Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 80: Varianz Übung

Hallo. Schön, dass ihr alle wieder zuschaut. Wir sind heute bei unserer Übung zur Varianz. Ich habe hier mal das gleiche Beispiel benutzt, wie schon in dem Video 77, als wir den Erwartungswert ausgerechnet haben. Unser x ist hier definiert als die Auszahlung, und zwar in Euro. Das heißt, wir spielen ein Spiel. Wir können 2Euro verlieren, 1Euro verlieren. 2Euro, 3Euro oder 5Euro gewinnen, und zwar mit folgenden Wahrscheinlichkeiten: 6/36, 18/36, 6/36, 4/36 und 2/36. Wir wir auf diese Wahrscheinlichkeitsverteilung gekommen sind, könnt ihr euch gerne in dem Video 77 noch einmal anschauen. Das Ganze ergab einen Erwartungswert von 1/9 und wir wollen heute natürlich in der Übung zur Varianz die Varianz ausrechnen. Ich habe hier die Formel noch einmal hingeschrieben. Die Varianz von x ist die Summe von i=1+k, also über alle Realisationsmöglichkeiten, von xi-μ, also Ausprägung minus Erwartungswert - das μ steht hier für den Erwartungswert - zum Quadrat, nicht vergessen, zum Quadrat! Mal pi, mal Eintrittswahrscheinlichkeit. Gut, sollte eigentlich auch kein Problem sein, aber ihr werdet sehn, wenn man die Varianz berechnet, hat man es sehr oft mit sehr sehr unbequemen Zahlen zu tun. Und das haben wir jetzt hier leider auch. Gut, fangen wir mit der ersten Ausprägung an. Die erste Ausprägung ist -2. So x1-μ. Unser μ, der Erwartungswert, steht hier, 1/9. Also -2-1/9, das Ganze zum Quadrat und dann noch mal pi, mal Eintrittswahrscheinlichkeit, ×6/36. Ich kürze das mal auf 1/6. Das ist der erste Teil, der erste Teil der Summe. Offensichtlich, denn bei 5 Ausprägungen, haben wir 5 Teile der Summe. Wenn ihr die Varianz berechnet, dürft ihr nie nie nie das Quadrat vergessen. Das machen sehr viele Leute sehr sehr gerne und wundern sich dann, warum sie ein falsches Ergebnis haben. Also immer das Quadrat mitnehmen. So, erster Teil der Summe plus zweiter Teil der Summe. Zweite Ausprägung -1-μ, minus 1/9 zum Quadrat ×Eintrittswahrscheinlichkeit. Eintrittswahrscheinlichkeit hier 18/36, also ½. Plus dritter Teil der Summe. 2-μ, minus 1/9 zum Quadrat ×Eintrittswahrscheinlichkeit 1/6. Plus (3-1/9)2×4/36 oder auch 1/9. Plus (5-1/9)2×1/18. Jetzt haben wir das alles schön aufgeschrieben, jetzt müssen wir das Ganze natürlich noch ausrechnen. Das heißt, wir lösen jetzt erst mal die Klammern auf. (-2-1/9)2=-19/92=361/81 mal Eintrittswahrscheinlichkeit ×1/6. So plus -1-1/9. -1 sind offensichtlich -9/9, also kommen wir hier auf -10/92=100/81 mal Eintrittswahrscheinlichkeit ×1/2. Plus 2-1/9. 2 sind 18/9, minus 1/9 sind 17/9. Macht 289/81 und das Ganze mal 1/6. Plus 3-1/9 sind 26/9 zum Quadrat, macht 676/81×1/9. Und zu guter Letzt (5-1/9)2 macht 44/92 macht 1936/81×1/18, mal Eintrittswahrscheinlichkeit. Ihr seht also, die Zahlen sind nicht so richtig schön. Das habt ihr bei der Varianz leider öfter. Aber wir besitzen einen Taschenrechner und können das jetzt also ausrechnen. 361/81×1/6=361/486 plus 100/81×½, das kann man super ausrechnen, das sind 50/81. 289/81×1/6, das kann man leider gar nichts kürzen, also 289/486 plus 676/81×1/9, kann man leider Gottes auch nicht kürzen, also sind wir bei 676/729 und 1936/81×1/18, da kann man ein bisschen was kürzen. Man kann die 18 zumindest auf Neuntel kürzen und das da oben auch halbieren. Man kommt dann auf 968/729. So erst einmal durchschnaufen. Der schwierigste Teil liegt hinter uns. Wir haben jetzt also hier noch 5 Brüchen stehen, die wir jetzt noch addieren sollen. Das geben wir jetzt in den Taschenrechner ein und dann bekommen wir als Varianz von x ungefähr 4,21. Also eine, so wie es aussieht, doch recht große Varianz. Hier habt ihr jetzt also einmal gesehen, wie man aus so einer Wahrscheinlichkeitsverteilung die Varianz berechnet mit dem Erwartungswert. Genau genommen hätte ich euch den gar nicht könne oder geben müssen. Wir hätten aus dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung den Erwartungswert ausrechnen können, um dann die Varianz zu berechnen. Schauen wir uns also das Beispiel mit einer stetigen Zufallsvariable an. Wir haben wieder das Beispiel aus der Übung zum Erwartungswert. Also wir haben unsere Zufallsvariable x als Wartezeit 10 Minuten. Wir wissen, unsere U-Bahn kommt alle 10 Minuten, wir wissen aber nicht, wann sie fährt. Wir gehen also zum Bahnsteig und wollen wissen, wie lange unsere erwartete Wartezeit ist. Das haben wir schon ausgerechnet. Wir rechnen mit einer durschnittlichen Wartezeit von 5 Minuten. Jetzt interessiert uns noch die Varianz. Die Varianz bei einer stetigen Zufallsvariable ist folgendermaßen definiert: ∫ von -∞ bis ∞ von (x-μ), also μ wieder der Erwartungswert, zum Quadrat mal f von x dx. Wir haben hier auch noch die Dichtefunktion gegeben, f von x, brauchen wir auch, sonst können wir nicht rechnen. Wir können also sagen, die Varianz von x ist das Integral von -∞ bis ∞ von (x-5)2×f von x dx. Soweit so gut. Wir splitten das Integral wieder auf in 3 Teile. Links von unserem Bereich, der um =0 ist, unser Bereich, der um =0 ist und rechts von dem Bereich, der um =0 ist. Also ∫ von -∞ bis =0 von - wir können das hier schon mal ausmultiplizieren nach der 2. binomischen Formel - x2-10x+25. Das Ganze mal f von x. Das ist in dem Fall 0 und plus ∫ von 10-∞, also rechts von dem Bereich, der um =0 ist, haben wir auch wieder unsere Klammer x-5×0, also das ist auch 0. Schreibe ich auch mal mit dazu. Das hier ist 0 und das hier ist auch 0. Also ich habe es nur der Vollständigkeit halber im Prinzip mit aufgeschrieben und jetzt kommt der interessante Teil. ∫ von 0 bis 10 von (x2-10x+25)×1/10. Warum 1/10, weil 1/10 das die Dichtefunktion in diesem Bereich ist, wie Sie hier sehen.  Gut, das 1/10 können wir nach vorne ziehen als konstanter Faktor und alles andere können wir einfach integrieren. Wie kommen wir darauf? Wir haben 1/10×, wir integrieren x2, integriert ist 1/3x3-, 10x integriert sind 5x2 und 25 integriert sind 25x. Das Ganze im Ganzen von 0 bis 10. So, wir können jetzt also Unter- und Obergrenze einsetzen. Wenn wir die Untergrenze 0 einsetzen, sehen wir schon, werden alle Terme 0. Können wir uns also sparen. Setzen wir also nur die Obergrenze ein. Vorne der Faktor 1/10, nicht vergessen. Wir haben also 103 sind 1000, also 1000/3-(5×102), sind also 5×100, also -500. Und das Ganze plus 25×x, x in diesem Fall 10 eingesetzt, +250. Wir schauen uns das also an. Wir haben hier -500+250=-250, 1000/3=333,3... Also haben wir hier 83,3... das Ganze mal ×1/10. Also haben wir im Endeffekt eine Varianz von 8,33. Das ist also unsere Varianz von x in diesem Beispiel. Das heißt, wie ich finde, auch wieder eine relativ hohe Varianz. Dafür, dass wir maximal 10 Minuten warten. Ist auch logisch, wenn wir Glück haben, warten wir 0 Minuten, wenn wir Pech haben, warten wir halt volle 10 Minuten. Also die Varianz ist relativ groß. Das war die Übung zur Varianz. Ihr seht, es gibt im Prinzip nicht viel Neues, als in der Theorie. Die Varianz ist immer noch relativ simpel zu berechnen, wenn man sich nicht zu schade ist, ein paar Integrale zu rechnen. Ihr müsst euch vielleicht noch einmal damit auseinandersetzten, wie Integrale noch mal funktionieren, wie man integriert. Aber meistens hat man relativ simple Funktionen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die man integrieren muss und so oft werdet ihr wahrscheinlich auch die Varianz einer stetigen Zufallsvariable gar nicht berechnen. Es ist nämlich später sehr häufig so, dass es klar ist, wie eine Zufallsvariable verteilt ist. Das wird in ein paar Videos kommen. Dann werden wir spezielle Verteilungen durchnehmen, spezielle diskrete Verteilungen und spezielle stetige Verteilungen. Und wenn klar ist, wie eine Zufallsvariable verteilt ist, müsst ihr euch nur noch die Formel anschaun, wie in diesem speziellen Fall die Varianz berechnet werden kann. Dann muss man nur sehr selten den Weg über das Integral nehmen. Sondern meisten schaut man einfach nach und sagt: Ok, das plus das durch das und dann hat man die Varianz. Das war es für heute. Ich freue mich, wenn ich auch beim nächsten Mal zuseht. Ich sage vielen Dank fürs Zuschaun und tschüss.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Nachtrag:
    Ich meine natürlich: Var(x) = E(x^2) - (E(x))^2

    Von Mattacko, vor 4 Monaten
  2. Default

    Da in Klausuren Zeitdruck herrscht, finde es bei bspl. 2 nützlich statt dessen folgende Formel zu verwenden:
    Var(x) = E(x^2) + (E(x))^2

    spart zeit und nerven

    Von Mattacko, vor 4 Monaten