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Transkript Statistik Video 62: Totale Wahrscheinlichkeit Übung

Guten Tag, Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei der Übung zur totalen Wahrscheinlichkeit. Ich habe mir mal ein Beispiel überlegt. Also, wir haben einen Autofabrikanten und der hat drei Produktionsstätten. Wir haben drei Ereignisse A, B und C. Das Ereignis A sagt halt aus, mein Auto, das ich habe, wurde in Produktionsstätte A produziert. Bei B und C das Gleiche. Das Auto wurde in Produktionsstätte B produziert und bei C, das Auto wurde in Produktionsstätte C produziert. Sagen wir mal, A steht für Augsburg, B steht für Bochum und C steht für Chemnitz. Also, das Auto wurde in Augsburg, Bochum oder Chemnitz produziert. Dann haben wir hier noch eine Stückzahl, von mir aus pro Monat. Also unsere Produktionsstätte in Augsburg produziert pro Monat 10 000 Autos. Die in Bochum produziert 3000 und die in Chemnitz produziert 7000 Autos pro Monat. Nun hat unser Autohersteller ein Problem, nämlich immer mehr Autos von ihm haben einen technischen Defekt. Er weiß aber nicht wie viele. Das würde er aber gern wissen. Er würde gern wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich mir zufällig ein Auto auswähle, dass dieses Auto einen technischen Defekt hat. Er hat aber die Wahrscheinlichkeiten für seine einzelnen Produktionsstätten. In Augsburg haben 10 Prozent aller Autos einen technischen Defekt, in Bochum nur 5 Prozent aller Autos und in Chemnitz 7 Prozent aller Autos. Offensichtlich haben wir die Wahrscheinlichkeit für unsere Ereignis D "Das Auto hat einen technischen Defekt" nicht. Da das ja die Überschrift dieses Videos ist, würde es Sinn machen, wenn wir jetzt diese Wahrscheinlichkeit über die totale Wahrscheinlichkeit rausfinden. Wir erinnern uns, die totale Wahrscheinlichkeit: Wir haben also ein Ereignis D, das eine gewisse Schnittmenge hat mit anderen Ereignissen, die jeweils paarweise disyount sind und über die totale Wahrscheinlichkeit können wir jetzt unsere Wahrscheinlichkeit herausfinden. Was haben wir gesagt, was brauchen wir? Wir brauchen die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten der bedingenden Ereignisse. Fangen wir damit doch mal an und gucken, was wir so haben. Also, die Wahrscheinlichkeit der bedingenden Ereignisse bedeutet zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit von A brauchen wir und die Wahrscheinlichkeit von B und C brauchen wir. Also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto in Augsburg oder Bochum oder Chemnitz produziert wurde. Wir haben ja insgesamt 20 000 Autos, die pro Monat produziert werden; 10 000 in Augsburg, 3000 in Bochum und 7000 in Chemnitz. Und genau das sind jetzt auch unsere Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse. Da wir insgesamt 20 000 pro Monat produzieren -10 000 davon in Augsburg -, haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent, dass ein von uns zufällig ausgewähltes Auto in Augsburg gebaut wurde. In Bochum sind es jetzt 15 Prozent, also 3000 durch 20 000, macht 15 Prozent Wahrscheinlichkeit. Und bei Chemnitz 35 Prozent. Gut, wir haben also schon mal die Wahrscheinlichkeit der bedingenden Wahrscheinlichkeiten. Was wir noch brauchen, sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten.  Welche bedingten Wahrscheinlichkeiten brauchen wir jetzt? Wir könnten ja alle möglichen bedingten Wahrscheinlichkeiten machen, wir könnten ja A/D machen, B/D, vielleicht auch A/B. Gut, die sind ??, das würde nicht sonderlich viel Sinn machen, aber man könnte ja mal gucken. Nein, wir brauchen die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses, das uns interessiert, also D unter unseren anderen Wahrscheinlichkeiten. Also D/A, die Wahrscheinlichkeit D/B und die Wahrscheinlichkeit D/C. Die Frage ist: haben wir diese Wahrscheinlichkeit? Gute Frage. Wir haben hier so etwas wie eine Ausschlussmenge gegeben. Also in Augsburg hat jedes zehnte Auto, also zehn Prozent, einen technischen Defekt, in Bochum 5 Prozent in Chemnitz 7 Prozent. Das heißt, diese Prozentangaben stehen ja für den Anteil der technischen Defekte. Das heißt, es ist die Wahrscheinlichkeit, dass mein Auto einen technischen Defekt hat, wenn es in Augsburg produziert wurde. Und das ist ja genau das, was die bedingte Wahrscheinlichkeit aussagt. Wir wissen, es wurde in Augsburg produziert, dann haben wir eine 10-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass es einen technischen Defekt hat. Also Fazit: Diese Wahrscheinlichkeiten kennen wir und die können wir hier rausziehen. Also wir wissen, es wurde in Augsburg produziert, dann haben wir immer noch 10 Prozent Wahrscheinlichkeit, dass es einen technischen Defekt hat, oder 0,1, um es so aufzuschreiben. Dann haben wir bei Bochum 0,05. Also, wenn wir wissen, es wurde in Bochum produziert, gibt es eine 5-prozentige Wahrscheinlichkeit für einen technischen Defekt. Und bei Chemnitz eine 0,07, also eine 7-prozentige Wahrscheinlichkeit. Wir haben jetzt also die Einzelwahrscheinlichkeiten und die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Also die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten der bedingenden Ereignisse. Brauchen wir noch mehr für unsere totale Wahrscheinlichkeit, also um die Wahrscheinlichkeit von D auszurechnen? Denken wir kurz nach. Wir hatten es ja so aufgeteilt: Wir hatten ja noch die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Schnittmengen, aber die haben wir ersetzt durch die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Einzelwahrscheinlichkeit. Also müssten wir eigentlich alles haben, was wir brauchen, um unsere totale Wahrscheinlichkeit von D auszurechnen. Gucken wir doch mal. So Also hier ist  noch mal alle Wahrscheinlichkeiten aufgeschrieben, also die Wahrscheinlichkeit, aus meiner Produktionsmenge zufällig ein Auto auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses aus Augsburg kommt: 50 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses aus Bochum kommt: 50 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses aus Chemnitz kommt: 35 Prozent. Und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto, das in Augsburg produziert wurde, einen technischen Defekt hat: 10 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto, das in Bochum produziert wurde, einen technischen Defekt hat: 5 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto, was in Chemnitz produziert wurde, einen technischen Defekt hat: 7 Prozent. Und hier habe ich noch mal die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit aufgeschrieben. Also die Wahrscheinlichkeit von D ist ja aufgrund der disjounten  Zerlegung die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Schnittmengen, also die Wahrscheinlichkeit D?A plus die Wahrscheinlichkeit von D?B plus die Wahrscheinlichkeit von D?C. Wenn wir uns noch mal das Fandiagramm dazu angucken, wenn wir hier A, B und C haben und in der Mitte haben wir D, dann sehen wir, dass da die Summe der Schnittmengen, also D, wieder ist. Und da sie disjount  sind, können wir einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. Einen Schritt weiter haben wir die bedingte Wahrscheinlichkeit D/A mal die Wahrscheinlichkeit von A. Das war ja, wenn ihr euch erinnert, durch die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben. Wir haben die Wahrscheinlichkeit D/A, ist die Wahrscheinlichkeit von D und A durch die Wahrscheinlichkeit von A. Und wenn wir das jetzt umstellen, kommen wir darauf, dass die Wahrscheinlichkeit D?A das Gleiche ist, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit von D/A mal die Wahrscheinlichkeit von A ist. Diesen Term haben wir hier ja und dafür wird halt jetzt das eingesetzt. So kommen wir, wie ihr euch erinnert, auf diesen Schritt. Wir haben also die Formel. Wir haben auch alle Wahrscheinlichkeiten, die wir brauchen. Müssen wir im Prinzip nur noch einsetzen, dann haben wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto, das ich zufällig auswähle, einen technischen Defekt hat. Die Wahrscheinlichkeit D/A, also die Wahrscheinlichkeit, dass mein Auto einen technischen Defekt hat, wenn ich weiß, mein Auto kommt aus Augsburg: 10 Prozent. Also 0,1 mal die Wahrscheinlichkeit, dass mein Auto aus Augsburg kommt, also 0,5. Im Prinzip so etwas wie eine Gewichtung. Plus die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass mein Auto einen technischen Defekt hat, wenn ich weiß es kommt aus Bochum: 0,05 mal der Wahrscheinlichkeit, dass mein Auto aus Bochum kommt, 15 Prozent. Plus die bedingte Wahrscheinlichkeit D/C, mein Auto hat einen technischen Defekt, wenn ich weiß, es kommt aus Chemnitz: 0,07 mal der Wahrscheinlichkeit und das ganze, dass mein Auto aus Chemnitz kommt, also 0,35. Rechnen wir weiter. 0,5 mal 0,1, also die Hälfte von 0,1, macht 0,05 plus 0,05 mal 0,15 macht 0,0075 plus 0,07 mal 0,35 macht 0,0245. Also haben wir hier unsere Einzelwahrscheinlichkeiten, die können wir jetzt aufaddieren. Also 0,05 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto defekt ist und aus Augsburg kommt. Das Gleiche für die 0,0075, also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto defekt ist und aus Bochum kommt. Wenn ihr also mal nach solchen kombinierten Wahrscheinlichkeiten gefragt werdet, könnt ihr sie auch über diese Umstellung hier bekommen. Aber das reicht uns noch nicht, wir wollen ja die totale Wahrscheinlichkeit bekommen. Also 0,0075 plus 0,0245 macht 0,032, plus 0,005 macht 0,082. Das hier ist also unsere totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto einen technischen Defekt hat. Also 8,2 Prozent aller meiner Autos haben einen technischen Defekt. Was wir jetzt als Autohersteller mit dieser Zahl machen wollen, sei mal uns überlassen. Entweder wollen wir unsere Produktionsstätten technisch verändern oder wir sagen, 8,2 Prozent technischer Defekt ist nicht so tragisch. Kommen also 8,2 Prozent der Leute mit dem technischen Defekt wieder zurück und wir reparieren ihn, dafür ändern wir unseren Produktionsstätten doch nicht. Also die inhaltliche Interpretation, ob wir finden, das ist viel oder wenig, sei jedem selber überlassen. Das war also die Übung zur totalen Wahrscheinlichkeit. Wir haben gesehen, was man braucht, um die totale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wann man vor allem die totale Wahrscheinlichkeit berechnen muss, weil man anders nicht an die Wahrscheinlichkeit herankommt. Im nächsten Video beschäftigen wir uns dann mit dem Satz von Base, der auch noch mal in diese Wahrscheinlichkeitsrechnung eingreift und ein wirklich sehr  zentraler Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe ihr habt so weit alles verstanden und auch mitgenommen. Ich freu mich, wenn ihr auch das nächste Mal noch mal reinguckt und sage, tschüss.

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