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Transkript Statistik Video 99 - Binomialverteilung Übung Teil 2

Hallo! Schön das ihr alle wieder zuguckt. Wie sind heute bei unserem 2. Übungsvideo zur Binomialverteilung. Wir haben ja beim letzten Mal ein relativ einfaches Beispiel betrachtet, wo alles tabelliert war. Heute wollen wir uns ein etwas gemeineres Beispiel angucken. Was aber tatsächlich so auch in deiner Klausur vorkommen kann und was dann oft Stolperstein für viele Leute ist. So gucken wir uns das Ganze noch mal an. Wir haben unser Beispiel ein bisschen verändert. Wir haben jetzt unsere Zufallsvariable x, die ist immer noch binomenal verteilt, natürlich. Mit n=14 und der Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,65, 65%. Warum ist das Ganze fies? Na ja, das werdet ihr gleich sehen. Wir haben im Prinzip ähnliche Fragen wie gerade. Die Wahrscheinlichkeit das x sich zu einem Wert =5 realisiert. Gut sollte eigentlich kein Problem mehr sein. Bei den Gleichheitszeichen wissen wir, o.k. wir greifen auf die Formel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung zurück. Also n über x. 14 über 5 mal Erfolgswahrscheinlichkeit hoch Anzahl der Erfolge mal Misserfolgswahrscheinlichkeit hoch Anzahl der Misserfolge. Also 0,655×0,359. So das Ganze kann man in den Taschenrechner eingeben und kommt auf eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0,018, also knapp 2%. Soweit, so gut. Alles noch kein Problem. Frage b.) Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser X zu einem Wert ≤5 realisiert. Was ist gefragt? Na ja, Verteilungsfunktion F(5). O.k., wir schlagen unsere Tabelle auf, blättern durch bis zum Tabellenblatt p=0,65. Und wenn ihr das sucht, werdet ihr bemerken, dieses Tabellenblatt existiert nicht. Unsere Binomärverteilung ist nämlich nur bis zu einem p von 0,5 tabelliert. Ja, was sagen wir jetzt? Na ja, sagen wir erst mal, ist ja blöd. Was machen wir jetzt? Na ja, die Binomärverteilung ist ja bei p=0,5 symmetrisch. So, und wenn wir jetzt also sagen, wir haben eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,65, haben wir eine Misserfolgswahrscheinlichkeit von 0,35. Das heißt, wir könnten auch einfach unsere Definition von Erfolg und Misserfolg umdrehen und uns quasi eine zweite Zufallsvariable basteln. Den nennen wir jetzt mal y. So und y entspringt dem gleichen Zufallsversuch. Ist also binomial verteilt, auch mit 14. Aber hier mit 0,35. Also alles, was wir vorher als Misserfolg gewertet haben, werten wir jetzt als Erfolg. Und da die 0,35 tabelliert ist, können wir jetzt damit unsere Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Wir müssen uns halt vorher nur sehr genau überlegen, was für Werte soll unser y jetzt annehmen. Also wir hatten vorher p≤5. Das heißt, wir wollten maximal 5 Erfolge haben, maximal 5 Erfolge. Wo ist f(5)? Das heißt, unser x sollte sein 0, 1, 2, 3, 4 oder 5. Also maximal 5 Erfolge. Gucken wir uns das ganze Mal für y an. Ich benutze jetzt rot für y. Wenn wir 5 Erfolge haben, nach x, also wenn 5×x unser Erfolg nach x eintreten soll, heißt das wir haben 9 Misserfolge. Das heißt, nach y wollen wir mindestens 9y Erfolge haben. Haben wir nach x nur 4 Erfolge heißt das nach x haben wir noch 10 Misserfolge. Haben also nach y 10 Erfolge, weil jeder x-Misserfolg ist ein y Erfolg. Und so setzt sich das also fort. Und wir sehen, o.k. wir wollen also die Wahrscheinlichkeit haben, dass unser y ≥9 ist. Also p(y)≥9. Und wir wollen ja genau diese, die in diesen Bereich fallen. So und wie machen wir das? Na ja, das haben wir ja gerade bei dem Beispiel davor schon gesehen. Wir sagen wir nehmen 1- alle Zahlen, die wir nicht haben wollen. Alle Zahlen, die wir nicht haben wollen, ist offensichtlich von 0 bis 8. 9 ist die Erste, die wir haben wollen. Und die Zahlen, die Wahrscheinlichkeit liegt in den Zahlen 0-8. Ist zusammengefasst in F(8). Und genau das hier, y ist tabelliert. Für alle bis 0,5 ist das tabelliert. Und zwar genau aus diesem Grund. Haben wir eine Zufallsvariable mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit >0,5 und diese Zufallsvariable ist binomial verteilt, dann können wir uns eine Gegenwahrscheinlichkeit Zufallsvariable bauen und die gleichen Wahrscheinlichkeiten hier auch damit ausrechnen. Das heißt, alles, was für Zufallsvariablen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit >0,5 tabelliert wäre, wäre im Prinzip verschwendetes Papier. Weil man das halt immer über die Gegenvariable (nenne ich sie mal) bekommen kann. So, was wollen wir jetzt also haben? Wir wollen gucken, aha hier, x≤8. Lasst euch jetzt nicht von diesem x irritieren. Wir sind immer noch bei der Zufallsvariable y, weil nur die tabelliert ist. Aber in eurer Tabelle steht nun mal immer x. Und wir haben ja gesehen 0,65 gibt es nicht. Wir gehen also auf 0,35. Also F(8) suchen wir, natürlich bei 14 Versuchen. Da sind wir immer noch. Und das liegt bei 0,9757. Also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser Y zu einem Wert ≤8 realisiert liegt bei 97,57%. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass wir sich unser y zu einem Wert >8 oder ≥9 realisiert bei 1-0,9757. Also 1- das kommen wir auf einen Wert von 0,0243. O.k., was bedeutet das? Was für eine Wahrscheinlichkeit ist dieses 2,34%? 2,34% ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unser y ≥9 ist. Das wäre also 9, 10, 11, 12, 13 oder 14 Erfolge haben bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 35%. 2,34% ist aber gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unser x zu einem Wert ≤5 realisiert. Dass wir also nur kein, 1, 2, 3, 4 oder 5 Erfolge haben bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 65%. Genau deshalb haben wir das ja heute gemacht. Also diese Wahrscheinlichkeit ist die Antwort auf beide Fragen. Und genauso wird es bei c.) gerechnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich x zu einem Wert ≥9 realisiert. O.k. kleine Aufgabe an euch. Pause drücken, ausrechnen, in der Tabelle nachgucken und dann vergleichen. So, ich hoffe ihr habt das wirklich selber ausgerechnet und vergleicht jetzt nur noch. Also, wir wollen also erst mal wissen, was für Werte soll denn x annehmen? x ist bei mir schwarz. x soll ≥9 sein, also offensichtlich 9, 10, 11, 12, 13 oder 14 Erfolge wollen wir haben, bei unserem Zufallsversuch.  Was bedeutet das jetzt für y? y rot. Wenn wir 9x Erfolge haben, haben wir also bei 14 Versuchen noch 5x Misserfolge. Jeder x-Misserfolg ist ein y Erfolg. Also die 9 führt zur 5. Haben wir 10 x-Erfolge, haben wir also noch 4 Erfolge übrig, die dann logischerweise Misserfolge sind. x-Misserfolge führt also zu y-Erfolgen. Also suchen wir nach bei y, nach dem Bereich 0 bis 5. Also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser y zu einem Wert ≤5 realisiert. Also im Term der Verteilungsfunktion gesprochen F(5). O.k. F(5), ist tabelliert für diese Wahrscheinlichkeit x≤5. Und genau da gucken wir jetzt in unsere Tabelle. Mit dem richtigen Tabellenblatt von 0,35. Das ist übrigens der häufigste Fehler, dass man im falschen Tabellenblatt landet. Bei n=14 und x≤5 sind wir also bei 0,6405. Also 0,6405. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser Y zu einem Wert ≤5 realisiert und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser x zu einem Wert ≥9 realisiert. Ungefähr 65%, also knapp 65%, 64,05. So, das war die Übung zur Binomialverteilung. Ich hoffe, ihr habt alles verstanden. Das war jetzt wirklich relativ umfassend, und ich hoffe, ihr habt vor allen Dingen diesen Part verstanden. Weil, das ist echt so eine Sache. Da kann der Prof, wenn er fies ist, relativ viele Punkte, relativ vielen Leuten verhauen. Weil viele denken dann, o.k. mein x ist binomial verteilt, ich kann einfach nachgucken in der Tabelle, stimmt ja auch. Und dann wundern sie sich, dass diese Tabelle für genau dieses x halt nicht existiert. Weil die Erfolgswahrscheinlichkeit größer ist als 0,5. Ich hoffe, ihr wisst jetzt, dass man sich dann eine Gegenvariable baut mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Man muss sich dann jedes Mal sehr genau überlegen, was dieses spezielle, dieser spezielle Bereich für x dann für y bedeutet. Hat man das getan, hat man y ja tabelliert und das Ganze sollte eigentlich kein Problem darstellen. Ja, ich bedanke mich für das Zuschauen. Hoffe ihr guckt euch auch die nächsten Videos an. Im nächsten Video lernen wir wieder eine neue spezielle, diskrete Verteilung kennen. Ich sage tschüss und bis zum nächsten Mal.

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4 Kommentare
  1. Default

    Hier wird ja F(X=5) = 1-F(4).

    Man muss immer sehr genau auf die Zeichen achten und aufpassen.

    Von Statistik Jona, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Wieso wurde bei Übung 1 bei c) F>=7 mit 1-F(6) gerechnet, demnach müsste ich doch hier auch 1-F(5) rechnen?

    Von Rehfeldthomas, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Nein, denn gesucht wir Fy(5) d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass y sich zu einem Wert kleiner gleich 5 realisiert. Die ist in der Tabelle schon angegeben und kann so abgelesen werden.

    1-Fy(4) wäre nicht P(y kleiner gleich 5) sondern

    1-Fy(4) = P(y größer als 4).
    denn du nimmst ja die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse 1 und subtrahierst alle Wahrscheinlichkeiten, dass sich y zu einem Wert kleiner gleich 4 realsiert. Was bleibt ist die Wahrscheinlichkeit einer Realisation zu einem Wert größer gleich 5 bzw. echt größer 4.

    Von Statistik Jona, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Müsste man nicht bei Aufgabe c folgende Vorgehensweise benutzen:
    P( y kleiner gleich 5) = 1-F(4)= 1-0,4227=0,5752
    so wurde es jedenfalls in Aufgabe b gemacht

    Von Kistner Doris, vor mehr als 3 Jahren