Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 59: bedingte Wahrscheinlichkeiten Übung

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt.

Wir sind heute bei unseren Übungen zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten, bei der ersten Übung, wo wir uns auf Laplace-Experimente konzentrieren. Wir erinnern uns, die bedingten Wahrscheinlichkeiten waren Wahrscheinlichkeiten, bei denen wir Zusatzinformationen hatten, d.h. uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, gegeben der Information, dass Ereignis B auf jeden Fall eintritt. Die Formel hierfür war die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit für B. Wir wollen uns erst einmal unser Zufallsexperiment angucken, das wir mit zwei 6-seitigen Würfeln würfeln. Wir haben 2 Ereignisse, Ereignis A wir würfeln einen Pasch und Ereignis B die Augensumme unserer 2 Würfel ist 4. Zuerst interessiert uns, die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten. Wie groß ist die? Können wir so aus dem Bauch heraus nicht sagen.

Gucken wir uns das Ganze mal in einem Baumdiagramm an. Ein Baumdiagramm haben wir ja schon mal kennengelernt, sah so aus. Also wir haben hier unser Ereignis A, das eintritt und hier, dass unser Ereignis A nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, also wir einen Pasch würfeln, liegt bei 1/6. Wir haben 36 mögliche Kombinationen mit 2 Würfeln ein Ergebnis zu erzielen, 6 davon sind ein Pasch, 6÷36, also 1/6. Demnach die Gegenwahrscheinlichkeit keinen Pasch zu würfeln bei 5/6.

Uns interessiert jetzt also, wir würfeln einen Pasch und wir würfeln die Augensumme 4, können also von hier weiter machen und das Ganze aufteilen in Ereignis B tritt ein und Ereignis B tritt nicht ein. Wenn wir einen Pasch haben, also Einsen, Zweien, Dreien, Vieren, Fünfen und Sechsen, gibt es bei diesen 6 Möglichkeiten genau eine, bei der die Augensumme 4 ist, nämlich beim Zweierpasch. Bei allen anderen ist die Augensumme nicht 4. D.h. wir haben hier 1/6 ein Ergebnis von den 6 die möglich sind ist gut für uns und 5 sind nicht gut für uns. Wenn man so ein Baumdiagramm hat und sich die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse angucken will, dann multipliziert man die verschiedenen Ebenen. D.h. wenn wir wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, dass Ereignis A und B eintreffen, dann multiplizieren wir die Einzelwahrscheinlichkeiten, also 1/6×1/6, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, liegt bei 1/36. Nämlich genau bei einer von 36 Kombinationen haben wir sowohl einen Pasch als auch die Augensumme 4.

Schreiben wir uns noch mal 2 andere wichtige Wahrscheinlichkeiten hin. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt hatten, wir ja hier schon definiert als 1/6, also jedes 6. Mal würfele ich einen Pasch, wenn ich mit 2 Würfeln würfele und die Wahrscheinlichkeit, dass unser Ereignis B eintritt, also dass die Augensumme 4 ist, das ist jetzt die Frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Augensumme 4 ist? Welche Kombinationen gibt es denn, die uns die Augensumme 4 geben? Ich könnte eine 1 und eine 3 würfeln, ich könnte zwei 2en würfeln oder ich könnte eine 3 und eine 1 würfeln, das sind unterschiedliche Ergebnisse 1 und 3 und 3 und 1. Also haben wir 3 Ergebnisse, bei denen die Augensumme 4 ist, unser Ereignis also eintritt. Insgesamt haben wir 36, also ich die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt 3÷36, oder gekürzt 1/12.

Gut, wenn wir das haben, können wir also unsere bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit A, also wir haben einen Pasch gegeben wir wissen wir haben die Augensumme 4. Also wir wissen schon, wir haben die Augensumme 4 mit unseren Würfeln erreicht und wollen jetzt noch wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir jetzt einen Pasch gewürfelt haben ist. Die Wahrscheinlichkeit ist also die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. A geschnitten B haben wir hier, 1/36, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B, 1/2, macht also 1/3. Jedes 3. Mal, wenn wir die Augensumme 4 haben, werden wir auch einen Pasch haben. Das Ganze ist ja auch logisch, wir haben ja als mögliche Ergebnisse (1,3); (2,2) und (3,1), das sind unsere 3 möglichen Ergebnisse, bei denen wir die Augensumme 4 haben und genau 1 Mal haben wir dabei auch einen Pasch, also jedes 3. Mal. Daher kommen diese 1/3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass wir die Augensumme 4 haben, gegeben wir haben einen Pasch, gucken wir uns das an, auch hier haben wir wieder die Wahrscheinlichkeit von A und B gleichzeitig, also 1/36 und das geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A. Man teilt also immer durch die Wahrscheinlichkeit der Voraussetzung, der Zusatzinformation. Die Wahrscheinlichkeit von A 1/6. Wir kommen also auf 1/6. Jedes 6. Mal, wenn wir einen Pasch haben, haben wir auch die Augensumme 4. Ist ja logisch, wir haben 6 unterschiedliche Paschs, genau 1 Mal haben wir die Augensumme 4, also jedes 6. Mal 1/6. Gut, das waren die bedingten Wahrscheinlichkeiten für unser 1. Beispiel beim Wurf von 2 Würfeln.

Wir gucken uns jetzt einfach noch mal ein 2. Beispiel an. Ok, gerade hatten wir ja ein Laplace-Experiment, wo die beiden Ereignisse voneinander unabhängig waren, d.h. der 2. Würfel hat sich keinen Deut darum geschert, was der 1. angezeigt hat, sondern war unabhängig davon. Jetzt machen wir das Ganze mal mit einem abhängigen Zufallsexperiment, d.h. wir ziehen 2 Karten aus einem Pokerblatt, also aus 52 und wir tun die 1. Karte, nachdem wir sie gezogen haben nicht wieder zurück in den Stapel, sondern ziehen halt eine Neue. Wir interessieren uns jetzt für folgende Ereignisse: Ereignis A die 1. Karte ist ein Ass, Ereignis B die 2. Karte ist ein Ass. Gucken wir uns das also mal im Ereignisbaum an. Wir haben also hier unsere Stufe für A und sagen ok, A tritt ein, A tritt nicht ein und je nachdem wo wir uns dann befinden gehen wir weiter und sagen B tritt ein oder B tritt nicht ein. Also B mit dem Strich drüber bedeutet B tritt nicht ein und hieran sehen wir auch sehr deutlich, dass wir bestimmte bedingte Wahrscheinlichkeiten gar nicht ausrechnen können. Also wir können nicht sagen, ich möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass meine 1. Karte ein Ass ist, gegeben meine 2. Karte ist ein Ass, weil das ja eine zeitliche Abfolge hat. Wir können also nicht sagen ok, wir ziehen erst die 2. Karte, das funktioniert nicht. Wir müssen immer erst die 1. Karte ziehen, also können wir nur diese 4 bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.

Ok, wir haben hier also 4 verschiedene, bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wir interessieren uns erst einmal für die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Karte ein Ass ist, gegeben die 1. Karte ist ein Ass ist. Was brauchen wir dafür? Wir brauchen die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten, also die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Karte ein Ass ist und die 2. Karte ein Ass ist. Gucken wir uns doch einmal die Wahrscheinlichkeiten an, wir haben 4 Asse von 52 Karten, also 4÷52. Jede 13. Karte ist ein Ass und hier haben wir also 12÷13, dass wir kein Ass ziehen. Auf der nächsten Stufe haben wir noch 51 Karten zur Verfügung, eine ist ja rausgezogen und 3 Asse, denn ein Ass ist ja schon weg also haben wir hier als Wahrscheinlichkeit jetzt ein Ass zu ziehen 3÷51, 1/17 und die Gegenwahrscheinlichkeit 16/17. Ok, uns interessiert jetzt also hier die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt gegeben A ist schon eingetreten, also wir haben ja gesagt wir können das miteinander multiplizieren, 1/13×1/17. Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten entlang des Baumdiagramms multipliziert, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, also hier 1/13. Wir sehen das kürzt sich super weg, am Ende bleibt die Wahrscheinlichkeit 1/17 übrig. Also die Wahrscheinlichkeit, dass unsere 2. Karte ein Ass ist, gegeben unsere 1. Karte war schon ein Ass ist 1/17.

Gut, gucken wir weiter. Die Wahrscheinlichkeit unsere 2. Karte ist ein Ass, gegeben unsere 1. Karte war kein Ass. Aha, gucken wir also wieder, wir sind hier. Wir sind also bei 12/13, unsere 1. Karte war kein Ass, multipliziert mit unserer neuen Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt. Das ist eine unterschiedliche Wahrscheinlichkeit zu dem hier, denn wir haben ja immer noch 4 Asse drin, d.h. wir haben jetzt die Wahrscheinlichkeit 4/51, dass B eintritt. 4 Asse, 51 Karten noch drin und 47/51, dass B nicht eintritt. Wir multiplizieren also hier diesen Pfad entlang, A tritt nicht ein und B tritt ein für die Wahrscheinlichkeit, dass halt beide eintreten. Also 12/13×4/51÷12/13. Das Ganze ist also 4/51 oder ungefähr etwas weniger als 8%.

Gut, das sind also die ersten beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten. Wir können natürlich auch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass B nicht eintritt. Machen wir das doch einfach mal. Die Wahrscheinlichkeit B tritt nicht ein, also unsere 2. Karte ist kein Ass, gegeben unsere 1. Karte war ein Ass. Brauchen wir also erst einmal die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Karte ein Ass ist und die 2. Karte kein Ass. Wir multiplizieren also hier am Baumdiagramm entlang, also 1/13×16/17 und teilen das durch die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, also 1/13×16/17÷1/13 und bekommen das Ergebnis 16/17.

Und jetzt machen wir auch noch die letzte bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt, gegeben A ist auch nicht eingetreten, also dass wir 2 Karten ziehen und kein Ass dabei haben. Gucken wir also hier, A ist nicht eingetreten und B ist nicht eingetreten. Also 12/13×47/51 geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt 12/13 macht also 47/51.

Gut, das sind die 4 bedingten Wahrscheinlichkeiten, die wir bei diesem Beispiel errechnen können. Was fällt uns auf? Uns fällt auf, dass die beiden zusammen eins ergeben, 1/17 und 16/17 und die beiden, 4/51 und 47/51. Wir sehen also, immer die, die unter den gleichen Voraussetzungen starten, haben in der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten 1. Also die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt und die Gegenwahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt unter der gleichen Voraussetzung, A ist nicht eingetreten, ist zusammen 1. Genau so die Wahrscheinlichkeit B tritt ein plus die Gegenwahrscheinlichkeit B tritt nicht ein unter der gleichen Voraussetzung, dass A bereits eingetreten ist, ist auch 1. Also die Voraussetzungen müssen die Gleichen sein, damit sich das auf 1 aufaddiert. Z.b. wenn wir uns die beiden angucken, also das Gegenbeispiel, wenn unsere beiden Wahrscheinlichkeiten nach denen wir fragen die Gleichen sind, aber die Voraussetzungen unterschiedliche, sehen wir ganz deutlich, addiert es sich nicht auf 1.

So, das war die 1. Übung zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten, die, wo wir uns noch mit Laplace-Experimenten beschäftigt haben. Im nächsten Video machen wir es noch mal ein bisschen komplizierter und gehen von den Laplace-Experimenten weg. Das war es für heute, ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe ihr guckt auch beim nächsten Mal wieder rein und sage tschüss!

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    ja, echt gut.

    Von Jan Michael Witt, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    super erklärt, danke!:)

    Von Milch, vor mehr als 2 Jahren