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Transkript Taylorpolynom – Einführung und Beispiel

In diesem Beitrag geht es um die Taylorformel. Das Stichwort Taylorformel ist von Analysis 1 her bekannt. Da ging es darum, dass man Funktionen, willkürliche Funktionen, durch sehr einfache Funktionen approximiert hat. Diese einfachen Funktionen waren halt Taylorpolynome. In Analysis 2 gibt es Ähnliches, praktisch dasselbe. Der Unterschied ist, dass wir statt einer Variablen in der Funktion eventuell mehr Variablen haben. Heute wollen wir uns mit dem Fall auseinandersetzen, wenn eine Funktion von 2 Variablen abhängig ist und wir wollen sie nach Taylor approximieren. Gut, also hier sind meine Daten. Die Funktion f ist definiert auf einem Teilgebiet von R2, also sie ist abhängig von den Variablen x und y. Man fixiert einen Punkt im Definitionsbereich der Funktion und zu diesen Daten kann man Taylorpolynome berechnen. In dieser Betrachtung beschränken wir uns auf Taylorpolynome 2. Ordnung, weil für die 3. Ordnung wird das dann ziemlich kompliziert aussehen. Und wir beschränken uns auch auf 2 Variablen, um das Ganze noch übersichtlich zu halten. Taylorpolynome 2. Ordnung für eine Funktion, die von 2 Variablen abhängig ist, berechnen sich nach der Formel, die ich hier angeschrieben haben. Das ist analog der Taylorformel im Eindimensionalen, die Analogie werden wir noch später besprechen. Erst mal wollen wir uns anschauen, welche Bestandteile sind denn in diesem Polynom. Gradient der Funktion f an einem Punkt (x0,y0), das ist der alte Bekannte, das kennen wir schon. Vorsichtshalber schreibe ich das noch an. Wobei der Gradient der Funktion im Punkt (x0,y0), das ist einfach nur ein Vektor, der aus den partiellen Ableitungen der Funktion besteht, also der x und der Vektor y. Man nimmt den Gradienten, man nimmt den Vektor, der aus (x,x0) und aus (y,-y0) besteht und multipliziert diese 2 Vektoren miteinander durchs Skalarprodukt und dann bekommt man den 2. Term. Der 3. Term sieht ein bisschen komplizierter aus, da tritt so eine Variable Hf(x0,y0) auf. Hf(x0,y0), das ist eine Matrix, sie nennt sich Hessematrix und sie berechnet sich nach der folgenden Formel. Sie besteht aus den 2. Ableitungen der Funktion f und hat folgende Gestalt. Die 2. Ableitung nach x, dann die 2. Ableitung nach x,y, dann die 2. Ableitung nach x,y und dann die 2. Ableitung nach y. In der Hessematrix wird jede der Ableitungen an der Stelle (x0,y0) ausgewertet. Was passiert? Man multipliziert diese Hessematrix mit dem Vektor (x-x0,y-y0), man bekommt einen Vektor und den Vektor, den man bekommen hat, multipliziert man noch einmal mithilfe des Skalarprodukts mit dem Vektor (x-x0,y-y0) und man bekommt dann wieder eine Zahl. Oder wenn wir x und y als Variablen ansehen, dann bekommt man einen quadratischen Ausdruck mit den Variablen x und y. Und das wird insgesamt das Taylorpolynom 2. Ordnung sein. Ich habe ja kurz erwähnt, Taylorpolynome sind dazu da, um die komplizierte Funktion durch einfache Funktionen anzunähern, diesen Umstand will ich noch mal betonen. Ich habe es gesagt, und das, was ich gesagt habe, das schreibe ich noch einmal. Wenn wir das alles ausgerechnet haben, dann haben wir folgende Näherung. Die Funktion f(x,y), die möglicherweise kompliziert aussieht oder gar nicht explizit gegeben ist, sie ist näherungsweise gleich ihrem Taylorpolynom 2. Ordnung, nicht unter allen Umständen natürlich. Für die Werte von x und y, die nicht zu sehr von den Punkten x0 und y0 abweichen. x0 und y0 ist der sogenannte Entwicklungsmittelpunkt und in der Nähe von diesem Entwicklungsmittelpunkt ist diese Taylorapproximation gut. Wenn man sich ziemlich weit entfernt von dem Entwicklungsmittelpunkt, dann ist diese Approximation ungeeignet, der Fehler wird dann zu groß sein. Also, in dieser Approximation gilt, wenn x ungefähr gleich x0 ist und y ungefähr gleich y0 ist. Das ist die Taylorformel und wir wollen nun als Übung eine konkrete Funktion nehmen, einen konkreten Mittelpunkt nehmen und das Taylorpolynom 2. Ordnung knallhart ausrechnen und damit verbringen wir den Rest der Zeit in diesem Beitrag. Ich habe da ein Beispiel vorbereitet, dieses Beispiel eng an die Klausuraufgaben angelehnt und dieses Beispiel soll dann nachher jeder von euch behandeln können. Ich betrachte folgende Funktion. Zu der Funktion f(x,y)=4x3+2y2-x×(y2+1) und den Entwicklungsmittelpunkten x0=2 und y0=1 wollen wir das Taylorpolynom ausrechnen, das Taylorpolynom 2. Ordnung. Wir berechnen das Taylorpolynom 2. Ordnung. Das ist die Aufgabenstellung. Die Größen, die im Taylorpolynom im Wesentlichen auftauchen, das sind die Ableitungen 1. und 2. Ordnung. Die berechnen wir nun der Reihenfolge nach. Zuerst brauchen wir den Gradienten, der Gradient besteht aus partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Und die partielle Ableitung von f(x) ist 12x2-(y2+1). Die partielle Ableitung nach y=4y-2xy. Gut, die Ableitungen 1. Ordnung sind fertig. Dann brauche ich die Ableitungen 2. Ordnung. Die Ableitung 2. Ordnung nach x ist 24x. Die gemischte Ableitung 2. Ordnung ist offensichtlich -2y. Die y-Ableitung 2. Ordnung ist gleich, wir sollen uns einfach nur nicht verrechnen, 4-2x. Das sind die Ableitungen, nun werte ich diese Ableitungen aus, an den Punkten x0 und y0. Wie soll ich das machen, um Schreibereien zu vermeiden? Na gut, (df,dx) an der Stelle (2,1) ist gleich, nun setzen wir alles fleißig ein, das ist 12×22, das ist 4-(1+1) und insgesamt macht das.. wir werden das später berechnen, ich setze erst mal das alles ein. Wir sehen, das ist einfach nur Rechenarbeit. Wir sollen aufpassen, dass wir uns nicht verrechnen. Also 4-2×2. Dann die 2. Ableitung nach x an der Stelle (2,1), alles ist hier an der Stelle 2,1, das schreibe ich vorbereitend hin. Ja gut, schauen wir mal. Also 24x und x=2, also 24×2. Dann -2y und y=1, wir haben da -2 und dann 4-2x, 4-2×2. Nun rechnen wir die Zahlen aus. Da haben wir 48-2 macht 46, dann haben wir 0, dann haben wir 48, dann haben wir -2 und dann haben wir wieder 0. Da haben wir die Ableitungen ausgerechnet, wir haben sie ausgewertet an bestimmten Stellen, nun organisiere ich diese Zahlen. Diese Zahlen organisiere ich in Gradienten und Hessematrix. Wir haben berechnet, der Gradient der Funktion f an der Stelle (2,1), das ist ein Zeichenvektor, der aus den 1. Ableitungen besteht, das ist 46 und 0 bei uns in diesem Fall. Die Hessematrix der Funktion f an der Stelle (2,1), sie besteht aus den 2. Ableitungen. Auf der Diagonalen stehen Ableitungen 2. Ordnung, das sind 48 und 0 und auf der Nebendiagonale stehen die gemischten Ableitungen, das ist -2 und -2. Auch das ist fertig, wir haben hier alles vorbereitet, um das Taylorpolynom hinschreiben zu können, zumindest damit anfangen. Ich werde nun alles das, was wir nicht brauchen, wegwischen. Vielleicht da oben. Nun können wir mit dem Taylorpolynom anfangen. Also Taylorpolynom 2. Ordnung = Wert der Funktion an der Stelle (x0,y0). Nun habe ich das dumm gemacht, ich sollte nicht die Funktion wegradieren, wir müssen auch diesen Wert noch berechnen. Na gut, möglicherweise habe ich das noch alles auf meinem Zettel und das werden wir noch nachrechnen. Die Funktion an der Stelle, die Funktion, ich wiederhole, das war 4x3+2y2-x×(y2+1) und dementsprechend die Funktion an der Stelle (2,1), berechnet sich wie folgt: (4×8)+(2×1)-2×(1+1). Also, was haben wir da? 32+2+(-4)=30. Nun steht wirklich alles da. f(x0,y0) kennen wir. Dann schreibe ich die Formel an, das ist der Wert der Funktion im Entwicklungspunkt plus Skalarprodukt. Nun schreibe ich den Gradienten, den Gradienten habe ich berechnet, das ist der Vektor mit den Einträgen 46 und 0, mal dem Vektor bestehend aus der Differenz, das ist x-x0 und x0 war 2 und y-y0 und y0=1 plus ½. Dann schreiben wir den Vektor mit den Differenzen (x-2, y-1), Hessematrix, Hessematrix ist (48,-2, -2, 0) und Vektor mit den Differenzen. Das ist ein bisschen ungeschickt. Ich schreibe hier Bündchen, unten schreibe ich auch Bündchen und dann schreibe ich den Vektor mit den Differenzen an. Gemeint ist, dass diese Matrix mit dem Vektor ausmultipliziert wird. Gut. Das Taylorpolynom steht nun da, wir müssen das noch vernünftig ausmultiplizieren und so weit vereinfachen, wie es geht. Wir denken natürlich daran, dass die Funktion den Wert 30 hat, bevor ich das wegwische. Na gut, wir setzen die Rechnung ruhig weiter fort, der Wert der Funktion ist 30, dann berechnen wir dieses Skalarprodukt, das ist sehr schön, dass der 2. Eintrag 0 ist, also y-1 taucht gar nicht auf. Ich habe dann 46×(x-2)+0, das ist 0 mit y multipliziert, ich schreibe trotzdem 0. Dann mit dem 2. Skalarprodukt verfahre ich so, dass ich ½ in das Skalarprodukt hineinschiebe und dann mit der Matrix ausmultipliziere. Die Zeichen sind ja hier so gewählt, dass man alles bequem durch 2 teilen kann. Dann habe ich (x-2, y-1), nun schiebe ich ½ in die Matrix hinein, da habe ich (24,-1, -1,0) und dann multipliziert mit dem Vektor (x-2, y-1). Ruhig geduldig weiterrechnen. Dann habe ich hier 30+46x-, jetzt bekomme ich schöne Zahlen, 92+, dann das Skalarprodukt bleibt erst mal stehen, (x-2, y-1), dann multipliziere ich die Matrix mit dem Vektor, da bekomme ich (24x-48-y+1) im 1. Eintrag, im 2. Eintrag bekomme ich (-x+2). Und als Letztes berechne ich dieses Skalarprodukt und bringe das auf eine vernünftige Form. Es ist nicht mehr viel zu tun geblieben. 30-92 macht -62+46x, inhaltlich bleibt nichts mehr zu tun, dann habe ich (x-2)×(24x-y-47)+y-1 und -x+2. Was kann man hier sonst tun? Man kann diese beiden Klammern ausmultiplizieren und die Terme noch sortieren, aber das mache ich jetzt nicht vor, weil das sind ja elementare Umformungen, die wir schon so kennen. Gut.    

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6 Kommentare
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    Hallo Ursina Thomet! Das ist in der Tat sehr ärgerlich, wenn das Video abbricht. Bitte wende Dich mit dieser Frage an den Kunden-Support: support@sofatutor.com
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 2 Jahren
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    es ist schon ärgerlich; hab jetzt ungefähr 4 videos von dir angeschaut und jedes stoppt einfach irgendwann !! ohne dass ich es zu ende schauen kann..

    Von Ursina Thomet, vor mehr als 2 Jahren
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    Hallo Sergejkorlakov! Das Taylorpolynom 3. Ordnung ist die Summe des Taylorpolynoms 2. Ordnung und zusätzlicher Terme. Die zusätzlichen Terme haben die folgende Gestalt: Ein Vorfaktor mal eine gemischte Ableitung dritter Ordnung von f mal das Produkt (x-x_0)^i * (y-y_0)^j wobei i+j=3. Genauere Beschreibung der Taylorpolynome höherer Ordnungen findest Du z.B. im Buch "Analysis 2" von Otto Forster oder "Lehrbuch der Analysis, Teil 2" von Harro Heuser. Viele Grüße, Sergej Schidlowski.

    Von Sergej Schidlowski, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Wie sieht den das Taylorpolynom 3. Ordnung?

    Von Sergejkorlakov, vor fast 3 Jahren
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    d^2f/dxdy wird berechnet, indem man df/dy nach x ableitet

    Von Geotech, vor fast 6 Jahren
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    Zum Kommentar auf der Zeitleiste:
    Beachte den Satz von Schwarz wonach die Reihenfolge der partiellen Differentiation keine Rolle spielt!

    Von Chr. W., vor fast 7 Jahren
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