den beiden Koeffizienten vor den höchsten Potenzen. Also hier -2/7. Und schließlich der Fall, wo der größte Exponent im Zähler ist. Da wird wieder die größte Potenz der anderen Seite, also in diesem Fall des Nenners, ausgeklammert. Das wäre also hier dann die x5, beim Grenzprozess kürzen wir die x5-Terme weg, die hinteren Summanden gehen wieder gegen 0 und was übrig bleibt, ist der Grenzwert für x->∞ von -(x2)/1 und das ist -∞. Die Regel lautet also: Ist der größte Exponent im Zähler, strebt die Funktion gegen + oder -∞. Das Vorzeichen bestimmt sich aus den Hochzahlen der größten Potenzen und deren Vorzeichen. Also genauso, wie wir das schon bei den ganzrationalen Funktionen gemacht haben. Hier hätten wir also für x->+∞ bei x7 ein +, wegen dem - wird daraus ein -, und bei x5 hätten wir auch ein + und das bleibt, und -/+ ergibt -, da haben wir also -∞. Für x->-∞ ergibt sich bei x7 ein -, wegen dem -, was davor steht, wird daraus wieder ein +, und im Nenner haben wir wegen ^5 ein -, +/- ergibt dann -, also ist das Ergebnis -∞. Ja, und mit diesen Regeln könnt ihr also jetzt von jeder gebrochen rationalen Funktion das Verhalten im positiv oder negativ Unendlichen bestimmen. Das war's.

Informationen zum Video
14 Kommentare
  1. Default

    bestes video zu diesem Thema !

    Von Moritzm99, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Hätte nicht gedacht, dass das Thema so einfach erklärt werden kann. Respekt!

    Von Ro Huebsch, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    super ! danke für die tolle Erklärung

    Von Yasminadam, vor mehr als 3 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Sabrina C,

    du hast Recht. Der Fehler wurde bereits vorher entdeckt und es gibt einen Zeitleistenkommentar dazu. Das Ergebnis bleibt gleich.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    bei grösster Exponent im Zähler:
    steht beim Ausklammern 1. Zeile: -x^7-3x^5+1 = x^5 (-x^2-3(1/x^2)+(1/x^5)
    beim -3x^5, ist da doch ein kleiner Fehler, es müsste heissen. x^5(-3) oder?
    dann wäre es am Schluss: (-x^2 - 3 )/ (1) , aber das Schlussresultat bleibt gleich

    Von Sabrina C, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Klasse Video... endlich ein wenig was verstanden, auch wenn es ein bisschen flott zugeht!

    Von Kate Accident, vor mehr als 3 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo WOlfshunter,

    Schreibe den Bruch als Summe zweier Brüche: 2^n/2^(n-1) + 1/2^(n-1). Dann müsstest du schnell sehen, was die einzelnen Grenzwerte sind. (Tipp: ersten Bruch kürzen)

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Ein absolutes TOP-Video!

    Von Paul Guido, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    wie kann man das lösen bitte
    lim n sterbt gegen unedlisch (2^n-1)/2^(n-1)
    danke in voraus

    Von Wolfshunter, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    Super Video und die Geschwindigkeit passt auch :)

    Von Anthreep, vor fast 4 Jahren
  6. Default

    also ich find das Video genial danke Steve ;)

    Von Christian O., vor fast 4 Jahren
  7. Default

    also ich find das Video genial danke Steve ;)

    Von Christian O., vor fast 4 Jahren
  8. Default

    jap, ist echt spitze - aber zu schnell!

    Von Deleted User 45112, vor fast 4 Jahren
  9. Default

    sehr gut erklärt, aber leider zu schnell .-!!!

    Von Majid, vor fast 4 Jahren
Mehr Kommentare