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Einleitung lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen behandelst du im Prinzip wie lineare Gleichungen. Sie unterscheiden sich von diesen nur dadurch, dass kein Gleichheitszeichen, sondern ein Ungleichheitszeichen zwischen den Termen steht.

Linear bedeutet: Die Ungleichung enthält die Variable x nur in der ersten Potenz, zum Beispiel 2x + 8 > 12. Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird von allen Werten für x gebildet, mit denen die Ungleichung eine wahre Aussage ergibt. Im Gegensatz zur linearen Gleichung, bei der – abgesehen von den Spezialfällen – nur eine Zahl als Lösung herauskommt, besteht die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung aus einer Menge von Zahlen, für die man eine Bedingung angibt. Die Ungleichung 2x + 8 > 12 hat beispielsweise die Lösungsmenge L = {x | x > 2}, also "die Menge aller x, für die x > 2 gilt“.

Äquivalenzumformungen

Die Äquivalenzumformungen, mit denen du zur Lösung gelangst, unterscheiden sich im Prinzip nicht von den entsprechenden Umformungen für Gleichungen. Nur beim Multiplizieren der Ungleichung musst du das Vorzeichen der Zahl beachten, mit der du multiplizierst. Das Gleiche gilt für das Dividieren.

Die Umformungsregeln für lineare Ungleichungen lauten also:

  1. Addierst oder subtrahierst du auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl (positiv oder negativ, hier spielt es noch keine Rolle), so ändert sich die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.
  2. Multiplizierst bzw. dividierst du beide Seiten einer Ungleichung mit bzw. durch dieselbe positive Zahl, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht.
  3. Multiplizierst bzw. dividierst du hingegen beide Seiten einer Ungleichung mit bzw. durch dieselbe negative Zahl, dann ändert sich die Lösungsmenge nur dann nicht, wenn du außerdem das Ungleichheitszeichen umdreht. Aus > wird <, aus < wird >.

Lösen von lineren Ungleichungen

Genau wie bei den Gleichungen besteht die Strategie für das Lösen einer Ungleichung darin, die Variable auf einer Seite zu isolieren, sodass am Schluss eine Gleichung der Form x > a bzw. x < a vorliegt. Aus der liest du die Lösungsmenge ab.

Lineare Ungleichungen lösen Beispiel 1

Gegeben ist die Ungleichung 6(x – 1) + 1 > 3x + 13.

Beide Seiten vereinfachst du zunächst so weit wie möglich:

6(x – 1) + 1 > 3x + 13 | Ausklammern

6x – 6 + 1 > 3x + 13 | Zusammenfassen

6x – 5 > 3x + 13

Jetzt addierst bzw. subtrahierst du die passenden Terme und Zahlen auf beiden Seiten, sodass anschließend auf der linken Seite nur noch ein Term mit x und auf der rechten Seite nur noch eine Zahl stehen:

6x – 5 > 3x + 13 | –3x + 5

3x > 18

Schließlich teilst du noch durch den Koeffizienten von x, hier also durch 3. Da 3 positiv ist, muss das Ungleichheitszeichen nicht umdreht werden:

3x > 18 | :3

x > 6

Die Lösungsmenge besteht also aus allen Zahlen größer als 6: L = {x | x > 6}.

Lineare Unlgeichungen lösen Beispiel 2

5 – x < 2(4 + x) | Ausmultiplizieren

5 – x < 8 + 2x | –2x – 5

–3x < 3 | : (–3)

x > –1

Hier wurde wegen der Division durch –3 das Ungleichheitszeichen umgedreht. Die Lösungsmenge lautet: L = {x | x > –1}.

Ungleichungen mit dem Zeichen ≥ bzw. ≤ sind Kombinationen aus Ungleichungen mit > bzw. < und Gleichungen. Für sie gelten dieselben Umformungsregeln wie für die Ungleichungen mit > bzw. <.

Spezialfälle lineare Ungleichungen

Folgende Spezialfälle können bei linearen Ungleichungen auftreten:

Bei der Ungleichung 3x + 7 > 2x + 8 + x steht auf beiden Seiten der Term 3x, der subtrahiert werden kann. Dadurch fällt die Variable x ganz heraus und die Ungleichung lautet 7 > 8. Diese Aussage ist immer falsch, die Lösungsmenge ist deshalb leer: L = { }.

Die Ungleichung 2x – 5 < –4 – x + 3x lässt sich äquivalent umformen zu –5 < –4. Diese Aussage ist immer richtig, egal welchen Wert du für x einsetzt. Die Lösungsmenge besteht also aus dem gesamten Definitionsbereich der Ungleichung.

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Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Lineare Ungleichungen

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