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Transkript Mechanische Schwingung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, aus dem Themengebiet Schwingungen und Wellen, mit mechanischen Schwingungen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über mechanische Wellen gesehen haben. Wir lernen heute was, eine mechanische Schwingung ist, wie man sie beschreiben kann und zum Schluss werden wir noch die Schwingungsgleichung aufstellen, die den ganzen Vorgang beschreibt. Wir haben im letzten Film erfahren, eine mechanische Welle ist die Ausbreitung von mechanischen Schwingungen durch ein Übertragungsmedium. Aber nun wollen wir natürlich wissen, was ist denn überhaupt eine mechanische Schwingung? Als mechanische Schwingung bezeichnet man die periodische, also mit der Zeit immer wiederkehrende Bewegung eines Körpers, um seine Gleichgewichtslage. In der Animation rechts könnt ihr ein Beispiel für so eine Schwingung sehen. Wenn ihr eine Kugel hochhebt und dann loslasst, dann wird sie, um den Gleichgewichtspunkt an ihrer Feder, schwingen. Die Ursache für eine Schwingung, wie gerade im Beispiel, ist folgende. Ein Körper wird durch eine Störung aus seiner Gleichgewichtslage entfernt, woraufhin eine rücktreibende Kraft einsetzt, die versucht, das Gleichgewicht wieder herzustellen. Unsere Kugel schießt aber nun mit Schwung über den Gleichgewichtspunkt hinaus, bis sie auf der anderen Seite der Feder gebremst und wieder zurückgeschleudert wird. Und so fängt sie an, zwischen den beiden Maximalpunkten ihrer Auslenkung zu schwingen. Als Nächstes wollen wir uns ansehen, anhand welcher Eigenschaften man eine mechanische Schwingung beschreiben kann. Im Bild seht ihr ein Auslenkung-Zeit-Diagramm für unsere Metallkugel. Ich habe die Auslenkung mit y bezeichnet. Nun kann ich natürlich praktisch die Auslenkung y zu jedem Zeitpunkt einfach in meiner blauen Kurve ablesen. Wie ihr seht, wiederholt sich ja die gleiche Schwingung immer wieder und die Dauer, die mein System benötigt, um einen einzigen Schwingvorgang auszuführen, nenne ich die Periodendauer. Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Schwingung ist die maximale Auslenkung. Diese nenne ich die Amplitude. Wir merken uns also, Eigenschaften, die ich zur Beschreibung meiner mechanischen Schwingung verwenden kann, sind unter anderem: Die Auslenkung, die die Entfernung zur Gleichgewichtslage ist, ich habe sie mit y(t) bezeichnet. Die Amplitude, die die maximale Auslenkung meines Systems ist. Sie trägt den Buchstaben A. Die Periodendauer ist die Zeit, die mein System benötigt, um einen einzelnen Schwingvorgang durchzuführen. Sie trägt den Buchstaben T. Ebenfalls wichtig ist die Frequenz einer mechanischen Schwingung. Sie gibt mir an, wie viele Schwingvorgänge mein System pro Sekunde ausführt. Die Letzten beiden hängen natürlich direkt zusammen. Die Frequenz gibt mir die Anzahl der Schwingvorgänge pro Sekunde an und die Periodendauer ist die Dauer eines Schwingvorgangs. Also ist die Frequenz f=1/T. Außerdem merken wir uns. Die Amplitude A ist die maximale Auslenkung. Ich schreibe A=ymax. Zum Schluss wollen wir nun noch versuchen, die Schwingungsgleichung aufzustellen, mit deren Hilfe wir unsere mechanische Schwingung mathematisch beschreiben können. Wir wissen, F=m×a oder anders geschrieben F=m×y^.. also die zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit. Dies ist das 2.Newtonsche Axiom. Außerdem könnte eine Kraft wirken, die unseren Schwingvorgang dämpft. Die Formel für so eine dämpfende Kraft wäre FD=-beta×v oder anders geschrieben FD=-beta×v^. Denn die erste Ableitung der Auslenkung nach der Zeit, ist ja die Geschwindigkeit. Als Letztes fehlt uns nun noch die Feder, die die rücktreibende Kraft auf unsere Kugel ausübt. Die Formel für die Federkraft gibt uns das Hooksche Gesetz, das besagt: Die von einer Feder ausgeübte Kraft FH=-k×y, wobei k die Federkonstante ist. Damit kann ich schreiben: Die Summe aller Kräfte F=m×y^..=-beta×y^.-ky.  Wenn ich das nun alles auf eine Seite bringe, erhalte ich die Schwingungsgleichung. Sie lautet my^..+beta×y^.+ky=0. Dabei ist, damit wir nicht durcheinander kommen, M die Masse, beta die Dämpfungskonstante, k die Federkonstante, y^.. die Beschleunigung, y^. die Geschwindigkeit und y die Auslenkung. Wir stellen gleich mal fest, da hier sowohl die Auslenkung, als auch ihre erste und zweite Ableitung nach der Zeit vorkommen, handelt es sich bei der Schwingungsgleichung um eine Differenzialgleichung und wie wir die für eine harmonische Schwingung lösen können, das sehen wir im nächsten Film. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Als mechanische Schwingung bezeichnet man die periodische Bewegung eines Körpers um seine Gleichgewichtslage. Eigenschaften einer mechanischen Schwingung sind unter anderem: die Auslenkung, also die Entfernung zur Gleichgewichtslage, die Amplitude A, die die maximale Auslenkung ist, die Periodendauer T, die mir angibt, wie lange mein System braucht, um einen einzigen Schwingungsvorgang auszuführen und die Frequenz F, die mir sagt, wie viele solcher Schwingungsvorgänge pro Sekunde stattfinden. Anders gesagt, die Frequenz F=1/T und die Amplitude A=ymax. Die Schwingungsgleichung einer mechanischen Schwingung mit Dämpfung lautet: m×y^..+beta ×y^.+ky=0. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Karsten

    @all

    Hier sind die Links zu weiteren Videos die die Mathematischen Hintergründe beschreiben.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/winkelfunktionen-spezielle-funktionswerte
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinusfunktion-allgemein-mit-parametern
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-2
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/partielle-integration-mit-sinus-und-cosinustermen

    Von Karsten Schedemann, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Mathematisch sagt mir das so gar nichts.
    Bitte Verlinkung zu den Videos, die dafür nötig sind, etc., um dies Video dann zu verstehen...

    Von Rosenrot78, vor fast 2 Jahren
  3. 2012 01 10 18.06.08

    Sehr gut erklärt,danke Kalle :-)

    Von Einfach Simon, vor mehr als 4 Jahren