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Transkript Veranschaulichung von Rotation und Divergenz

Wir haben irgendwann in den Tutorien oder in der Vorlesung die Begriffe Divergenz und Rotation gesehen. Die werden dann durch die Formeln gegeben, die hier an der Tafel stehen. Also für das Vektorfeld V mit Komponenten P,Q,R berechnet man Divergenz und Rotation nach den folgenden Regeln. Und das, was da steht, diese Formeln machen nicht wirklich Sinn. Man fragt sich, was das alles soll. Es sind irgendwelche Ableitungen, irgendwelche Summen, irgendwelche Differenzen, irgendwelche Vektoren. Jeder, der diese Formel zum ersten Mal sieht, der wird staunen und fragt, was soll man damit anfangen? Ziel dieses Beitrags ist, diese Formel sinnvoll zu machen. Ich sage im Folgenden die physikalische Interpretation von Divergenz und Rotation, aber mit einem Vorbehalt. Warum diese Interpretation, die ich gebe, richtig ist, das wird man nicht verstehen, leider. Um das zu verstehen, braucht man Integralsatz von Gauss und Integralsatz von Stokes. Das kommt noch auf uns zu. In diesem Beitrag will ich die Begriffe Divergenz und Rotation veranschaulichen, ohne dass ich da konkret beweise, warum diese Veranschaulichung richtig ist. Aber das wollen wir auch nicht, einen konkreten Beweis, wir wollen erst einmal ein gutes Gefühl. Ein gutes Plausibilitätsgefühl entwickeln. Wir wollen uns mit Divergenz und Rotation anfreunden. Ich hoffe, in 20 Minuten wird das der Fall sein. Ich wollte das alles physikalisch machen, also stellen wir uns Folgendes vor: Im Raum bewegt sich eine Flüssigkeit, meinetwegen im Frühling fließt ein Bach im Wald, ja, da fließt Wasser durch einen bestimmten Bereich des Raumes. Stellt euch vor, wir nehmen Sandkörnchen oder irgendetwas Leichtes, eine Feder, und lassen die Feder auf der Wasseroberfläche schwimmen. Oder Sandkörnchen sich treiben, im Bach. Feder oder Sandkörnchen wird dann eine bestimmte Linie, eine Bewegungslinie, hinterlassen. Also stellt euch vor, es fließt Flüssigkeit im Raum und man hat Sandkörnchen, die sich in der Flüssigkeit befinden. Sie hinterlassen Linien, imaginäre Linien, sogenannte Flusslinien. Das ist Flüssigkeit im Raum. Sandkörnchen wird natürlich mit einer bestimmten Geschwindigkeit vor sich hingetrieben. Und es ist so, dass man jeden Punkt der Flusslinie veranschaulichen kann als Vektor, der zeigt in die Richtung der Flüssigkeitsbewegung, ist also tangential auf der Flusslinie. Seine Länge entspricht der Stärke des Flusses, also der Geschwindigkeit, der Schnelligkeit des Flusses. Und wenn durch einen Raumbereich Flüssigkeit sich bewegt, das heißt, durch jeden Punkt des Raumes fließt eine Flusslinie, und an jedem Punkt des Raumes, jedem Punkt des Raumes ist ein Vektor zugeordnet, der sogenannte Geschwindigkeitsvektor. Das deute ich an...ich habe hier eine Flüssigkeit und an jedem Punkt der Flusslinie gibt es Geschwindigkeitsvektoren, das ist der Tangentialvektor. Das ist die Situation, mit der wir arbeiten wollen. Ihr sollt euch vorstellen, jedem Punkt im Raum ist ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet. Auf diese Weise kommen wir natürlich zu dem Begriff des Vektorfeldes. Jedem Punkt im Raum ist ein Vektor zugeordnet. Aus jedem Punkt im Raum, wo die Flüssigkeit fließt, steckt ein Pfeil. Und dieses Vektorfeld V nennt sich natürlich Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Es ist nicht verkehrt, wenn ich das auch schriftlich fixiere. Sei V das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Das ist ein sehr langer Ausdruck, aber ich schreibe das hin. Das Geschwindigkeitsfeld. Und nun werde ich euch erzählen, was bedeutet denn Rotation und Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes einer Flüssigkeit, wie kann man das sehen? Diese unverständliche Formel brauchen wir momentan nicht, die Formeln sind einfach nur Buchstaben und Ableitungen. Wir wollen jetzt aber etwas Greifbares, Anschauliches machen. Das ist die Ausgangssituation, Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Nun fixiere ich einen Punkt im Raum, einen Punkt p. Das ist Punkt p, ganz fett. Natürlich kann ich von Punkt p die Divergenz des Feldes V ausrechnen. Divergenz des Feldes V wird eine ganz klare Bedeutung haben, und zwar die Folgende: Stellt euch vor, es ist Frühling, der Bach fließt und irgendwo liegen Eisschollen. Auf die Eisschollen fallen Sonnenstrahlen und das Eis schmilzt. Dadurch entsteht die Flüssigkeit. Stellt euch vor, an Punkt p ist eine kleine Eisscholle, die schmilzt. Das heißt, rund um den Punkt p herum entsteht Flüssigkeit. Wenn man die Divergenz des Feldes und des Punktes p ausrechnet in diesem Fall, dann kommt eine positive Zahl heraus. Und das ist die physikalische Interpretation der Divergenz. Das heißt, wenn die Divergenz des Feldes V in einem Punkt p positiv ist, von 0 verschieden, dann bedeutet das, dass um den Punkt p herum Flüssigkeit entsteht. Das ist sehr richtig, das werde ich fixieren. Also Divergenz...ich betone, Punkt p ist fixiert im Bild und ich fixiere mich im Folgenden auf den Punkt p. divV(p)...ich betone, manchmal schreibe ich einen Pfeil oberhalb des Vektorfeldes, manchmal auch nicht. V ist ein Vektorfeld. Wer einen Pfeil mag, der kann sich den Pfeil gerne vorstellen oder ich schreibe auch den Pfeil hin. So dann muss hier auch auf das Zeichen ein Pfeil hin. Also divV(p) > 0 <=> in p entsteht Flüssigkeit. Technisch nennt man das Quelle, man sagt auch gerne p ist eine Quelle. Das heißt p ist Quelle, eine Quelle. Ja und analog. Wenn Divergenz um Punkt p negativ ist, das heißt, das könnt ihr euch vorstellen, das heißt, in der Umgebung des Punktes p verschwindet Flüssigkeit. Zum Beispiel: Punkt p liegt auf der Oberfläche des Baches, die Sonne strahlt und Wasser verflüchtigt sich oder verdampft. Das brauche ich nicht zu erläutern. Wir stellen dann fest, wenn divV(p) < 0 <=> dann bedeutet das, dass im Punkt p die Flüssigkeit verschwindet. In p verschwindet Flüssigkeit. Technisch nennt man den Punkt p in diesem Fall Senke. Das heißt, p ist Senke. Der dritte Fall ist, wenn Divergenz um Punkt p gleich 0 ist. Es ist die weder noch - Situation. Weder entsteht die Flüssigkeit, noch verschwindet sie. Die Flüssigkeit fließt ruhig an dem Punkt p vorbei, an Punkt p passiert nichts. divV(p) = 0 <=> p ist weder Quelle, noch Senke. Das ist schön anschaulich. Leider kann ich euch an dieser Stelle noch nicht vermitteln, warum denn das aus der Formel für die Divergenz folgt. Divergenz ist einfach nur Summe aus partiellen Ableitungen der Komponenten des Feldes. Warum und wieso sich daraus diese physikalische Interpretation ergibt, das sieht man nicht. Das kann man auch nicht sehen momentan, aber wenn man den Integralsatz von Gauss vor Augen hat, dann kann man daraus diese Interpretation herleiten. Aber das mache ich nicht, momentan ist das nicht wichtig. Das würde den Rahmen dieses Beitrages sprengen. So, das ist die Divergenz. Man hat also sehr hübsche Anschauungen zum Begriff Divergenz. Jetzt entwickeln wir ähnliche Anschauungen zum Begriff der Rotation. Da brauche ich ein neues Bild. Wir bleiben dann grundsätzlich beim Thema Flüssigkeit. Wir betrachten Vektorfeld V ist Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit und Rotation wird dann auch Aufschluss geben, wie sich die Feldlinien verhalten. Ich will, zwecks Vereinfachung, eine spezielle Situation betrachten, wo der Fluss einer Flüssigkeit sich in einer Ebene abspielt. Zur Vereinfachung. Stellt euch vor, wir haben da, also hier fließt die Flüssigkeit, und dann ist ein Punkt p, und die Flüssigkeit wird dann um den Punkt herum wirbeln, sich drehen. Wenn man Wasser aus der Badewanne herauslässt, dann wirbelt es in der Nähe des Abflussloches, die Flüssigkeit. Sehr anschauliche Situation. So fließt die Flüssigkeit, und das ist der Punkt p. Und ich will einen anderen Punkt auszeichnen. Punkt Q. Im Punkt q gibt es kein Abflussloch in der Nähe des Punktes q. Also die Flüssigkeit fließt ruhig am Punkt q vorbei. So mag es aussehen und ich will die Zeichnung dreidimensional machen. Stellt euch vor, das spielt sich ab in einer Ebene. Irgendwie hat man dann die Flusslinien. Das ist wieder das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit V. Die Rotation hat physikalisch folgende Bedeutung: Rotieren auf Latein bedeutet, sich drehen. Die Sache ist ja wieder sehr einfach und anschaulich. Wenn die Flüssigkeit um den Punkt p wirbelt, dann wird die Rotation des Feldes V an der Stelle p von 0 verschieden sein. Wenn die Flüssigkeit an Punkt q vorbeifließt, ohne drum herum zu wirbeln, dann wird die Rotation 0 sein. Also Rotation gibt an, ob das Feld wirbelt, um den entsprechenden Punkt. So einfach ist das. Man kann auch mehr sagen. Die Rotation gehorcht der Regel der rechten Hand. Was bedeutet das? Wenn die Flüssigkeit auf der Ebene um einen Punkt gegen den Uhrzeigersinn wirbelt, dann wird der Rotationsvektor senkrecht auf der Wirbelebene stehen und seine Richtung gehorcht der Regel der rechten Hand. Was bedeutet das? Also hier ist meine rechte Hand. Stellt euch vor, meine Finger sind die Flusslinien. Wenn meine Finger die Flusslinien sind, dann ist der Daumen der Rotationsvektor. Das ist die Regel der rechten Hand. Das ist rotV(p) . Im Fall, wenn das Vektorfeld wie auf dem Bild um den Punkt p herumwirbelt. Im Punkt q ist das nicht der Fall, das Feld wirbelt nicht und deswegen ist die Rotation 0. Der Rotationsvektor im Punkt q ist 0. Also rotV(q) = 0. Das ist das Bild. Das ist wieder alles hübsch anschaulich. Wir fixieren diese Tatsachen, dieses Mal habe ich weniger Text. rotV(q) = 0 <=> kein Wirbel im Punkt q. Kein Wirbel in q. Man sagt auch gerne, der Punkt q ist das Feld, V ist im q wirbelfrei. rotV(p) ≠ 0 <=> das Feld wirbelt um den Punkt p. Das Feld V wirbelt um den Punkt p. Ich hoffe diese Veranschaulichung verringert die Berührungsängste mit Rotation und Divergenz. Hier gilt derselbe Kommentar. Leider kann man nicht unmittelbar aus den Formeln für die Rotation sehen, warum sich diese Bilder ergeben. Das ist ein bisschen kompliziert. Aber wenn man den Integralsatz von Stokes hat und in ein bisschen interpretiert, da muss man auch ein bisschen arbeiten, dann kann man auf diese Bilder kommen. Wenn man den Integralsatz von Stokes hat. Aber momentan bleiben wir bei dieser Anschauung. Damit ich plausibel bleibe, auf dieser Seite gibt es noch ein konkretes Rechenbeispiel. In diesem Rechenbeispiel präsentiere ich 3 Vektorfelder. Für alle 3 Vektorfelder berechne ich Divergenz und Rotation. Die Ergebnisse werden diese Bilder hier, die ich einfach so frei gemalt habe, bestätigen. Also schaut euch diesen Beitrag an. Das ist die natürliche Fortsetzung von diesem Beitrag. Also, bis dann!

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