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Transkript Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ?

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute wollen wir uns mit der relativistischen Massenzunahme aus dem Gebiet der speziellen Relativitätstheorie beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr auf jeden Fall die Filme zur Längenkontraktion und Zeitdilatation gesehen haben. Wir lernen heute: was die relativistische Massenzunahme ist, wo sie herkommt, an einem Beispiel, und wie ich ihre Formel herleiten kann. Als relativistische Massenzunahme bezeichnet man in der speziellen Relativitätstheorie die Regel, nach der die Masse m eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit v wächst. Dabei misst ein relativ zum Körper ruhender Beobachter immer die kleinste Masse m0. Dieses m0 nennt man die Ruhemasse dieses Körpers. Die relativistische Massenzunahme besagt also, dass ein Körper, solange er, von einem Beobachter aus gesehen, nicht mehr ruht, immer schwerer wird, je schneller er wird. Und wie das genau funktionieren soll, dass sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir betrachten als Beispiel mal folgenden Vorgang: In einem Crashtest für Raketen schießen wir eine Rakete von der Erde zum Mond. Diese Rakete fliegt mit einer Geschwindigkeit von 1% der Lichtgeschwindigkeit, also 0,01c, von der Erde zum Mond. Das Ganze wird aber nicht nur von der Erde, sondern auch von einem vorbeifliegenden Raumschiff aus betrachtet werden. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs soll dabei 50% der Lichtgeschwindigkeit, also 0,5 c, betragen und seine Bewegungsrichtung soll senkrecht zu der, der Rakete sein. Als Abstand zwischen Erde und Mond setzen wir L=2ls. So, dann schreiben wir uns mal auf, wie ein Beobachter auf der Erde das Ganze wahrnimmt. Die Geschwindigkeit der Rakete ist 0,01c, also 3×106m/s. Der Abstand zwischen Erde und Mond ist 2ls oder 6×108m. Daher braucht unsere Rakete für den Flug die Zeit t=200s. Bei ihrer Ankunft kracht die Rakete in den Mond und richtet dabei einen Schaden an, der von ihrem Impuls abhängt. Der Impuls der Rakete p=m×v. Mit einer Masse von 100000 kg ergibt sich also: P=3×1011 kgm/s. So weit, so gut. Vom Raumschiff aus sieht man nun Folgendes: Da vom Raumschiff aus nur Längen in Bewegungsrichtung verkürzt wahrgenommen werden, verändert sich die Längenkontraktion l nicht. l'=l=2ls. Anders sieht das Ganze für die Zeit t' aus. Durch die Zeitdilatation misst man vom Raumschiff aus eine höhere Zeit t für den Vorgang. Wenn man in die Formel einsetzt: t'=t/\sqrt(1-v²/c2). Vom Raumschiff aus misst man also t'=231s. Da die Geschwindigkeit Weg durch Zeit ist, folgt hieraus: Vom Raumschiff aus wird eine kleinere Geschwindigkeit v' gemessen, als von der Erde aus. Da bei beiden Systemen dieselbe Zerstörung beobachtet wird, müssen die Impulse in den beiden Systemen gleich sein. p'=p und daher kann ich schreiben: m×v=m'×v' und da v' < v ist, muss, damit die Gleichung erfüllt wird, m' > m sein. Wenn ich also von einem relativ bewegten System aus die Masse eines Körpers messe, dann erscheint sie mir vergrößert. Und wir stark genau diese Vergrößerung ist, das wollen wir nun im letzten Kapitel herleiten. Wir benutzen dafür die gerade verwendete Formel, dass der Impuls in beiden Systemen gleich ist. Wir schreiben: p'=p oder m×v=m'×v'. Die Geschwindigkeit v ist der Weg durch die Zeit, also können wir schreiben: m×l/t=m'×l'/t'. Da in unserem Beispiel gerade l'=l war, können wir das l gleich herauskürzen und übrig bleibt m/t=m'/t'. Ich nehme mal t' und erhalte m'=t'/t×m. Nun muss ich nur noch die Formel für die Zeitdilatation einsetzen. t'=t/\sqrt(1-v²/c²). Und damit erhalte ich schon die Formel für die Massenzunahme. Statt m setze ich übrigens gleich m0 ein, denn unser eigenes System soll ja unbewegt sein, in ihm messe ich also die Ruhemasse. m'=m0/\sqrt(1-v²/c²) oder m'=k×m0, wobei k der sogenannte Lorenzfaktor ist. k=1/\sqrt(1-v²/c²). Ihr seht also, die Masse eines Körpers steigt mit seiner Geschwindigkeit, besonders stark, wenn seine Geschwindigkeit an die Lichtgeschwindigkeit herankommt. Links seht ihr ein Diagramm, in dem die Masse in Vielfachen der Ruhemasse gegen die Geschwindigkeit bis zum Höchstwert c aufgetragen ist. Wie ihr seht, überschreitet ein Körper bei knapp über 85% der Lichtgeschwindigkeit das Doppelte seiner Ruhemasse. Und dann steigt die Masse rasant schnell an, je näher ich an c komme. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Misst ein Beobachter die Masse eines relativ zu sich bewegten Körpers, so erhält er ein höheres Ergebnis als die Ruhemasse m0, die ein relativ zum Körper ruhender Beobachter messen würde. Wir haben gesehen, die relativistische Massenzunahme lässt sich über die Zeitdilatation herleiten. Die Formel für die relativistische Massenzunahme ist: m=m0/\sqrt(1-v²/c²) oder =m0×k mit dem Lorenzfaktor k=1/\sqrt(1-v²/c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.  

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