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Transkript Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir machen heute, aus dem Gebiet spezielle Relativitätstheorie, die Addition von Geschwindigkeiten. Für dieses Video solltet ihr auf jeden Fall den Film über die Lorenztransformation gesehen haben. Wir lernen heute, warum ich überhaupt eine neue Regel zur Addition von Geschwindigkeiten brauche. Man nennt diese Regel auch das Geschwindigkeitsadditionstheorem. Wie ich dieses Theorem herleiten kann und wie das Ganze an einer Beispielrechnung aussieht. Dann wollen wir mal. Wir betrachten folgendes Problem: "Eine Rakete wird mit der Geschwindigkeit w' aus einem Raumschiff geschossen." Das Ganze wird von einem Beobachter auf der Erde beobachtet. Wie groß ist für ihn die Geschwindigkeit, wir nennen sie dann w, wenn das Raumschiff mit der Geschwindigkeit v=0,6c an der Erde vorbeifliegt? Wir wollen das Ganze Mal klassisch berechnen und nehmen für w'=0,6c, dann ergibt sich w=v+w'=1,2c. Das kann aber natürlich nicht sein! Nichts darf schneller als die Lichtgeschwindigkeit sein. Wir sehen also, wenn wir versuchen die Addition von Geschwindigkeiten nach der klassischen Methode durchzuführen, dann erhalten wir einen Widerspruch mit den Grundprinzipien der Relativitätstheorie und deswegen gibt es für die Addition von Geschwindigkeiten, in der speziellen Relativitätstheorie, das eben vorhin genannte Additionstheorem, das anderen Gesetzen folgt und wie wir das herleiten können, das wollen wir uns nun im nächsten Kapitel ansehen. Wir wollen das Additionstheorem aus den Formeln der Lorenztransformation herleiten und schreiben uns deswegen ihre Gleichungen noch einmal auf. Habe ich die Koordinaten x' und t' eines Vorgangs, so kann ich sie in die Koordinaten eines anderen Systems xt transformieren, wenn ich folgende Formeln benutze: x=k×(x'+v×t') und t=k×(t'+x'(v/c2²)). Vom Raumschiff aus betrachtet ist die Geschwindigkeit der Rakete w' die Änderung des Ortes, also (?x')/(?t'), also die Änderung der Zeit, oder anders gesagt, (x2'-x1')/(t2'-t1'). Von der Erde aus, ist das genau das Gleiche nur eben ohne die Striche. Die Geschwindigkeit w ist der zurückgelegte Weg ?x durch die dafür benötigte Zeit ?t oder anders gesagt (x2-x1)/(t2-t1). W ist nun genau was wir suchen und wir setzen einfach für x2, x1, t2 und t1 die Formeln der Lorenztransformation ein. Damit erhalten wir dann w=(k(x2'+vt2')-k(x1'-vt1'))/(k(t2'+x2'(v/c²))-k(t1'+x1'(v/c²)). Wie ihr seht kann ich die k sofort ausklammern und kürzen, außerdem will ich ein wenig umsortieren. Ich bringe die x nach vorne, die t´s nach hinten und klammere das v aus und unten mache ich das Gleiche nur umgekehrt. Ich erhalte x2'-x1'+v(t2'-t1') dann großer Bruchstrich und unten (t2'-t1'+(v/c²)(x2'-x1'). So schon fast am Ziel, jetzt mache ich nur noch Eines, nämlich sowohl oben, als auch unten durch t2'-t1' zu teilen. Ich erhalte folgenden Bruch, der auf den ersten Blick noch ein wenig kompliziert aussieht. Wenn ihr genau hinseht, seht ihr allerdings, in den orangefarbenen Kästen befindet sich (t2'-t1')/(t2'-t1') und das ist natürlich 1. Wenn ihr nach oben seht, w' war genau (x2'-x1')/(t2'-t1') und das ist genau das, was in den beiden anderen lila markierten Kästen steht. Das heißt, ich ersetze die orangefarbenen Kästen durch 1 und die lila markierten Kästen durch w' und damit sieht meine Formel schon viel schöner aus. Es steht nun da, die von der Erde aus betrachtete Geschwindigkeit der Rakete w=(w'+v)/(1+((v×w')/c²)) und das ist auch schon das gesamte Geschwindigkeitsadditionstheorem. Wir wischen mal, bis auf unseren roten Kasten, alles weg und wollen nachsehen, was wir für unser Beispiel mit der Rakete, dem Raumschiff und der Erde erhalten. Wir malen noch mal schnell eine kleine Skizze. Unser Raumschiff feuerte eine Rakete mit der Geschwindigkeit w'=0,6c ab, außerdem sollte es an der Erde vorbeifliegen und entfernt sich nun von dieser ebenfalls mit der Geschwindigkeit 0,6c in die andere Richtung. Die Frage war nun: "Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete von der Erde aus betrachtet?" Also w? Wir setzen ein, w=w'+v also (0,6c+0,6c)/(1+(v×w')) also 0,6c²/c². Die c's im Nenner kürzen sich weg und ich erhalte =1,2c/1,36 und das ergibt 0,88c. Von der Erde aus betrachtet ist die Geschwindigkeit der Rakete also 88% der Lichtgeschwindigkeit. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Da die klassische Addition von Geschwindigkeiten zu Geschwindigkeiten führen kann, die größer als die Lichtgeschwindigkeit sind, gilt in der Relativitätstheorie hierfür ein spezielles Additionstheorem. Die Formel dieses Additionstheorems kann aus den Gleichungen der Lorenztransformation hergeleitet werden. Sie lautet: w=(w'+v)/(1+((v×w')/c²)). In unserem Beispiel mit w'=v=0,6c ergab sich zum Beispiel die beobachtete Geschwindigkeit w=0,88c. So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten mal. Euer Kalle.

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1 Kommentar
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    super erklärt,hat mir wirklich sehr gut geholfen!

    Von Moritzglkher, vor mehr als 3 Jahren