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Transkript Impulserhaltung – elastischer Stoß

Hallo und herzlich willkommen, zu einem Video über den elastischen Stoß. Steigen wir ohne größere Umschweife direkt ein. Was passiert, wenn wir einen Körper mit der Masse m, mit der Geschwindigkeit v0, auf einen anderen, ruhenden Körper ballern, der die doppelte Masse hat, also 2m. Betrachte dies als einen elastischen Stoß. Noch mal zusammengefasst, vor dem Stoß hat der Körper 1 m die Masse =m und v0, die Anfangsgeschwindigkeit =v0. Und der Körper 2 hat die Masse m'=2m und die Anfangsgeschwindigkeit v0'=0, also er ruht. Gesucht ist v1 und v1' nach dem Stoß. Wir haben also 2 Unbekannte und brauchen demnach auch 2 Gleichungen. Dabei sind jetzt 2 folgende Fragen zu beantworten. A: Woher bekommen wir diese beiden Gleichungen? Und B: Berechne v1 und v1'. Du kannst das Video an dieser Stelle pausieren und versuchen, selbst zu denken und zu rechnen. Hier die Lösung. a) Woher bekommen wir diese beiden Gleichungen? Eine Gleichung bekommen wir aus der Impulserhaltung, das liegt ja irgendwie auf der Hand. In der Aufgabenstellung kommt ein Schlüsselwort vor, nämlich elastisch. Immer wenn von elastisch die Rede ist, meint das, die Energieerhaltung darf angewendet werden. Die 2. Gleichung bekommen wir also aus der Energieerhaltung und die 1., wie vorhin gesagt, aus der Impulserhaltung. b) Berechne v1 und v1', also die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß. Dazu stellen wir die Impuls- und Energieerhaltungsgleichungen auf. 1. Impuls, der Impuls vorher ist gleich p(vor)=p0+p', also einfach die Summe der beiden Impulse. Und das ist gleich (m×v0)+(m'×0)=m×v0. Hier habe ich einfach die beiden Impulse vor dem Stoß addiert, um den Gesamtimpuls zu berechnen. Die Impulserhaltung gilt ja nur für den Gesamtimpuls eines Systems. Der Impuls des 2. Körpers ist 0, weil er ja keine Geschwindigkeit hat. Der Impuls nach dem Stoß ist: p(nach)=(m×v1)+(m'×v1'). Was immer die Geschwindigkeiten v1 und v1' nach dem Stoß sind, der Gesamtimpuls des Systems wird sich genau so zusammensetzen, auch wenn wir die Geschwindigkeiten noch gar nicht kennen. Und da wir gefordert haben, dass m'=2m ist, schreiben wir gleich mal p(nach)=(mv1)+(2mv1'). Die Impulserhaltung sagt uns, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss. Also aus p(vor)=p(nach) folgt (m×v0)=(m×v1)+(2m×v1'). Und da können wir das m gleich kürzen, v0=v1+(2v1'). Das ist die 1. Gleichung, bei der wir landen. Wie du siehst, enthält sie beide Unbekannte, v1 und v1'. Das bedeutet, wir brauchen eine weitere Gleichung. Wenden wir uns dazu der Energieerhaltung zu, wir haben es hier glücklicherweise nur mit kinetischen Energien zu tun. Die Gesamtenergie vorher ist E(vor)=(1/2m(v0)²). Da die Anfangsgeschwindigkeit der 2. Masse 0 ist, lasse ich den 2. Term direkt weg. Die Gesamtenergie nachher ist: E(nach)=(1/2m(v1)²)+(1/2m'(v1')²)=(1/2m(v1)²)+(m(v1')²), wieder habe ich nur m' durch 2m ersetzt im zweiten Term. Die Energieerhaltung besagt, dass die Energie vor dem Stoß gleich der Energie nach dem Stoß ist, also haben wir (1/2m(v0)²)=(1/2m(v1)²)+(m(v1')²). Auch hier können wir das m kürzen und mit 2 durchmultiplizieren. (v0)²=(v1)²+2(v1')². Das hier ist nun unsere 2. Gleichung, auch diese enthält beide Unbekannte. Der Rest ist reines Gleichungen lösen. Es gibt viele Möglichkeiten, das zu tun. Ich werde einfach willkürlich eine Möglichkeit aussuchen. Lösen wir die Impulsgleichung mal nach v1 auf, v1=v0-(2v1'), und setzen diese in die Energiegleichung ein, (v0)²=(v0)²-(4v1'×v0)+(4(v1')²+(2(v1')²). Dann kürze ich auf beiden Seiten das (v0)² und wir landen bei 0=-(4v1'×v0)+(6(v1')²). Hier können wir ein v1' kürzen, unter der Bedingung, dass es nicht 0 ist. Aber das ist ja wohl klar, dass das nach einem Stoß nicht der Fall sein kann. Und direkt nach v1' aufgelöst ergibt sich v1'=(2/3)v0. Und das jetzt in die Impulsgleichung eingesetzt ergibt: v1=v0-(2(2/3)v0)=-(1/3)v0. Das Minuszeichen sagt uns, dass der Körper seine Richtung ändert. Wir haben jetzt also 2 eindeutige Ergebnisse für die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß berechnet. Die Mathematik lässt den Körpern quasi nur diese eine Möglichkeit, ihre Gleichungen zu erfüllen. Und faszinierenderweise hält sich die Natur sogar daran und verhält sich genau so, als ob sie wüsste, was ihr die Mathematik erlaubt, und was eben nicht. So, das war jetzt ein Video zur Impuls- und Energieerhaltung und damit bedanke ich mich. Bis zum nächsten Mal!

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