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Transkript Statistik Video 57 - Wahrscheinlichkeitsräume

Guten Tag, Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute noch einmal bei einem Theorievideo zum Thema Wahrscheinlichkeitsräume. Gerade diejenigen von euch, die das Thema Statistik und Stochastik vielleicht etwas mehr von der mathematischen Seite angehen, werden die Definition für Wahrscheinlichkeitsräume dringend brauchen. Ein Wahrscheinlichkeitsraum, zuerst einmal gegeben durch eine Menge der Elementarereignisse Ω. Das kennen wir schon, das ist unser Ereignisraum, oder auch Ergebnisraum genannt, und diese Menge brauchen wir immer, wenn wir von einem Wahrscheinlichkeitsraum sprechen wollen. Also ein Raum, in dem wir Wahrscheinlichkeitsrechnungen durchführen können. Genau dafür ist diese Definition von Wahrscheinlichkeitsraum gedacht. Dann brauchen wir eine Menge ε. Wir gehen jetzt einmal in einem ersten, einfachen Fall davon aus, dass das die Potenzmenge von Ω ist. Das heißt, wir brauchen eine Menge ε, die alle möglichen Kombinationen von Ereignissen beschreibt, die eintreten können in unserem Ereignisraum Ω. Wir haben gesehen, die Potenzmenge von Ω ist die Kombination aller möglichen Ereignisse, die wir haben. Dann brauchen wir noch eine Funktion P, die ε auf den Raum 0-1 abbildet. Das heißt, wir brauchen im Prinzip eine Vorschrift, nach der die Wahrscheinlichkeiten zugewiesen oder berechnet werden. Wir haben unser ε, das sind alle Kombinationen aller möglichen Ereignisse, und jedem Element von ε soll eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden, die zwischen 0 und 1 liegt, nach dem ersten Axiom von Kolmogorow. Und das ist die Vorschrift, die die Wahrscheinlichkeiten zuweist. Des Weiteren soll noch gegeben sein, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse einfach die Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten sein soll, wenn die beiden disjunkt sind, also nach dem dritten Axiom von Kolmogorow, und die Wahrscheinlichkeit für Ω soll 1 sein. Auch das ein Axiom von Kolmogorow also im Prinzip Wahrscheinlichkeitsräume nach Definition, die Axiome von Kolmogorow benutzt, um damit mathematisch einen Raum zu beschreiben, in dem Wahrscheinlichkeiten berechnet und bestimmt werden können und indem man mit ihnen weiterarbeiten kann. Das ist eine sehr mathematische Definition, die aber unglaublich wichtig ist, wenn man mathematisch korrekt rechnen möchte.  Der Wahrscheinlichkeitsraum kann demnach also beschrieben werden als Tripel zwischen den drei Elementen Ω, also unseren Ereignisraum, den wir hier haben, ε, die Potenzmenge von Ω, und P, unserer Funktion, wie sie abgebildet werden soll. Gucken wir uns dich einfach ein kleines Beispiel an, dann wird das Ganze auch klarer. Wir nehmen als Beispiel jetzt einmal einen Münzwurf, also das Werfen mit einer Münze. Als Ω, als Ereignisraum, haben wir unsere beiden Elementarereignisse Kopf oder Zahl. Wenn ich eine Münze werfe, habe ich entweder als Ergebnis Kopf oder Zahl. Unser ε, in diesem Fall noch unsere Potenzmenge von Ω, ist 4 Elemente. Wir erinnern uns 2n Element hat immer die Potenzmenge, also 22=4 Elemente. Ein Element ist die leere Menge, die ist immer drin, dann haben wir unsere Elementarereignisse Kopf und Zahl und die Kombination daraus, Kopf und Zahl als Ereignis, im Prinzip Ω. Unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion P:ε->[0,1] sieht wie folgt aus. Die Wahrscheinlichkeit für die leere Menge, also dafür, dass wir weder Kopf noch Zahl als Ereignis bekommen, ist logischerweise 0. Die Wahrscheinlichkeit für Ω, also für unsere Elementarereignisse, also die Wahrscheinlichkeit, dass wir Kopf oder Zahl bekommen, logischerweise 1. Erstes Axiom von Kolmogorow: P(Ω) muss 1 sein. P(K), also die Wahrscheinlichkeit, dass wir Kopf bekommen, bei einer perfekten Münze, die auf beiden Seiten gleich häufig landet, muss ½ sein und die Wahrscheinlichkeit, dass wir Zahl bekommen, muss ebenfalls ½ sein. Hier hätten wir jetzt also unseren Wahrscheinlichkeitsraum definiert, für dieses Zufallsexperiment. So sähe das aus. Wir können die Potenzmenge, wie wir sie hier haben, als ε, nur bei endlich vielen möglichen Ergebnissen, also einem endlichen Ω, bestimmen. Bei abzählbar Unendlichen und über abzählbar Unendlichen können wir keine Potenzmenge bestimmen. Daher müssen wir da noch etwas definieren. Schauen wir uns also die Definition für einen Wahrscheinlichkeitsraum bei einem unendlichen Ω an.  Damit wir das Ganze mit unserem ε auch auf Versuche mit unendlichem Ω transferieren können, müssen wir noch ein paar Restriktionen einführen. Erst einmal: ε ist weiterhin ein System von Teilmengen. Das hatten wir gerade auch. Wir hatten die Potenzmenge, was ein Zusammenschluss von allen möglichen Teilmengen von Ω ist. Wir wollten jetzt die Einschränkung treffen, dass ε eine σ-Algebra ist, das heißt, wir müssen eine eigene Algebra, wie in der Ereignisalgebra zum Beispiel, die wir schon behandelt haben, aufstellen. Wenn ε eine σ-Algebra ist, dann können wir damit auch einen Wahrscheinlichkeitsraum definieren bei unendlichen Ω. Wenn es das nicht ist, können wir das nicht so definieren. Die Voraussetzung, dass unser ε eine σ-Algebra ist, ist also: Die leere Menge und ganz Ω müssen Element von ε sein. Das hatten wir auch gerade schon bei der Potenzmenge, da ist auch immer die leere Menge und Ω Element von ε. Die 2. Bedingung ist, wenn wir verschiedene Ereignisse haben, in unserem Fall E und F, und diese Element von ε sind, dann müssen auch der Schnitt, die Vereinigung und auch die Differenz von Ω, also Ω ohne E, Element von ε sein. Auch Ω ohne F. Das heißt, die Mengenoperationen, die wir daraus machen können, also der Schnitt von zwei Ereignissen, die beide in ε liegen, muss auch wiederum in ε liegen. Die Vereinigung von zwei Ereignissen, die beide in ε liegen, muss auch in ε liegen. Als 3. sind verschiedene Ereignisse, E1, E2 und so weiter, alle Element von ε, dann muss auch die Vereinigung davon Element von ε sein. Das ganze nennt man abzählbar unendliche Vereinigung. Denn wir haben hier ein unendliches Ω, in diesem Fall ein abzählbar unendliches Ω, und hieraus folgt im Prinzip - das wäre das Ganze für zwei Mengen -, dass das Ganze im abzählbar unendlichen Raum noch wahr sein muss. Das sind also die Bedingungen: Dass ε eine σ-Algebra ist. Wenn das so ist, dann können wir noch einmal ganz genau die Definition für Wahrscheinlichkeitsräume bei einem abzählbar unendlichen Ω aufschreiben. Jetzt noch einmal die mathematisch korrekte Definition bei einem Wahrscheinlichkeitsraum bei abzählbar unendlichem Ω. Wir haben gesagt, der Wahrscheinlichkeitsraum wird gegeben durch dieses Tripel Ω,ε,P. Das sind die Sachen, die wir brauchen.  Ein Wahrscheinlichkeitsraum wird gegeben durch eine Menge Ω, also unseren Ereignisraum, dann eine σ-Algebra ε, die auf Ω angewendet wird, wie wir es gerade hatten. Wenn wir einfach nicht mehr die Potenzmenge bilden können, weil wir ein abzählbar unendliches Ω haben, dann müssen wir uns eine σ-Algebra definieren, die dann auf Ω angewendet werden kann, um weiterhin mit ε unsere Wahrscheinlichkeitsräume definieren zu können. Als Drittes brauchen wir noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, dass, wie wir vorhin schon gesagt haben, unsere Elemente von ε auf dem Raum zwischen 0 und 1 abbildet. Also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn man so will. Dafür soll gelten, die Wahrscheinlichkeit für Ω soll 1 sein, das ist soweit logisch. Dann muss die Additivitätsbedingung, das 3. Axiom von Kolmogorow, gelten: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung verschiedener Ereignisse soll die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sein, wenn die Ereignisse paarweise disjunkt sind.  Ihr habt in diesem Video gesehen, dass man die Axiome von Kolmogorow tatsächlich braucht, wenn man so etwas mathematisch korrekt definieren will. Das war jetzt ein sehr theoretisches Video, ich hoffe, es hat euch trotzdem beim Verständnis etwas geholfen. Gerade diejenigen von euch, die das Ganze etwas mathematische angehen, werden so etwas noch brauchen. Im nächsten Video behandeln wir dann tatsächlich einmal Wahrscheinlichkeiten, und zwar bedingte Wahrscheinlichkeiten. Dann gibt es auch wieder Übungen und wir kommen langsam wieder in die Praxis. Ich hoffe, euch hat das Video, obwohl es so theoretisch war, trotzdem gefallen. Ich freue mich auf das nächste Mal und sage: Tschüss.                                                                                                                                                           

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1 Kommentar
  1. Default

    P(K,Z) zu schreiben und damit P(Omega) zu meinen, scheint mir - in Abbildung auf die vorausgegangenen Videos doch einigermaßen unklug. Vielleicht besser so: P({K,Z}). Ansonsten gutes Video!

    Von Jan Michael Witt, vor etwa 2 Jahren