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Transkript Stetigkeit - Aufgabe 1

In dieser Aufgabe untersuchen wir eine Funktion auf Stetigkeit. Ich habe die Funktion schon an die Tafel geschrieben und die Aufgabenstellung ist Standard. Man hat eine Funktion, sie ist erklärt auf der gesamten x,y-Ebene R2, ist reellwertig und die Zuordnungsvorschrift ist mit einer figürlichen Klammer gegeben. Einmal im Ursprung, wo x und y gleichzeitig 0 sind, gibt es eine Zahl, 0, und außerhalb des Ursprungs gibt es eine schöne Formel. Wir sollen urteilen, ob die Funktion f stetig ist. Das ist eine Standard-Aufgabenstellung. Weil ja die Zuordnungsvorschrift in 2 Teile zerfällt, zerfällt auch unsere Aufgabe, unser Lösungsweg in 2 Teile. Erst mal diskutieren wir die Stetigkeit der Funktion an der Stelle x,y von |0,0| verschieden und 2. diskutieren wir die Stetigkeit der Funktion im Punkt |0,0|. Der erste Teil ist wenig interessant. Da ist die Stetigkeitsfrage ziemlich einfach, das ist offensichtlich. Und zwar haben wir da (x×y3)/(x2+y2), den Quotienten von 2 Polynomen. Diese Ausdrücke sind polynome n2-Variablen und man weiß, dass die Polynome stetig sind. Also der Zähler ist stetig und der Nenner ist stetig. Der Quotient von 2 stetigen Funktionen ist auch stetig, solange der Nenner von 0 verschieden ist. Weil diese Formel nur für die Punkte gilt, wo x und y vom Ursprung verschieden sind, wird auch der Nenner immer von 0 verschieden sein. Und somit ist die Stetigkeitsfrage hier erledigt. Also diese Formel ist stetig als Quotient stetiger Funktionen, wobei der Nenner von 0 verschieden ist. Und damit ist die Diskussion von diesem Teil abgeschlossen. Das war nicht so wirklich spannend. Wirklich spannend wird es im Ursprung. Da haben wir keine geschlossene Formel für die Umgebung des Ursprungs. Im Ursprung selbst haben wir den Wert 0, um den Ursprung herum, haben wir diese Formel. Deswegen können wir nicht sofort die Stetigkeitsfrage entscheiden. Das war der 1. Teil der Diskussion und dann schreibe ich kurz an die Tafel, was da zu diesem Teil zu sagen ist, also jetzt formal. Wir betrachten erst mal den Punkt x0,y0, einen beliebigen Punkt, der von |0,0| verschieden ist, außerhalb des Ursprungs. Wir haben da festgestellt, dass die Funktion da stetig ist und jetzt schreibe ich dasselbe noch mal auf, es kommt nichts Neues: Der Ausdruck (x×y3)/(x2+y2) ist stetig als Quotient stetiger Funktionen x×y3 und x2+y2. Diese Funktionen sind Polynome in 2 veränderlichen. Polynome sind immer stetig. Wichtig in dieser Betrachtung ist, das der Nenner von diesem Ausdruck von 0 verschieden ist in dem Punkt, worum es geht. Stetiger Funktionen, da der Nenner x2+y2 von 0 verschieden ist. Damit haben wir begründet, dass die Funktion f in einem solchen Punkt stetig ist. Fazit: f ist stetig im Punkt |x0,y0|, von |0,0| verschieden. Das war eine sehr einfache Betrachtung und oft vergessen Studenten, diese Betrachtung durchzuführen. Man fängt dann mit dem interessanten Punkt |0,0| an, wo die meiste Arbeit zu tun ist. Aber vergesst bitte nicht, den offensichtlich stetigen Teil in einer Übungsaufgabe, oder in einer Klausuraufgabe explizit zu behandeln. Darauf sind immer einige Punkte vergeben, 1 Punkt oder 2 Punkte. Nun ist der 1. Teil erledigt und wir kommen zum interessanten Punkt. Wir betrachten nun den Punkt |0,0|. Um die Funktion auf Stetigkeit in diesem Punkt zu untersuchen, bemühen wir Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen. Die habe ich allgemein im theoretischen Beitrag auf dieser Seite erläutert, nun will ich das explizit anwenden. Wir fragen uns, ob die Funktion im Punkt |0,0| stetig ist. Wie kann man da anfangen? Erst mal setzt man irgendwelche bequemen Beispielfolgen in die Funktion ein. Man betrachtet sozusagen die Lieblingsfolgen. Man betrachtet die Ausdrücke f|(1/k),0|, f|(1/k),(1/k)|, vielleicht können wir hier einige Potenzen hier dranmachen, k2, k3, irgendwelche Vorzeichen, wenn es Sinn macht. Als 1. spielt man mit solchen Folgen, also man rechnet einfach solche Ausdrücke aus und guckt mal, wohin sie konvergieren. Wenn man rauskriegt, dass man 2 solcher Ausdrücke hat, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, dann kann die Funktion nicht stetig sein. Wenn man zum Beispiel bekommt, dass das Eine gegen 1 geht und das Andere gegen 0, wenn wir eine solche Situation bekommen würden aus diesem Spiel mit Folgen, dann schließen wir sofort daraus, dass die Funktion nicht stetig ist. Wenn wir aber hier rausbekommen, dass alle solche möglichen Folgen gegen den Wert der Funktion an der Stelle |0,0| konvergieren, also wenn alles gegen 0 konvergiert, dann vermuten wir, dass die Funktion stetig ist. Nachdem wir diese Vermutung gemacht haben, sollen wir doch auch die Stetigkeit der Funktion sauber beweisen. Ich verrate euch, das wird hier der Fall sein. Und wenn wir mit unterschiedlichen Folgen spielen, dann stellen wir fest, dass die Funktion auf diesen Folgen immer gegen 0 konvergiert. Und nun ist Wert an der Stelle |0,0|. Dann vermuten wir, dass die Funktion stetig ist und wir sollen das auch beweisen. Behauptung: f ist stetig im Punkt |0,0|. Beweis: Um das ordentlich zu beweisen, sollen wir zeigen, dass die Funktion f die Eigenschaft erfüllt, die in der Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen formuliert ist. Und zwar ist es im Einzelnen so, wir sollen eine beliebig vorgegebene Folge nehmen, die gegen den Punkt |0,0| konvergiert und die Folge der Funktionswerte untersuchen. Wenn die Folge der Funktionswerte auf dieser beliebig vorgegebenen Folge gegen den Wert der Funktion im Punkt |0,0| konvergiert, ist damit der Nachweis erbracht, dass die Funktion stetig ist. Also Beweis: Sei |xk,yk| eine beliebig vorgegebene Folge, ich will diese Zielsetzung noch einmal an die Tafel schreiben, sei |xk,yk| eine beliebig vorgegebene Folge mit der Eigenschaft, dass sie gegen den Punkt |0,0| konvergiert. Warum betrachten wir die Folgen, die gegen |0,0| konvergieren? Weil wir die Stetigkeit im Punkt |0,0| untersuchen. Deswegen müssen wir diese Folgen gegen |0,0| laufen lassen. Also die Folge |xk,yk| konvergiert gegen 0 und sie erreicht diesen Punkt aber nie, |xk,yk| ist immer von |0,0| verschieden. Also immer heißt für alle Indizes k. Dann, wenn wir solche Dinge wie vorgegebene Folgen haben, dann müssen wir folgendes zeigen: Die zugehörige Folge der Funktionswerte, das heißt die Folge, die sich dadurch ergibt, wenn ich |xk,yk| in die Funktion einsetze, zeigt, dass die Folge der zugehörigen Funktionswerte gegen den Funktionswert im Punkt |0,0| konvergiert. Dieser war 0, das steht hier in der Zuordnungsvorschrift: Wenn der Punkt |x,y| gleich 0 ist, dann hat die Funktion den Wert 0. Diese Tatsache habe ich hier wiedergegeben. Das ist unsere Zielsetzung, das ist unsere Aufgabenstellung zum Beweis der Stetigkeit. Ich habe noch nichts gemacht, um die Stetigkeit zu beweisen. Ich habe formuliert, was wir machen sollen nach der Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen. Die Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen schreibt uns vor, dass wir dieses Programm durchziehen sollen. Na gut. Dann machen wir das. Als nächstes konzentriere ich mich auf die Folge der Funktionswerte f(xk,yk) und ich versuche zu zeigen, dass sie notwendig gegen 0 konvergiert für eine beliebig vorgegebene Folge (xk,yk). Diesmal ist es verboten, in dieser Überlegung, xk und yk durch irgendwelche bequemen Folgen zu ersetzen. Man darf nicht sagen, ich nehme dann, um es kurz und bequem zu machen, die Lieblingsfolge (1/k,1/k). Dann zeigen wir, das die Folge der Funktion gegen 0 konvergiert. Das ist hier falsch. Man muss die Eigenschaft, die ich hier angeschrieben habe, für alle Folgen zeigen, (xk,yk), die gegen |0,0| konvergieren, für alle. Und wenn man dieses Programm nur für eine einzige Folge durchzieht, dann hat man nicht alle Folgen berücksichtigt, sondern nur eine Einzige. Die Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen sagt, dass man alle Folgen untersuchen soll, jede Folge, beliebig vorgegebene Folge, beliebige Folge. Man nennt es, wie man will, aber man darf nicht dieses Betrachten auf eine einzige, spezielle Folge einschränken. Das ist der häufigste Fehler bei diesem Thema überhaupt. Also nicht eine bequeme Folge nehmen, sonder eine allgemeine, eine beliebige vorgegebene Folge. Das, was wir von dieser Folge wissen, ist einzig und allein die Tatsache, dass sie gegen |0,0| konvergiert. Soweit zu der Aufgabenstellung. Nun wollen wir das dann in Angriff nehmen. Also wir wollen zeigen, dass die Folge der Funktionswerte gegen 0 konvergiert. Dazu möchte ich noch einen Exkurs zur Konvergenz der Folgen machen, eine rein technische Sache. Erinnerung: Ich betrachte eine Folge ck ck konvergiert gegen einen bestimmten Wert c genau dann, wenn, man kann es äquivalenterweise formulieren, wenn man die Beträge bildet, ck-c, wenn diese Beträge alle gegen 0 konvertieren, dann ist es dasselbe wie die Aussage, dass ck gegen c konvergiert. Das sind 2 äquivalente Aussagen. In manchen Büchern, in manchen Vorlesungen wird die Konvergenz der Folge ck gegen eine Zahl c genau so definiert. Manchmal ist es auch Definition. Wie auch immer es formal eingeführt ist, wichtig ist, zu wissen, dass das äquivalent ist. Hier müssen wir folgendes zeigen: Wir müssen zeigen, dass f(xk,yk) gegen f(0,0) konvergiert. Das müssen wir zeigen und wir wissen, dass die Funktion f an der Stelle |0,0| den Wert 0 hat. Das setze ich gleich ein. Nach dieser Äquivalenzaussage kann ich das so umschreiben, das Äquivalent, dass der Betrag f(xk,yk)-0 gegen 0 geht. Und wenn f von irgendwas -0 ist, dann ist das die Funktion f natürlich selbst. Es macht keinen Sinn, 0 addieren oder subtrahieren, das bewirkt nichts. Das war der Inhalt meiner technischen Bemerkung. Wenn wir zeigen wollen, dass die Folge f(xk,yk) gegen 0 konvergiert, dann ist das äquivalent damit, dass der Betrag dieser Funktionswerte gegen 0 konvergiert. Das ist äquivalent nachdem, was wir allgemein über die Konvergenz der Folgen wissen. Deswegen beschäftigen wir uns als nächstes mit dem Betrag. Das ist technisch bequem, wenn man Beträge betrachtet. Also, dann wundert euch bitte nicht, wenn ich statt der Folge f(xk,yk) einen Betrag betrachte. Das wird dann bequem und wichtig sein, dass wir das machen. Nach dieser ausführlichen, technischen Bemerkung gehen wir zur Sache endlich. Nun betrachte ich den Ausdruck f(xk,yk). Ich habe bei der Formulierung der Zielsetzung, die sich aus der Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen ergibt, geschrieben dass (xk,yk) immer vom Punkt |0,0| verschieden sind. Ich habe das hier geschrieben, und zwar für alle k. Das heißt, wenn wir den Wert der Funktion an der Stelle (xk,yk) betrachten, dann nehmen wir immer die obere Formel, weil man die obere Formel nehmen soll, wenn x,y von |0,0| verschieden sind. Also, wir nehmen die obere Formel, das ist legitim aufgrund dieser Festlegung. Diese Festlegung macht uns die Sache bequem. (xkyk3)/(xk2+yx2). Und alles dem Betragen nach. Nun eine kleine Umformung. Den Sinn dieser Umformung werdet ihr gleich, in 1 Minute, sehen. Ich schreibe den Zähler um, ich schreibe die Sache am besten so um: yk3 ist dasselbe wie  yk2×yk. Also, das schreibe ich so hin: yk2 und hier mal yk, alles zusammen ergibt yk3, das ist kein Problem. Dann schiebe ich den Nenner weg, xk2+yk2, es bleibt nur noch xk übrig. Das war eine identische Umformung. Dann weiß man natürlich, dass der Betrag des Produktes gleich dem Produkt der Beträge ist. Dann schreibe ich das hin: Betrag des Produktes ist gleich Produkt der Beträge. Dann weiß man, dass Quadrate immer positive Zahlen sind und der Betrag einer positiven Zahl ist die positive Zahl selbst. Nun kann ich im 1. Term die Betragstriche weglassen, weil ja darunter alles positiv ist. yk2/xk2+yk2× Betrag xk,yk. So weit, so gut. Das war die identische Umformung von unserem Ausdruck. Ich habe das was vergessen. Ich habe ja die ganze Zeit davon geredet, dass man die Funktion dem Betragen nach betrachten soll und ich habe vergessen, die Beträge hier zu schreiben. Also nun habe ich das ergänzt, Entschuldigung. Ja, das war unsere Umformung und nun will ich eine Ungleichung verwenden. Offenbar ist yk2 immer kleiner als (xk2+yk2). Wie notiere ich das? Also, offenbar ist yk2 immer kleiner gleich (xk2+yk2). Das heißt, wenn ich yk2/(xk2+yk2), dann bekomme ich eine Zahl, die garantiert Das ist der Sinn der letzteren Abschätzung. Aufgrund der letzteren Abschätzung habe ich den Ausdruck im Nenner, der gegen 0 geht, einfach nur weggeschätzt. ich habe davon sozusagen abstrahiert. Ich habe eine solche Abschätzung durchgeführt, sodass am Ende der Ausdruck im Nenner, der gegen 0 konvergiert, nicht mehr vorkommt. Dieser Ausdruck hat die Unbestimmtheit verursacht. Durch diese Abschätzung habe ich diese Unbestimmtheit entfernt. Deswegen war das sinnvoll. So weit, so gut. Wir haben folgendes erreicht: Ich wische alle Zwischenschritte weg, die brauche ich nicht. Ich schreibe einfach nur das Ergebnis unserer Abschätzung hin. Gezeigt haben wir folgendes: Wir haben die Beträge der Funktionswerte betrachtet auf der Folge (xk,yk). Natürlich sind die Beträge größer gleich 0 einerseits, und andererseits haben wir gezeigt, dass das alles kleiner gleich des Betrages (xk,yk) ist. Das ist eine sehr wichtige Ungleichung. Nun folgende Überlegung: Aus der Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen haben wir die Folge (xk,yk) so gewählt, dass sie gegen (0,0) konvergiert. Bei der Konvergenz der Vektorfolgen ist es so, die Folge (xk,yk) als Vektor konvergiert gegen den Vektor (0,0) genau dann, wenn jede Komponentenfolge für sich gegen 0 konvergiert. Das habe ich schon erwähnt, vor 2 Minuten, nun will ich das noch mal erläutern, jetzt wird das sehr wichtig sein. Also die beiden Komponentenfolgen sollen gleichzeitig gegen 0 gehen. Und das bedeutet, dass das Produkt von diesen Nullfolgen ebenfalls eine Nullfolge sein wird. Wenn eine Folge gegen 0 geht, dann geht auch der Betrag dieser Folge gegen 0. Das haben wir schon mal erläutert vor 5 Minuten oder so. Nun habe ich diese Überlegung einerseits. Andererseits habe ich eine Ungleichung, wo ich die Folge der Funktionswerte f(xk,yk) zwischen 2 Ausdrücke gequetscht habe sozusagen. Einmal linkst steht 0, und rechts steht eine Folge, von der wir wissen, dass sie gegen 0 geht. Und nun schicken wir k gegen unendlich, und wissen, dass der Ausdruck (xk,yk) dem Betragen nach gegen 0 geht, einerseits. Links steht auch eine 0 und die Folge der Funktionswerte ist zwischen 2 Nullen sozusagen gequetscht. Links steht eine schon immer konstante 0 und rechts steht eine Nullfolge. Wenn es so aussieht, dann hat die Folge f(xk,yk) gar keine Wahl. Sie muss auch gegen 0 konvergieren. Ich erinnere euch daran, dass es die Aussage der sogenannten Quetschlemma oder Sandwichlemma gibt. Eine sehr anschauliche Aussage, die Folge der Funktionswerte wird von 2 Folgen zusammengequetscht zu 0. Dann sind wir schon bei unserem gewünschten Resultat angelangt. Also nach Sandwichlemma, das heißt auch Quetschlemma, folgt, dass die Folge der Funktionswerte dem Betragen nach gegen 0 konvergiert. Und nachdem, was ich da allgemein über die Konvergenz der Folgen besprochen habe, folgt daraus, dass die Folge selbst gegen 0 konvergiert. Das war zu zeigen, das war unser Ziel. Somit ist der Nachweis der Stetigkeit erbracht. Ich mache das noch konkreter: Wir haben gezeigt, dass für eine beliebige Folge (xk,yk) die gegen den Punkt |0,0| konvergiert, die Folge der zugehörigen Funktionswerte gegen den Wert der Funktion im Punkt |0,0, im Grenzpunkt konvergiert. Wenn das erfüllt ist, und zwar für beliebige Folgen (xk,yk), dann ist die Funktion im Punkt |0,0| stetig. Also das ist hier der Fall. Noch einmal: Sehr wichtig ist, dass ich xk und yk einfach nur, beliebig vorgegeben, vorausgesetzt habe. Ich habe nirgendwo in diesen Überlegungen eine konkrete Form der Folge (xk,yk) benutzt. Ich habe nirgendwo gesagt, das xk gleich 1/k ist. Nirgendwo in dieser Überlegung. Und das sollt ihr auch machen. Immer, wenn ihr Stetigkeit beweisen wollt, dann dürft ihr keine konkrete Folge nehmen, sondern allgemein vorgegebene Folgen voraussetzen. So behandelt man die Aufgaben zum Thema Stetigkeit.

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Sonja Terpoorten:
    Wenn du die Stetigkeit der Funktion an der Stelle (0,0) betrachten willst, näherst du mit Werten (x_k,y_k) an den Punkt (0,0) an. Dabei können x_k und y_k in auch negative Werte annehmen, z.B. für x_k=y_k=-1/k.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hallo,
    ich habe eine Frage. Du hat gesagt k Element von N. Warum brauchst du dann den Betrag? Yk und Xk sind dann doch sowieso größer Null?

    Von Sonja Terpoorten, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Ich denke, dass man es noch besser erklären kann und dabei auch noch den Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit und der Stetigkeit.

    Von Adem96, vor mehr als 3 Jahren