Die gedämpfte mechanische Schwingung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle!
Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen mit der gedämpften mechanischen Schwingung beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über mechanische Schwingungen und über die harmonische mechanische Schwingung gesehen haben. Wir lernen heute, was eine gedämpfte mechanische Schwingung ist, wie sie aussieht und wo sie vorkommt und wie die Lösung der Schwingungsgleichung für eine gedämpfte Schwingung aussieht.
Eine gedämpfte mechanische Schwingung nennt man eine Schwingung, die von einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft, also zum Beispiel von Reibung, gebremst wird. Wir hatten im letzten Film gesagt, dass ich ein Federpendel als harmonischen Oszillator betrachten kann, wenn ich die Reibung vernachlässige. Aber ihr wisst natürlich, in Wirklichkeit wird mein Federpendel irgendwann zum Stillstand kommen, da es einer Reibung unterliegt. Und das gilt für so gut wie alle mechanischen Schwingungen. Und deshalb kann ich sagen: Fast alle mechanischen Schwingungen sind gedämpfte Schwingungen.
So, aber nun wollen wir wissen: Wie sieht denn nun der y-t-Verlauf solch einer Schwingung aus und wo kommen gedämpfte Schwingungen vor? Im Bild seht ihr rechts ein relativ stark gedämpftes Federpendel und links dazu den y-t-Verlauf. Wie ihr seht, startet die Schwingung zum Zeitpunkt 0 bei der Auslenkung y0, die bei einer ungedämpften Schwingung die Amplitude wäre. Auch unser gedämpftes Pendel führt dann einen Schwingvorgang aus, allerdings wird die maximale Auslenkung mit der Zeit immer kleiner, bis die Schwingung irgendwann ganz zum Erliegen kommt.
Beispiele für gedämpfte Schwingungen gibt es viele. Als Erstes wäre da zum Beispiel der Stoßdämpfer im Auto oder die Federgabel im Fahrrad. Beide sind relativ stark gedämpft, denn euer Fahrradlenker wackelt ja nicht noch 5 Minuten lang, wenn ihr einen Bordstein heruntergefahren seid. Eine Gitarrensaite dagegen ist ein Beispiel für eine sehr leicht gedämpfte Schwingung, nur von der Luftreibung nämlich. Wenn sie einmal angeschlagen ist, kann man den Ton noch eine lange Zeit hören. Ein weiteres Beispiel für eine leicht gedämpfte Schwingung sind die Wasserwellen, die entstehen, wenn ich einen Stein in einen Teich werfe. Es dauert eine ganze Weile, bis das Wasser sich wieder beruhigt hat.
Wie stark die Dämpfung einer Schwingung ist, hängt von der Dämpfungskonstanten β ab. Und welchen Einfluss die in der Schwingungsgleichung hat, das wollen wir uns nun im letzten Kapitel noch einmal genauer ansehen.
Wir hatten ja schon im Film über mechanische Schwingungen die allgemeine Schwingungsgleichung aufgeschrieben. Und diesmal brauchen wir auch alle ihre Glieder. Sie lautete: m×y^Punkt-Punkt+β×y^Punkt+k×y=0. Dabei ist m die Masse, β die Dämpfungskonstante und k die Federkonstante. y ist die Auslenkung, y^Punkt oder dy/dt ist die Geschwindigkeit, und y^Punkt-Punkt oder d^2/dt^2 ist die Beschleunigung.
Wie man diese Differenzialgleichung löst, ist ziemlich kompliziert und wird normalerweise in der Schule nicht durchgenommen. Ihre Lösung lautet: y(t), also die Auslenkung zum Zeitpunkt t =y0×e^(-δ/t)×sin(ωd×t+φ). Dabei ist δ=β/2×die Masse unseres schwingenden Körpers (m) und ωd die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung, die kleiner ist als die der ungedämpften Schwingung. Ihr Wert ist ωd=\sqrt((k/m)-(β^2/4m²)). Wenn ihr euch diese Lösung genauer anseht, erkennt ihr: Je größer δ ist, desto schneller sinkt e^(-δ/t), und je größer ωd ist, desto schneller schwingt der Sinus.
Es gibt also verschiedene Arten von gedämpften Schwingungen, die sich durch ihr Verhältnis von ωd zu δ unterscheiden. Der 1. Fall ist der sogenannte Schwingfall, den wir gerade im letzten Kapitel schon in groß gesehen haben. Hier ist ωd > δ. Das bedeutet, das System schwingt mehrere Male mit kleiner werdender Auslenkung, bis es zur Ruhe kommt.
Ist ωd genau gleich δ, spricht man vom sogenannten aperiodischen Grenzfall. Hier ist die Schwingung so gedämpft, dass sie die Gleichgewichtslage erreicht, ohne zu überschwingen, auf schnellstmöglichem Wege. Ein Beispiel für den aperiodischen Grenzfall sind zum Beispiel die Stoßdämpfer des Autos.
Ist ωd < δ, so ist die Schwingung noch stärker gedämpft. Dann spricht man vom sogenannten Kriechfall. Und der Name ist auch Programm. Beim Kriechfall dauerte es eine ganze Zeit, bis die Gleichgewichtslage erreicht ist. Ein Beispiel dafür wäre zum Beispiel ein Federpendel in einem sehr zähen Medium, wie zum Beispiel Öl.
Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Man nennt eine mechanische Schwingung gedämpft, wenn sie von einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft gebremst wird. Die Stärke dieser Dämpfung hängt von der Dämpfungskonstanten β ab. Die Lösung der Schwingungsgleichung für die gedämpfte mechanische Schwingung ist: Die Auslenkung zur Zeit t =y0×e^(-δ/t)×sin(ωd×t+φ). Dabei ist δ=β/2×m und ωd=\sqrt((k/m)-(β^2/4m²)).
So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal.
Euer Kalle