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Transkript Theorie 1: Koordinatenabbildung

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video setzen wir uns ganz allgemein mit Koordinaten und speziell mit der sogenannten Koordinatenabbildung auseinander. Die Koordinatenabbildung brauchen wir für alle Videos aus dem Kapitel über Koordinaten und darstellende Matrizen. Egal, ob es ein Theorievideo oder eine Übungsaufgabe ist, treten eine oder sogar mehrere Koordinatenabbildungen auf. Deswegen setzen wir uns hier und jetzt damit einmal gründlich auseinander und klären alles, was wir über die Koordinatenabbildungen wissen müssen. Insofern ist dieses Video eine Vorbereitung auf das Kapitel über Koordinaten und darstellende Matrizen. Andererseits ist dieses Video auch eine Wiederholung zu den Begriffen Basis, lineare Abbildungen, Injektivität und Surjektivität. All diese Begriffe werden wir kurz an den Beispielen der Koordinatenabbildung in diesem Video wiederholen.

Bevor wir die Koordinatenabbildung definieren, lasst uns an eine wichtige Basiseigenschaft erinnern, die für alles Kommende grundlegend ist. Wir haben hier mit einem reellen, endlich dimensionalen Vektorraum V zu tun. Seine Dimension ist n. Dort fixieren wir eine Basis, bezeichnet mit dem Buchstabenskript B, bestehend aus den Vektoren b1, b2 und so weiter und so fort bis bn. Bemerkt bitte, dass oberhalb von Vektoren hier keine Pfeile geschrieben werden. Das ist auch erlaubt. Wir schreiben hier keine Pfeile und meinen damit trotzdem Vektoren. Also wir haben einen endlich dimensionalen Vektorraum mit einer Basis. Dort nehmen wir einen beliebigen Vektor v. Dann gilt Folgendes: Es gibt eindeutig bestimmte Zahlen x1, x2 und so weiter bis xn, sodass der Vektor v sich als eine Linearkombination der Basisvektoren mit den Koeffizienten x1, x2 und so weiter bis xn schreiben lässt. Das ist eine bekannte Tatsache aus dem Thema Basis. Weil das alles so wichtig ist, lasst uns kurz wiederholen, warum das der Fall ist.

Wir erinnern uns: Eine Familie B ist genau dann eine Basis im Vektorraum V, wenn zwei Eigenschaften erfüllt sind. Erstens, die Familie B ist ein Erzeugendensystem von V. Zweitens, die Vektoren aus der Familie B sind linear unabhängig. Nun ist die Familie B ein Erzeugendensystem von V genau dann, wenn die lineare Hülle von B per Definition gleich dem Vektorraum von V ist. In anderen Worten wird der Vektorraum V von der Familie B aufgespannt. Was ist die lineare Hülle von B? Per Definition ist das die Menge der Linearkombinationen der Vektoren aus der Familie B dieser Art. Wobei die Koeffizienten der Linearkombinationen, x1, x2 bis xn, frei wählbare reelle Zahlen sind.  Wenn wir nun einen beliebigen Vektor v aus dem Vektorraum V nehmen, so muss er aufgrund dieser Mengengleichheit notwendigerweise in dieser Menge, hier in der linearen Hülle enthalten sein. Also lässt sich der Vektor v zwangsläufig als eine Summe dieser Art darstellen. Demnach ist der Vektor v eine Linearkombination der Vektoren b1 bis bn. Das haben wir hier behauptet. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Koeffizienten x1 bis xn in dieser Linearkombination eindeutig bestimmt sind. Das haben wir hier behauptet. Dazu nehmen wir an, es gäbe andere Zahlen, sagen wir mal y1 bis yn, sodass sich der Vektor v als die Linearkombination der Vektoren b1 bis bn mit den Koeffizienten y1 bis yn schreiben lässt. Der Vektor v ist also zugleich die Linearkombination mit den Koeffizienten x und die Linearkombination mit dem Koeffizienten y. Es entsteht auf diese Weise diese Gleichungskette und mittendrin steht der Vektor v. Alles ist gleich dem Vektor v. Nun entfernen wir an dieser Stelle diesem zentralen Term und es bleibt nur eine große Gleichung übrig. Mit dieser Gleichung stellen wir Folgendes an: Wir schieben alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite herüber und fassen die entsprechenden Terme zusammen. Welche Terme lassen sich zusammenfassen? Wir sehen hier auf der linken Seite b1 und auf der rechten Seite b1. Diese beiden Terme lassen sich zusammenfassen und dasselbe gilt für b2 auf beiden Seiten und so weiter und so fort bis bn auf beiden Seiten. Wenn wir das getan haben, ergibt sich die folgende Gleichung. Wir sehen hier eine Linearkombination der Vektoren b1, b2 bis bn ist gleich 0. Und wir wissen ja, dass die Vektoren b1 bis bn als Basisvektoren fungieren; sie sind per Definition linear unabhängig.Aus der linearen Unabhängigkeit dieser Vektoren und dieser Gleichung hier mit der 0 auf der rechten Seite, folgt, dass die Koeffizienten dieser Linearkombination verschwinden müssen. Es folgt: Die Klammer x1 - y1 = 0, das war der Koeffizient bei dem Vektor b1. Entsprechend ist x2 MINUS y2 = 0 und so weiter und so fort bis zum letzten Koeffizienten, xn - yn = 0. Nun können wir die y wieder auf die rechte Seite schieben und bekommen folgende Gleichungen: x1 = y1, x2 = y2 und xn = yn. Wir haben gezeigt, dass die Koeffizienten x mit den Koeffizienten y übereinstimmen. Wenn sich der Vektor v schon mit den Koeffizienten x1 bis xn schreiben lässt, dann ist es nicht mehr möglich, den Vektor v mit einem anderen Koeffizienten zu schreiben. Also wenn wir andere Koeffizienten, wie y1 bis yn nehmen, ergibt sich das y mit x übereinstimmen. Deswegen sind die Koeffizienten x1 bis xn in dieser Linearkombination eindeutig bestimmt. Das wollten wir zeigen. Nach dieser umfassenden Wiederholung sind wir nun bereit, die Koordinatenabbildung zu definieren. Wir haben gesehen, dass, wenn man in einem endlich dimensionalen Raum V eine Basis B fixiert, so lässt sich jeder Vektor v aus dem Vektorraum als eine Linearkombination des Basisvektoren beschreiben. Dabei sind die Koeffizienten dieser Linearkombination, die Zahlen x1 bis xn, eindeutig bestimmt. Diese Zahlen, diese Koeffizienten, nennt man in diesem Zusammenhang Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis B. Und diese Gleichung, die Darstellung des Vektors v als die Linearkombination der Basisvektoren, nennt man auch gerne die Basisentwicklung des Vektors v. Wir sehen also, dass mithilfe der Basisentwicklung jedem Vektor v seine Koordinaten x1 bis xn auf eine eindeutige Art und Weise zugeordnet werden. Und diese Zuordnung ist eine Abbildung. Die Abbildung heißt die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B. Also die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B bildet den Vektorraum V in den Raum Rn ab. In diesem Zusammenhang heißt der Raum Rn: der Raum der Koordinaten und die Abbildung tut Folgendes: Sie nimmt einen Vektor v aus dem Vektorraum, macht die Basisentwicklung, dann entnimmt sie die Koeffizienten der Basisentwicklung, die Koordinaten des Vektors v und ordnet sie in einem Spaltenvektor an. Und dieser Spaltenvektor ist das Ergebnis der Anwendung der Koordinatenabbildung auf dem Vektor v. Das ist also die Definition der Koordinatenabbildung. Den Rest des Videos werden wir die Eigenschaften dieser wichtigen Abbildung, der Koordinatenabbildung studieren. Was die Eigenschaften der Koordinatenabbildung angeht, so ist sie vor allem linear. Wir befinden uns in der linearen Algebra und hier ist ziemlich alles linear und die Koordinatenabbildung ist hierbei keine Ausnahme. Wir wollen an dieser Stelle kurz begründen, dass die Koordinatenabbildung tatsächlich linear ist und dazu müssen wir die zwei üblichen Eigenschaften zeigen, über die die linearen Abbildungen definiert sind. Und das ist zum einen die Additivität und zum anderen die Homogenität. Das heißt, für die Koordinatenabbildung müssen wir diese zwei entsprechenden Gleichungen nachrechnen, die hier an der Tafel stehen und das geht sehr schnell.

Um die Additivität der Koordinatenabbildung zu überprüfen, nehmen wir zwei beliebige Vektoren v und w aus dem Vektorraum V und entwickeln sie in der Basis B. Hier sind die Basisentwicklungen. Der Vektor v hat dabei die Koordinaten xi, der Vektor w hat dabei die Koordinaten yi. Nun schreiben wir den Ausdruck hin: KB von (v PLUS w) und setzen hier die Basisentwicklung von v und w ein. Wir bekommen dann diesen Ausdruck hier und als Nächstes fassen wir die beiden Summen zusammen. Wir fassen die Terme bi zusammen und erhalten diesen Ausdruck hier. Die Koeffizienten bei bi summieren sich einfach nur. Nun, an dieser Stelle, bei diesem Übergang, verwenden wir die Definition der Koordinatenabbildung. Sie steht hier oben an der Tafel. Also, das, was hier in Klammern steht, das ist ein Vektor mit Koordinaten xi + yi und die Koordinatenabbildung nimmt einfach nur diese Koordinaten und spuckt sie geordnet in einem Spaltenvektor aus. Hier ist das Ergebnis. Diesen Spaltenvektor mit Summen xi + yi können wir auseinanderziehen. Wir machen daraus zwei Spaltenvektoren und der erste Spaltenvektor mit xi, das sind die Koordinaten des Vektors v, also das ist der Wert der Koordinatenabbildung am Vektor v. Entsprechend sind die zweite Spalte yi die Koordinaten des Vektors w. Also der Wert der Koordinatenabbildung am Vektor w ist gleich diese Spalte. Und wir sind mit dieser Rechnung fertig. Hier haben wir angefangen, hier haben wir aufgehört und alles zusammen bedeutet die Additivität der Koordinatenabbildung.

Die Homogenität der Koordinatenabbildung ergibt sich aus einer völlig analogen Rechnung. Wir nehmen einen beliebigen Vektor v und eine beliebige Zahl λ, wir entwickeln den Vektor v in der Basis B. Die Entwicklungskoeffizienten, die Koordinaten der Basis des Vektors v sind dabei die zahlen xi. Als Nächstes schreiben wir den Ausdruck KB (λv) auf und setzen dort die Basisentwicklung des Vektors v ein. Hier ist das Ergebnis. Als Nächstes schreiben wir den Ausdruck KB (λv) auf und setzen dort die Basisentwicklung des Vektors v ein. Das dürfen wir, das ist eins der Vektorraumaxiome, genannt Distributivgesetz. Dann haben wir hier unten in Klammern einen Vektor mit den Koordinaten xi. Und aufgrund der Definition der Koordinatenabbildung ist das Ergebnis die Spalte mit den Einträgen λ x1 bis λ xn. Die Zahl λ können wir aus diesem Spaltenvektor nach vorne schieben und schließlich benutzen wir, dass die Spalte mit den Einträgen x1 bis xn die Koordinaten des Vektors v sind. Also das ist der Wert der Koordinatenabbildung am Vektor v, das ist diese Spalte. Und am Ende bleibt λ KB(v) stehen und das wollten wir ja. Insgesamt bedeutet diese Gleichheit, dass die Koordinatenabbildung homogen ist und das wollten wir ja zeigen. Also wir haben nachgerechnet, dass die Koordinatenabbildung additiv und homogen ist, jetzt können wir mit vollem Recht behaupten, dass sie linear ist. Das war die eine Eigenschaft der Koordinatenabbildung. Die nächste Eigenschaft, mit der wir uns auseinandersetzen wollen, ist die Bijektivität der Koordinatenabbildung. Und dazu gehören wiederum zwei Sachen, zum einen die Injektivität und Surjektivität, und das wollen wir jetzt der Reihe nach besprechen.

Die Injektivität der Koordinatenabbildung sieht man eigentlich unmittelbar aus ihrer Definition. Sicherheitshalber wollen wir aber die Injektivität mit einem üblichen Argument nachprüfen. Wir nehmen also bei gewissen Vektoren v und w an, dass die Koordinatenabbildung den gleichen Wert hat. Wir müssen zeigen, dass die Vektoren v und w unter diesen Voraussetzungen übereinstimmen. Diese Gleichung besagt, dass die Vektoren v und w die gleichen Koordinaten haben. Nennen wir sie wie üblich x1 bis xn. Daraus folgt, dass die Vektoren v und w die gleichen Basisentwicklungen haben nach der Definition der Koordinatenabbildung. Wir haben hier zwei Gleichungen, die rechten Seiten von diesen Gleichungen stimmen überein, also müssen auch die linken Seiten übereinstimmen und die linken Seiten sind eben v und w. Wir haben gezeigt, was zu zeigen war. Wir sehen die Injektivität, das war keine lange Diskussion.

Die Surjektivität der Koordinatenabbildung ist ebenfalls aus der Definition unmittelbar ersichtlich. Um die Surjektivität formal zu begründen, gehen wir wie folgt vor: Aus dem Wertebereich der Abbildung nehmen wir ein beliebiges Element und müssen zeigen, dass es einen Vektor im Definitionsbereich gibt, der auf dieses beliebig vorgegebene Element abgebildet wird. Das heißt, wir müssen zeigen, dass das beliebig vorgegebene Element im Wertebereich ein Urbildelement im Definitionsbereich besitzt. Oder auch in anderen Worten: Jedes Element im Wertebereich ist unter der Koordinatenabbildung erreichbar. Und das ist sehr einfach zu zeigen. Wir nehmen aus dem Wertebereich einen beliebigen Vektor, Spaltenvektor x1 bis xn und suchen ein Urbildelement. Und wir werden dabei sehr schnell fündig. Das ist die Linearkombination der Basisvektoren mit den Koeffizienten x1 bis xn. In der Tat, wenn wir die Koordinatenabbildung auf diese Linearkombination anwenden, dann kommt derSpaltenvektor x1 bis xn heraus nach der Definition der Koordinatenabbildung. Also jeder Spaltenvektor x1 bis xn aus dem Raum Rn ist unter der Koordinatenabbildung erreichbar. Und genau deswegen ist die Koordinatenabbildung surjektiv. Dies zeigt, dass die Koordinatenabbildung injektiv und surjektiv ist und jetzt dürfen wir mit Recht behaupten, dass sie bijektiv ist. Und wenn sie schon bijektiv ist, dann existiert die inverse Abbildung. Und zum Schluss beschäftigen wir uns noch mit der inversen Abbildung.

Die Koordinatenabbildung ist also bijektiv. Und dazu gibt es eine eigene Notation. Um zu betonen, dass eine gewisse Abbildung bijektiv ist, schreibt man manchmal eine Welle über dem Pfeil, der die Abbildung beschreibt. Also, wenn die Koordinatenabbildung bijektiv ist, dann ist auch ihre Inverse bijektiv, also gehört auch über den Pfeil zur Inverse eine Welle. Das ist eine Kleinigkeit zur Notation. Da die Koordinatenabbildung den Vektorraum V im den Raum Rn abbildet, arbeitet die inverse Abbildung in der entgegengesetzten Richtung. Sie bildet den Koordinatenraum Rn in den Vektorraum V ab. Da die Koordinatenabbildung jede Linearkombination der Basisvektoren mit den Koeffizienten x1 bis xn auf den Spaltenvektor x1 bis xn abbildet, tut die inverse Abbildung genau das Umgekehrte. Sie bildet den Spaltenvektor mit den Einträgen x1 bis xn auf die Linearkombination der Basisvektoren mit den Koeffizienten x1 bis xn ab. Und diese Formel soll man sich merken. Sie wird ab und zu bei Übungsaufgaben verwendet. Und überhaupt alles, was hier an der Tafel steht, soll man sich merken. Das ist das Eigentliche, was man aus diesem Video behalten soll. Also hier ist die Formel für die. Ganz wichtig ist dabei, dass sich jeder Vektor v als die Linearkombination der Basisvektoren mit den eindeutig bestimmten Koeffizienten schreiben lässt. Das ist der Grundstein für die ganze Entwicklung. Die Koordinatenabbildung ist linear, das haben wir ausführlich nachgerechnet. Die Koordinatenabbildung ist bijektiv, das haben wir uns klar gemacht. Und wir haben die Formel für die inverse Abbildung hergeleitet. Und jedes Video auf dieser Seite, das irgendwie mit Koordinaten, Umrechnen der Koordinaten, Basiswechsel, Transformationsmatrizen und darstellende Matrizen zu tun hat, tauchen überall, manchmal auch sehr zahlreich. Die Koordinatenabbildungen auf und in Übungsaufgaben werden sie ab und zu konkret berechnet. Und es gibt insbesondere ein Video mit einer Übungsaufgabe, wo wir einzig und alleine mit der Koordinatenabbildung zu tun habe. Das Video heißt "Die Koordinatenabbildung im Raum der Dreiecksmatrizen". Schaut es euch bei Interesse an. Die einzige Voraussetzung für diese Übungsaufgabe ist dieses Video hier, eigentlich das, was hier an der Tafel steht. Das war es schon zur Koordinatenabbildung.

Ich danke euch fürs Zuschauen. Ciao.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Liebe Celine,

    Danke für das positive Feedback zum Video!

    Nun zu Deiner Frage. Koordinatenabbildung und lineare Abbildung sind NICHT genau das gleiche. Lineare Abbildungen sind eine sehr große Klasse von Abbildungen und diese Klasse beinhaltet unter anderem Koordinatenabbildungen. Koordinatenabbildungen sind nur eine spezielle Art von linearen Abbildungen.

    In anderen Worten: jede Koordinatenabbildung ist linear, aber nicht jede lineare Abbildungen ist eine Koordinatenabbildung. Vergleiche: Jeder Hering ist ein Fisch, aber nicht jeder Fisch ist ein Hering.

    Ich hoffe, diese Erklärung war hilfreich.

    Beste Grüße,
    Sergej Schidlowski.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank! Das Video war sehr hilfreich.

    Nur noch eine Frage, ist die Koordinatenabbildung und die lineare Abbildung das gleiche?

    Von Buechel Celine, vor mehr als 3 Jahren