Raketengleichung 07:26 min

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Transkript Raketengleichung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute mit der Raketengleichung. Wir lernen heute, wie ein Raketenantrieb funktioniert, wie ich die Raketengleichung herleiten kann und was das Stufenprinzip ist und welchen Sinn es hat. Der Antrieb einer Rakete - ihr habt bestimmt schon einmal einen Raketenstart im Fernsehen gesehen -  basiert auf dem Rückstoßprinzip. Die Idee ist: Einen Treibstoff - eine Masse, wir bezeichnen sie mit mt - wird mit der Geschwindigkeit vt ausgestoßen. Dadurch gewinnt die Rakete an Impuls. Das Ganze lässt sich gut mit dem Impulserhaltungssatz verstehen. Oder ihr denkt einfach an einen Luftballon, der aufgepumpt ist und den ihr loslasst. Die Luft rauscht heraus und der Luftballon flitzt davon. Hier haben wir die Rakete. Der Treibstoff wird nach hinten herausgestoßen und dadurch wird die Rakete schneller. Wir wollen überlegen, was passiert, wenn wir einen Start aus dem Stand betrachten. Der Gesamtimpuls, der m×v beträgt, ist dann =0. Im nächsten Kapitel wollen wir uns ansehen, wie wir von einer stehenden Rakete mit Gesamtimpuls 0 ausgehend eine Gleichung herleiten können, die uns den Abflug der Rakete erklärt. Unsere Rakete stößt, während sie fliegt, innerhalb eines kurzen Zeitraums die Masse mt aus mit der Geschwindigkeit vt und gewinnt dadurch die Geschwindigkeit Δv. Ihre Masse m verringert sich dadurch leicht um die Masse des ausgestoßenen Treibstoffes. Wir wissen: Am Anfang war der Gesamtimpuls P=m0×v0=0. Die Masse nach dem Ausstoß ist m0-mT. Mein Impulserhaltungssatz nach Ausstoß des Treibstoffes ist also m×Δv+mT×vT=0, und das ist der Ansatz, den wir für unsere Gleichung wollen. Wir setzen das m von rechts ein und erhalten (m0-mT)Δv+mTvT=0. WIr halten noch kurz fest: Die Masse des Treibstoffes ist sehr klein gegen die Masse der Rakete und die Geschwindigkeit des Treibstoffes ist sehr groß gegen die gewonnene Geschwindigkeit Δv. Wir multiplizieren aus und erhalten: m0×Δv-mT×Δv+mT×vT=0. Wenn wir nach rechts gucken, sehen wir: mT und Δv sind beide sehr klein. Das mittlere Glied in dieser Gleichung können wir also vernachlässigen. Unsere Gleichung wird also zu Δv= die Geschwindigkeit des Treibstoffs mal die Masse des Treibstoffs geteilt durch die ursprüngliche Masse m0. Δv ist also (-vT×mT)/m0. Wenn ich auf beiden Seiten integriere, erhalte ich ∫(v0,v)dv=-vt∫(m0,m)(dm)/m. Das ergibt für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 - bei uns 0 - +vT×ln(m0/mT). Betrachte ich die Endgeschwindigkeit, also wenn der gesamte Treibstoff ausgestoßen ist, bedeutet das: die Endgeschwindigkeit ve=v0+vT×ln(m0/me). Für unser Beispiel war ja die Anfangsgeschwindigkeit =0. Das ist aber noch nicht alles. Wir haben völlig vergessen, dass wir gegen die Fallbeschleunigung g der Erde arbeiten. Die resultierende Geschwindigkeit ist also v res=ve-vF, also den Geschwindigkeitsunterschied, den die Fallbeschleunigung ausmacht. Das ergibt: vT×ln(m0/me)-g×t. Das ist die Raketengleichung. Im letzten Abschnitt wollen wir uns noch kurz ansehen, was man unter dem Stufenprinzip versteht und warum man solche Raketen baut. Ihr seht hier ein Bild, das von der NASA angefertigt wurde. Es zeigt die Schemata zweier Dreistufenraketen und an diesem Bild will ich kurz erklären, was eine mehrstufige Rakete ist. Wie ihr seht, haben die beiden Raketen mehrere Antriebsphasen. Unten einen Ring aus Raketen, darüber eine zweite große Rakete und darüber, Third Stage steht dort, einen dritten kleinen Antrieb und ganz obendrauf eine Kapsel. Diese Kapsel ist eigentlich das Einzige, das transportiert wird. Zuerst werden die Raketen unten gezündet. Sobald ihr Treibstoff aufgebraucht ist, werden sie abgeworfen, damit Masse gespart wird und dann zündet die zweite, im Bild blaue Rakete in der Mitte. Wenn auch ihr Treibstoff verbraucht ist, ist die Kapsel oben bereits so weit, dass ein sehr kleiner Antrieb ausreicht, um sich weiter fortzubewegen. Das ist eine mehrstufige Rakete. Mit solchen mehrstufigen Raketen erreicht man höhere Endgeschwindigkeiten und damit höhere Erdumlaufbahnen. Jede Stufe besteht aus einem kompletten Antrieb, das heißt jeder Menge Treibstoff, einem Treibstoffbehälter und einem Ausstoßmechanismus. Ist der Treibstoff aufgebraucht, wird die Stufe einfach abgeworfen, damit man das inzwischen unnütz gewordene Gewicht von Treibstoffbehälter und Ausstoßmechanismus nicht mehr mit sich herumtragen muss. Dadurch verringert sich die Masse der Rakete, und der Geschwindigkeitszuwachs wird größer. Allerdings kann solch eine Rakete auch weniger Last transportieren. Ihr habt im Bild gesehen: Die Kapsel, die am Ende übrig bleibt, ist ziemlich klein. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Ein Raketenantrieb funktioniert nach dem Rückstoßprinzip. Treibstoff wird mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen, wodurch die Rakete an Impuls gewinnt. Die Raketengleichung lautet: Die Endgeschwindigkeit ve= die Anfangsgeschwindigkeit v0 + die Geschwindigkeit des Treibstoffausstoßes vT × ln(Anfangsmasse/ Endmasse). Fliegt die Rakete aus dem Stand los und startet von der Erdoberfläche, so lautet die Formel: ve=vT×ln(m0/me)-g×t. Außerdem haben wir gelernt: Mehrstufige Raketen erreichen höhere Endgeschwindigkeiten. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen und vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

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2 Kommentare
  1. Karsten

    @Alexpfeiler

    Leider nein, da du ja nicht die Geschwindigkeitsänderung Delta-t verwenden möchtest sondern die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t. Daher brauchst du hier auch das Integral.

    Von Karsten Schedemann, vor 15 Tagen
  2. Default

    die Herleitung der Formel für delta v ist logisch, wieso integriere ich diese dann? geht es nicht auch ohne integral?

    Von Alexpfeifer, vor 16 Tagen