Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Transformationsformel – Theorie Teil 1

In diesem Video will ich die Transformationsformel besprechen. Erst einmal ganz allgemein und dann gibt es noch ein zweites Video dazu, wo ich die Anwendung der Transformationsformel bespreche für bestimmte Koordinaten. Der Plan ist der Folgende: Zuerst gebe ich eine Motivation. Wozu braucht man die Transformationsregel? Die will ich aus Analysis 1 motivieren. Dann schreibe ich die Transformationsformel ganz allgemein hin, bespreche ein paar technische Aspekte. Im zweiten Video schreibe ich die Transformationsformel für Polarkoordinaten, Transformationsformel für Kugelkoordinaten und zu den Koordinaten an und mache noch eine zusätzliche Rechnung hierzu. Das ist unser Plan. Nun fangen wir also an: die Motivation. Wozu braucht man die Transformationsformel? Wir fangen mit Bekanntem an. Ich erinnere euch, welche Zusammenhänge wir bei Analysis 1 hatten. In Analysis 1 haben wir Integrale berechnet. Ich sage einmal f(x)dx. Das sollen wir aufintegrieren. Es war oft sehr sinnvoll, die Substitution vorzunehmen. Man hat die Variable x durch eine andere Variable substituiert. Man hat eine Substitutionsgleichung x=(eine Funktion von einer neuen Variable), (von u) oder (von t). Ich sage einmal (von u). Man hat eine Substitutionsgleichung und dann wurde das Integral mit dieser Substitutionsgleichung wie folgt umgeschrieben: Statt x setze ich dann φ(u) ein. Dann muss ich noch hinzuschreiben: φ'(u)du. Das nannte man Substitutionsregel. Der Sinn der Sache war, dass das Integral, das auf der rechten Seite steht, in der Regel einfacher zu berechnen war. In der allgemeinen Form sieht es schon komplizierter aus als das Integral auf der linken Seite. Aber der Sinn der Sache war, dass, wenn man f von φ(u) und φ'(u) ausrechnet, alles miteinander multipliziert, etwas Einfaches daraus wird. Das hat oft die Berechnung von Integralen erleichtert - in der Regel - und manchmal ermöglicht es die Berechnung erst recht. Das ist für unbestimmte Integrale. Für bestimmte Integrale muss man noch die Integrationsgrenzen richtig setzen. Wenn u von a bis b geht, dann muss x von φ(a) bis (φ)b gehen. Der typische Fehler ist, dass man auf der linken Seite die Grenzen a bis b schreibt und auf der rechten Seite von φ(a) bis φ(b). So, wie es an der Tafel steht, ist es richtig. Ich habe mich nicht verschrieben. Wie kann man sich das merken? x war φ(u). Wenn u=a, dann ist x=φ(a). Wenn u=b, dann ist x=φ(b). Man hat eine solche Entsprechung zwischen den Integrationsgrenzen. Das war die Substitutionsregel aus Analysis 1, wir erinnern uns. Und ganz konkret: Wenn wir das Integral haben von 0 bis 1, \sqrt(1-x2)dx. Das Integral ist ganz hässlich. Die Stammfunktion ist ziemlich lang, und wenn wir uns nicht mit Stammfunktionen herumschlagen wollen, wenn wir sie nicht ausrechnen wollen, dann ist die Substitution x=sin t naheliegend. Dann berechnet man dx, dx ist ja sint abgeleitet, das ist cost dt und setzt x=sint ein. Das ist bekannt, die entsprechenden Grenzen sind dann 0 und π/2. Und 1-sin2 t. Ich habe statt x sint eingesetzt und statt dx schreibe ich cost dt. 1-sin2=cos2 t. \sqrt(cos2 t)=cost. Und zwar ohne Betrag. cos×cos=cos2 t. cos2 t kann man wieder umschreiben. Das ist: (1+(cos2t)/2)dt. Mit dieser Substitution muss man nur noch cos integrieren und für cos kann man sofort eine Stammfunktion angeben. Das ist eine ganz typische Situation. In einem Integral, das kompliziert aussieht, substituiert man eine Variable durch eine andere. Das heißt, substituiert eine Variable x durch eine neue Formel, in diesem Fall x=sint, und dafür vereinfacht man die Berechnung des Integrals. Das hatten wir in Analysis 1 und das war sehr nützlich. In Analysis 2 hantieren wir mit zweifachen und dreifachen Integralen. Zum Glück gibt es in Analysis 2 dasselbe. Das, was man in der Analysis 1 als Substitutionsregel bezeichnet, diese Formel hier, nennt man in Analysis 2 Transformationsformel. Es ist historisch so gekommen, dass das in der Dimension 1 Substitutionsregel heißt. In den Dimensionen 2, 3 und höher heißt das Transformationsformel. Man hat ein komplett anderes Wort für dasselbe Verfahren. Das war sehr nützlich in Analysis 1. Nun will ich dieselbe Formel für Analysis 2 präsentieren. Das heißt für zweifache und dreifache Integrale. Ich möchte nicht getrennt eine Formel für zweifache Integrale schreiben und dann eine Formel für dreifache Integrale schreiben. Sie werden sehr ähnlich aussehen, ich möchte es zusammenfassen. Ich schreibe die Formel für n-fache Integrale und n ist dabei, wie gewohnt, entweder 2 oder 3. Also, ich schreibe das alles für: n-fache Integrale und wir denken daran, n=2 oder n=3. Eigentlich darf n=10 oder =100 sein in dem, was ich schreibe. Das ist allgemein, was ich schreibe. Aber wir interessieren uns ganz besonders für die beiden Fälle. Die Formel ist lang, es gibt ja viele Voraussetzungen, nicht alle Voraussetzungen sind praktisch relevant. Deswegen beschränke ich mich nur auf die praktisch relevante Voraussetzung und es gibt nur eine praktisch relevante Voraussetzung. Die wichtigste Voraussetzung ist die Folgende: Man hat eine Abbildung, die einen Bereich von Rn auf einen anderen Bereich von Rn bijektiv abbildet. Anders formuliert: Die Abbildung Φ ist erklärt auf den Definitionsbereich D, Teilmenge von Rn bildet nach Rn ab. Sie bilde die Menge Ω, Teilmenge des Definitionsbereichs von Φ und wiederum Teilmenge von Rn, bijektiv auf eine weitere Menge, die nenne ich M - ist auch eine Teilmenge von Rn - ab. Es kommen noch weitere Voraussetzungen hinzu. Ich möchte sie nicht anschreiben, weil sie nicht wichtig sind. Ich werde sie aber vollständig besprechen, keine Sorge. Außerdem will ich dann noch die wichtigste Voraussetzung extra kommentieren. Vielleicht sieht sie zu abstrakt aus. Ich zeichne da ein Bildchen, ich versuche dann, sie verständlicher zu machen. Nun kommt die Formel, die Transformationsformel, und sie sieht schrecklich aus. Ich sage gleich, sie wird nicht angenehm aussehen. Wir wollen uns langsam, nach und nach, an diese Formel gewöhnen. Zuerst schreibe ich das n-fache Integral über die Menge M. Wie gesagt, habe ich hier Punkte geschrieben, weil das für ein beliebiges M gilt. Aber für uns sind entweder zweifache oder dreifache Integrale wichtig. Hier steht entweder ein zweifaches oder dreifaches Integral und das möchte ich zusammenfassen. Es gibt eine Funktion f. Die Funktion f ist von der Variablen x1 bis xn abhängig und es wird bezüglich dieser Variablen integriert: dx,...,dxn. Für den Fall n=3 hat man hier normalerweise x, y, z. Dreifaches Integral: dx, dy, dz. Mit diesem Integral macht man die Substitution wie früher in Analysis 1 mit dieser Funktion Φ und das Integral kann man dann so umschreiben: Man hat dann das n-fache Integral über die Menge Ω der Funktion und f verknüpft man mit Φ. Ihr erinnert euch, dasselbe wie mit der Substitutionsregel. Da habe ich f (φ(u)) φ'(u)du geschrieben. Und das f von φ(u) ist eigentlich die Verknüpfung, das ist f-KringelΦ. Das ist dasselbe. Das war für das einfache Integral. Für n-fache Integrale hat man dasselbe. f-KringelΦ und die neuen Variablen nenne ich wieder u, bloß gibt es nicht nur ein u, es gibt n-Stück u. Das ist die Verknüpfung und wir haben ja gesehen, dass es nach der Verknüpfung f-Kringelφ(u) auch φ'(u)du gab. Jetzt kommt eine Entsprechung für φ' und in Analysis 2 sieht es ja ziemlich schrecklich aus. Das ist: Betrag der Determinante der Ableitungsmatrix von Φ, also Φ', und von diesen Variablen u1 bis un - Betrag-Strich zu - und dann wird integriert bezüglich du1, du2 usw. bis dun. φ' ist in der alten Formel präsent, das ist die Ableitung der substituierenden Funktion Phi. Im n-dimensionalen Fall hat man nicht bloß die Ableitung, sondern die Ableitungsmatrix. Von der Ableitungsmatrix berechnet man noch die Determinante und dann betrachtet man das dem Betrage nach. Parallelen sind da, bloß ist die Sache ja komplizierter geworden. Das entspricht auch der Natur. Wenn wir in beliebige Dimensionen gehen, dann müssen wir natürlich in Kauf nehmen, dass alles komplizierter aussehen wird. Hier ist diese schreckliche Formel und wir wollen sie jetzt ganz ausführlich deklinieren. Natürlich aber nicht alles, sondern das Wichtige, was für die Übungsaufgaben wichtig ist. Womit will ich anfangen? Zuerst vielleicht die Voraussetzungen. Ich habe ja angekündigt, dass ich nicht alle Voraussetzungen hinschreibe, sondern nur die Wichtigste. Ich nenne kurz die vollständigen Voraussetzungen: Es wird vorausgesetzt, dass die Mengen Ω und M offen sind. Es wird vorausgesetzt, dass die Abbildung Φ insgesamt bijektiv ist, dass sie stetig differenzierbar ist und dass die entsprechende Umkehrabbildung Phi^-1 ebenfalls stetig differenzierbar ist - also ziemlich technisch. Das habe ich aber nicht angeschrieben. Aus dem Grund, dass man in den praktischen Fällen immer ziemlich standardisierte Abbildungen Φ benutzt. In 90% der Fälle wird die Φ-Transformation entweder auf Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten sein. Von diesen drei Transformationen weiß man schon, dass sie bijektiv sind auf bestimmten Definitionsbereichen, dass sie stetig differenzierbar sind, dass die Umkehrfunktionen stetig differenzierbar sind. Beim Bearbeiten der Übungsaufgaben prüft man das nie nach. Man nimmt das als gegeben. Deswegen habe ich diese Voraussetzungen gar nicht angeschrieben, die werden immer erfüllt sein. Noch einmal: Ich mache hier keine Vorlesung. Ich habe nicht den Anspruch, dass ich den Satz mathematisch genau hinschreibe. Ich schreibe nur den Teil des Satzes, der zur Bearbeitung von Übungsaufgaben nötig ist. Deswegen lasse ich diese Voraussetzungen weg. Dann die Offenheit von Ω und M: Die Integrale sind ja eigentlich so gemacht, dass sie dann gar nicht merken, ob diese Menge hier offen oder abgeschlossen ist. Deswegen ist es, wenn man praktisch rechnet, egal, ob die Menge Ω offen oder abgeschlossen ist. Deswegen habe ich das gar nicht explizit hingeschrieben. Um die Dinge zu beweisen, um sie sauber zu formulieren, dann braucht man doch, dass Ω offen ist. Aber dann kann man die Voraussetzungen abschwächen, und wenn man die Voraussetzungen abschwächt, aber doch präzise macht, dann hat man so ein unübersichtliches Dickicht an Voraussetzungen und das will ich gar nicht ansprechen. Das alles ist nicht so wichtig. Was aber wichtig ist, worauf man gar nicht verzichten kann, was man nicht lax handhaben kann, ist, dass die Menge Ω, über die dann auf der rechten Seite integriert wird, bijektiv durch die Abbildung Φ auf die Menge M abgebildet wird, über die auf der linken Seite integriert wird. Dass die Mengen Ω und M durch die Abbildung Phi verwandt sind, das ist sehr wichtig. Das ist wesentlich, darauf darf man nicht verzichten. Darauf wird es immer wieder ankommen. Die Voraussetzung steht da. Ich möchte sie noch einmal zusätzlich erläutern. Das ist hier ein wenig unübersichtlich, ich habe das in der n-ten Dimension geschrieben. Um das ein wenig zu veranschaulichen, begeben wir uns in die Dimension n=2. Da gibt es ein Bildchen. Meinetwegen haben wir hier für die Koordinaten u, u1 und u2. Dann haben wir entsprechend die Koordinaten x1 und x2. Die Menge Ω sei ein Rechteck hier in der u1- und u2-Ebene. Die Menge M ist meinetwegen ein Teil des Kreisringes in der x1-x2-Ebene. Das ist eine realistische Situation. So werden typischerweise die Abbildungen auf Polarkoordinaten aussehen. Aber jetzt vergesst die Polarkoordinaten. Wir wollen jetzt nicht die Polarkoordinaten besprechen, sondern wir wollen die Voraussetzungen besprechen. Die Abbildung Φ bildet die Menge Ω bijektiv auf die Menge M ab. Das heißt, die Abbildung Φ nimmt einen Punkt in der Menge Ω und berechnet für diesen Punkt in der Menge Ω einen Punkt in der Menge M. Man sagt technisch, der Punkt in der Menge Ω wird auf den Punkt in der Menge M abgebildet. Nun soll diese Abbildung aber bijektiv sein. Der Begriff "Bijektivität" ist erfahrungsgemäß schwierig. Es muss immer wieder daran erinnert werden, was das ist. Ein Wort dazu: Für einen jeden Punkt der Menge Ω wird ein Punkt der Menge M berechnet. Das ist die Abbildung. Was bedeutet das nun, dass die Abbildung Φ bijektiv ist? Man kann sich das so vorstellen: Durch diese Abbildung Φ werden die zwei Punkte, einmal in Ω und einmal in M, sozusagen verheiratet. Die Heiratsstrategie von Φ ist die Folgende: Jeder Punkt in der Menge M kriegt einen Ehepartner in Ω. Jeder Punkt - kein Punkt in M bleibt Single. Jeder Punkt in M kriegt einen Ehepartner in Ω, erstens. Zweitens: Es gibt keine polygame Ehe. Das heißt, jeder Punkt in M kriegt genau einen Ehepartner in Ω. Es kann nicht vorkommen, dass ein Punkt in M mit zwei oder drei Punkten aus Ω verheiratet ist. Das kommt nicht vor, das ist verboten. Die erste Bedingung, dass jeder Punkt in M verheiratet wird auf diese Weise, die nennt man Surjektivität. Die zweite Bedingung, dass jeder Punkt in M genau einen Ehepartner kriegt in Ω, heißt Injektivität. Beides zusammen, Surjektivität und Injektivität, nennt man Bijektivität. Bijektivität bedeutet, dass man gegenseitig eindeutige Entsprechungen hat zwischen Punkten von M und Punkten von Ω. Das heißt, jedem Punkt von Ω entspricht genau ein Punkt von M und jedem Punkt von M entspricht genau ein Punkt von Ω. Gegenseitig entsprechend, das bedeutet Bijektivität. Ich kann es nicht oft genug betonen. Bei der Anwendung der Transformationsformel soll man stets darauf achten, dass die entsprechende Menge Ω bijektiv auf die entsprechende Menge M abgebildet wird, unter der gewählten Abbildung Φ. Das ist jetzt das Wichtige. Noch einmal: Was passiert dann in der praktischen Übungsaufgabe? Wenn wir eine Übungsaufgabe haben, dann haben wir in der Regel ein Integral, das wir berechnen sollen. Wir haben eine Menge M und eine Funktion f, die unter dem Integral steht. Man hat ein zweifaches oder dreifaches Integral und die Aufgabe ist, dieses Integral zu berechnen. Um das zu machen mithilfe der Transformationsformel, muss man erstens vorteilhaft die Abbildung Φ wählen - die nennt man übrigens Koordinatentransformation - sodass dieser Unsinn unter dem Integral einfach aussieht. Zweitens muss man dann die Menge Ω ausrechnen, sodass die Bijektivitätsbedingungen gewährleistet ist, sodass die Menge Ω und Φ bijektiv auf M abgebildet wird. Dann muss man das Integral bestimmen. Also noch einmal: In der praktischen Übungsaufgabe gegeben sind die Menge M und f und es steht das Integral. Gesucht sind die passende Koordinatentransformation Φ, entsprechende Menge Ω und natürlich der Wert des Integrals, das auf der rechten Seite steht. Das war die typische Aufgabenstellung und es gibt noch eine Sprachregel sozusagen: Man sagt, wenn man die Transformationsformel anwendet, dass die Koordinaten x transformiert wurden. Die Anwendung der Transformationsformel nennt man Koordinatentransformation im Integral. Also, dazu sagt man: Im Integral (einfaches Integral über die Menge M der Funktion f) hat man die Koordinatentransformation x1=Φ1(u1,...,un), x2=Φ2 und xn=Φn(u1,...,un) durchgeführt. Es ist natürlich klar, dass Φ1 bis Φn Komponenten der Abbildung Φ sind. Φ bildet doch von Φn ab. Noch etwas zu dieser Bijektivitätsbedingung: Diese Bijektivitätsbedingung bedeutet ins Besondere, dass die Menge M Bild der Menge Ω unter der Abbildung Φ ist. Dies schreibt man so. Aus der Bijektivitätsbedingung folgt das ins Besondere. Das ist die Transformationsformel und seid nicht gedemütigt durch diese Formel. Habt keine Angst davor, es wird nicht alles so heiß gegessen, wie es gekocht wird. Das gilt erst recht für die Transformationsformel. Für diese Transformation Φ wählen wir ganz standardisierte Sachen. Wir wählen Kugelkoordinaten, Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten und da wird die Formel ein bisschen übersichtlicher. Diese Fälle will ich im zweiten Video präsentieren. Davor aber noch eine technische Bemerkung: Ich habe ja gesagt, der ganze Aufwand wird betrieben, weil das Integral auf der rechten Seite sehr einfach aussehen wird in der Regel. Nun möchte ich darauf eingehen, wie denn das Integral auf der rechten Seite aussehen wird und wie man mit diesem Integral hantiert. Jetzt eine technische Bemerkung, wie der Integrationsvorgang im Allgemein dann weitergeht nach der Anwendung der Transformationsformel. Nach der Anwendung der Transformationsformel bekommt man in der Regel das folgende Integral - nicht immer, aber in der Regel: Ich beschränke mich auf zweifache Integrale über Ω und da hat man eine Funktion g von neuen Koordinaten. Die neuen Koordinaten nenne ich r und φ, also nicht mehr u1 und u2, sondern r und φ. Das wird auch oft der Fall sein bei Polarkoordinaten. Die Funktion, die unter dem Integral steht, hat eine besondere Form. Das ist das Produkt von zwei Funktionen und jede dieser Funktionen hängt nur von einer Variablen ab. Also in der Regel bekommt man so etwas und das ist sehr günstig - zum einen. Und zum Zweiten sehen die Gebiete Ω, die man da bekommt, sehen oft wie Rechtecke aus. Ein Rechteck Ω in der r-φ-Ebene und die Projektion auf die r-Achse gibt dann das Intervall von r1 bis r2, die Projektion auf die φ-Achse gibt das Intervall von φ1 bis φ2. Solche Rechtecke schreibt man in folgender Form auf: Das ist das kathetische Produkt von zwei Intervallen. Die Projektionsintervalle, die ich angedeutet habe, finden sich auch hier in der Beschreibung von Ω wieder. In der Regel bekommt man solche Integrale über solche Mengen Ω. Die darf man wie folgt berechnen. Dazu gibt es eine bequeme Rechenregel, und zwar die Folgende. Wenn man nun nach der Anwendung der Transformationsformel dieses Integral ausrechnen soll, dann soll man wie folgt vorgehen: Zuerst gibt es auch für solche Integrale eine andere Notation. Man weiß, dass r von r1 bis r2 geht und r1 und r2 feste Zahlen sind und dasselbe für φ. Dann kann man dieses Integral wie folgt schreiben, man schreibt dieses Integral gerne so: Man schreibt hier vorne Integral von r1 bis r2 dr und dann dahinter Integral von φ1 bis φ2 dφ und dann ganz hinten die zu integrierende Funktion. Das ist einfach nur eine andere Notation für dasselbe Integral. Dann darf man folgende Rechenregel benutzen: Man nimmt dann den Teil, der von r abhängig ist, die Funktion g(r), und schiebt das unter das r-Integral. Integral von r1 bis r2 g(r) dr Dann nimmt man den Teil, der von Φ abhängig ist, und schiebt das sozusagen unter das Φ-Integral. Man bekommt auf diese Weise zwei einfache Integrale und multipliziert sie aus. Das ist das Bequeme daran. Nach der Anwendung der Transformationsformel zerfällt in der Regel das uns interessierende Integral in das Produkt von zwei oder drei einfachen Integralen. Das ist das Tolle an der Transformationsformel. Man bekommt dann von einem zweifachen oder dreifachen Integral einfach nur das Produkt von einfachen Integralen. Das ist sehr viel einfacher als die Situation, die wir ohne Transformationsformel hatten. Ohne Transformationsformel hatten wir einen verschachtelten Ausdruck, im Inneren integrieren wir bezüglich y, im Äußeren integrieren wir bezüglich x der Reihenfolge nach. Hier - nach der Anwendung der Transformationsformel - wird alles besser. Man hat einfach nur das Produkt von einfachen Integralen. Im nächsten Video schreibe ich euch an, wie die Transformationsformel für die Standardkoordinaten aussieht: für Polarkoordinaten, für Zylinderkoordinaten und für Kugelkoordinaten. Bis gleich.

Informationen zum Video