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Transkript Was sind lineare Ungleichungen?

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Heute wollen wir gemeinsam die linearen Ungleichungen kennenlernen. Hierzu direkt ein kleines Beispiel: Die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist kleiner als 45. Wie können die Zahlen heißen?

Was sind lineare Ungleichungen?

Du hast ja schon die linearen Gleichungen kennengelernt. Eine lineare Ungleichung ist im Prinzip dasselbe. Es gibt allerdings bei der Schreibweise einen kleinen Unterschied: Ungleichungen bestehen aus zwei Zahlen, Größen oder Termen, die durch ein Relationszeichen wie kleiner, größer, kleiner gleich oder größer gleich verbunden sind.

Beispielaufgabe 1 & Regeln beim Lösen von Ungleichungen

Unser Beispiel vom Anfang, dass die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist kleiner als 45, führt auf folgende Ungleichung: Da es sich um drei aufeinanderfolgende Zahlen handelt, heißt die erste Zahl x, die zweite Zahl x + 1, und die dritte Zahl x + 2. Die Summe bedeutet das Ergebnis einer Additionsaufgabe. Dies führt zu folgendem Term: x plus in Klammern x plus 1 plus in Klammern x plus 2.

Die Summe soll kleiner als 45 sein. Deshalb darf man nun kein Gleichheitszeichen verwenden. Hier muss das Relationszeichen kleiner als hin. Die Ungleichung heißt also: x + x +1 + x + 2 ist kleiner 45, wobei das x aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ist.

Nun müssen wir zunächst den Term auf der linken Seiten der Ungleichung zusammenfassen. Wir erhalten: 3x + 3 ist kleiner 45

Dann lösen wir die Ungleichung genauso wie wir eine Gleichung lösen. Es gelten dieselben Regeln. Eine Ausnahme gibt es allerdings. Auf die werden wir im 2.Beispiel noch zu sprechen kommen.

Zur Erinnerung hier noch einmal alle Regeln, die beim Lösen von Gleichungen verwendet werden dürfen.

  • Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst.
  • Auf beiden Seiten der Gleichungen wird derselbe Term addiert oder subtrahiert.
  • Beide Seiten der Gleichung werden mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert.
  • Nicht möglich sind die Multiplikation mit Null und die Division durch 0.

Wir lösen die Ungleichung nun einfach mal nach diesen Regeln. Zunächst subtrahieren wir die Ungleichung 3x+3<45 auf beiden Seiten 3 und erhalten. 3 x ist kleiner als 42. Nun dividieren wir die Ungleichung durch 3 und erhalten: x kleiner 14

Alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 14 sind, erfüllen also die Ungleichung. Wir machen eine Probe. Als erste Zahl muss man also eine natürliche Zahl wählen, die kleiner als 14 ist. Nehmen wir einmal die Zahl 13 und machen die Probe.

Die zweite Zahl ist dann 14 und die dritte Zahl ist dann 15. Die Summe von 13, 14 und 15 ist 42 und somit kleiner als 45. Wenn man nun als erste Zahl 14 wählt , dann sind die beiden anderen Zahlen 15 und 16. Die Summe von 14, 15 und 16 ist 45, und dies darf laut Aufgabenstellung nicht sein. Wir haben also nun praktisch eine Probe durchgeführt.

Auch bei einer Ungleichung gibt es natürlich eine Lösungsmenge. Man schreibt sie folgendermaßen: Die Lösungsmenge L ist gleich die Menge aller x aus dem Bereich der natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft x ist kleiner als 14.

Beispielaufgabe 2 & Regeln beim Lösen mit negativen Zahlen

Bis jetzt war noch fast alles wie bei den linearen Gleichungen. Nun kommen wir aber zu dem wichtigen Unterschied beim Lösen von linearen Ungleichungen. Als Beispiel verwenden wir -5x < 15 , wobei x Elemente aus dem Bereich der ganzen Zahlen sind.

Zunächst lösen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Wir addieren auf beiden Seiten der Ungleichung 5x und erhalten 0 ist kleiner als 5x + 15. Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten der Ungleichung 15 und erhalten - 15 ist kleiner als 5x. Jetzt dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch 5 und erhalten - 3 ist kleiner x oder anders ausgedrückt x ist größer als - 3.

Jetzt versuchen wir die Aufgabe unter Verwendung der bekannten Umformungsregeln schneller zu lösen: -5x ist kleiner als 15. Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -5 und erhalten x kleiner -3.

Aber halt, eben hatten wir x > -3 herausbekommen. Das ist ein Widerspruch zum jetzigen Ergebnis. Deshalb gibt es beim Umgang mit Ungleichungen auch folgende wichtige Regel:

Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert beziehungsweise durch eine negative Zahl dividiert, dann muss man das Relationszeichen umdrehen.

Und dann passt auch alles wieder! Wir dividieren die Ungleichung -5x < 15 durch -5 und erhalten, wenn wir das Relationszeichen umdrehen x > -3. Und dies ist das Ergebnis, das wir eben herausgefunden haben.

Wir können unsere Ergebnisse auch auf der Zahlengerade verdeutlichen. Wenn x < 14 ist, dann müssen alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 14 sind, die Ungleichung erfüllen. Bei unserem Beispiel waren dies alle natürlichen Zahlen, die links von der 14 liegen.

Wenn x > -3 ist, dann sind alle Zahlen, die größer als -3 sind, Lösungen der Ungleichung. Dies sind alle ganzen Zahlen, die rechts von der -3 liegen.

Wenn man die Relationszeichen < oder > in der Ungleichung hat, dann gehört die Grenze auch noch zur Lösungsmenge. Dann würde bei der Ungleichung x -3 auch noch die Zahl -3 zur Lösungsmenge gehören und deshalb auch auf der Zahlengeraden markiert sein.

Schluss

So, jetzt hast du Einiges über Ungleichungen gelernt. Du kannst einfache lineare Ungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen und die Lösungsmenge mit Hilfe einer Zahlengeraden darstellen. Ich hoffe, dass es dir Spaß gemacht hat!

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3 Kommentare
  1. Koala

    Bei der Zahlengerade was ist mit 2,5

    Von Ajenth S., vor 8 Monaten
  2. Default

    Hilfreiches und übersichtliches Video! :D

    Von Simone S., vor 9 Monaten
  3. Default

    Sehr schönes Video! :) :D

    Von Angelikaklemm, vor etwa 3 Jahren