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Transkript Statistik Video 56: Laplace Versuche

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder da seid. Wir sind heute bei unserem 2. Video zum Begriff der Wahrscheinlichkeit. Nachdem wir im letzten Video festgestellt haben, dass es mehrere mögliche Auffassungen von Wahrscheinlichkeit gibt, die subjektivistische und die objektivistische, die beiden mit denen wir uns beschäftigt haben, wollen wir uns heute angucken, wie denn bei den verschiedenen Auffassungen die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird. Fangen wir mal an mit der objektivistischen Auffassung der Wahrscheinlichkeit. Bei der objektivistischen Auffassung wird die Wahrscheinlichkeit im Prinzip aus den relativen Häufigkeiten bestimmt. Das heißt, ich mache ein Experiment, sagen wir, ich würfele mit einem Würfel und möchte gucken, welche Wahrscheinlichkeit ich habe eine 6 zu würfeln. Dann versuche ich dieses Experiment möglichst oft zu wiederholen, lim n->unendlich, und das, was dann als relative Häufigkeit für mein Ereignis A, also das Würfeln einer 6, heraus kommt, das nehme ich als Wahrscheinlichkeit für A an. Das Ganze ist also long run, das heißt, man muss sehr viele Wiederholungen haben, um wirklich ein gutes Ergebnis zu erzielen und es ist eine a-postoriori Wahrscheinlichkeit, das heißt, aus bereits vorhandenem Wissen versuche ich eine Wahrscheinlichkeit zu erstellen. A-postoriori bedeutet immer aus bereits vorhandenem Wissen oder aus der Vergangenheit heraus versuche ich das zu bestimmen. Also in der objektivistischen Sichtweise nimmt man ein Experiment, wiederholt das möglichst oft und guckt dann nach der relativen Häufigkeit und nimmt einfach bei einer genügend großen Anzahl von Wiederholung an, dass das auch tatsächlich die Wahrscheinlichkeit sein wird. Bei der subjektivistischen Sichtweise haben wir ja beim letzten Mal schon gesagt, das bezieht sich komplett auf Expertenwissen. Das heißt, ein Experte sammelt einfach alle möglichen Fakten, die er zu dem Thema kriegen kann und bewertet die irgendwie und kommt dann mit einer eigenen Wahrscheinlichkeit raus. Unterschied beim subjektivistischen zum objektivistischen ist ja, dass hier Einzelfälle betrachtet werden, also Sachen, die nicht wiederholt werden können, z.B. sagen wir, einen Vulkanausbruch. Da würde dann der Vulkanexperte z.B. gucken ok, wann war der letzte Ausbruch, wie viel Aktivität hat er und dann mit einer eigenen Wahrscheinlichkeit kommen. Das geht alles über Expertenwissen. Es gibt aber auch noch eine 3. Möglichkeit, das ist die klassische Wahrscheinlichkeit nach Laplace. Damit werden wir uns heute noch sehr genau beschäftigen, wie ihr auch hier an der Überschrift seht, das Ganze wird überschrieben mit Laplace-Versuchen, also damit beschäftigen wir uns noch. Bei der klassischen Wahrscheinlichkeit haben wir die Voraussetzung, dass unser Ω endlich sein muss, also unser Ergebnisraum muss endlich sein und nicht überabzählbar unendlich zum Beispiel und dann geht man davon aus, dass jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit bekommt. Was genau das bedeutet und welcher Sinn dahinter steckt, das gucken wir uns jetzt einfach mal an. Ok, was ist ein Laplace-Experiment? Also ein Laplace-Experiment geht erst einmal davon aus, dass wir endlich viele Elementarereignisse Ω haben. Wir sagen jetzt einfach mal, wir haben n verschiedene Elementarereignisse. Wir haben also einen Ereignisraum Ω, der endlich ist, das ist wichtig und dann definiert das Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit so, dass alle Elementarereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Klassische Beispiele für ein Laplace-Experiment sind zum Beispiel ein Würfelwurf mit einem perfekten Würfel. Wenn ich mit einem perfekten 6-seitigen Würfel würfele, gehe ich davon aus, dass alle 6 Seiten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben aufzutreten. Oder auch das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel, so etwas wäre dann ein typisches Beispiel für ein Laplace-Experiment, wo einfach davon ausgegangen wird, dass alle Ereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Ich führe hier jetzt einmal eine neue Begrifflichkeit ein, die so genannte Mächtigkeit. Die Mächtigkeit einer Menge zeigt an, wie viele Elemente sie hat. Ω ist ja unser Ereignisraum, das heißt, hier stecken alle unsere Elementarereignisse ω drin und da wir gesagt haben, wir haben n Elementarereignisse ω ist die Mächtigkeit von Ω=n. Alle Elementarereignisse sollen jetzt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Dann ist also unsere Wahrscheinlichkeit P (die Wahrscheinlichkeit wird immer mit P bezeichnet, P für probability im Englischen), dass eines unserer Elementarereignisse realisiert wird, 1/n. Jedes hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, es gibt insgesamt n Stück. Das heißt, wenn wir einen 6-seitigen Würfel haben, haben wir 6 Elementarereignisse die auftreten können und dann hat jedes die Wahrscheinlichkeit 1/6. Das ist erst mal die Theorie zum Laplace-Versuch und diesen Teil, die Wahrscheinlichkeit 1/n gucken wir uns jetzt noch mal als Beweis über das 3. Axiom von Kolmogorow an, damit ihr auch mal seht, warum diese Axiome von Kolmogorow so wichtig sind. Ok, wir wollen also den Beweis führen über das 3. Axiom von Kolmogorow. Wir erinnern uns, das 3. Axiom war das über die Additivität, das heißt, wenn wir die Wahrscheinlichkeit haben wollen von der Vereinigung verschiedener Ereignisse, dann können wir einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignisse aufeinander addieren, gegeben dem Fall, dass alle Ereignisse paarweise disjunkt sind, also das sagt das hier aus: Ai geschnitten Aj ist die leere Menge, das heißt, 2 beliebige Ereignisse haben keine Schnittmenge, solange gilt i≠j, also solange wir nicht zweimal das gleiche Ereignis betrachten, ist ja klar. So, wir wollen jetzt also dieses hier beweisen. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis nach Laplace ist 1/n. Gegeben haben wir die Mächtigkeit von Ω, die ist n. Das heißt, wir haben n Elementarereignisse. Die Elementarereignisse bezeichnen wir jetzt alle mit E, das heißt, wir haben die Ereignisse E1, E2, E3 bis En. Des Weiteren gilt, unser  Ω, unser Ereignisraum, ist die Vereinigung aller unserer Elementarereignisse. Klar, wenn wir n Elementarereignisse in Ω haben, ist die Vereinigung dieser Elementarereignisse wieder unser Ereignisraum Ω. Und des Weiteren gilt, Ei geschnitten Ej ist die leere Menge für i≠j, also genau die Bedingung, die wir auch hier im 3. Axiom von Kolmogorow drin hatten, da es ja Elementarereignisse sind. Machen wir uns das mal klar, beim Würfelwurf ist ein Elementarereigni:s ich werfe eine 1. Ein Elementarereignis ist: ich werfe eine 2. Und die haben keine gemeinsame Schnittmenge, denn ich werfe entweder eine 1 oder eine 2. Ich werfe niemals beides gleichzeitig. Das ist also auch erfüllt, also haben wir die Bedingung für das 3. Axiom von Kolmogorow im Prinzip erfüllt und jetzt können wir ja sagen: Ok, dann gilt die Regel der Additivität. Das heißt, wir können sagen die Wahrscheinlichkeit für Ω ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, also P1, P von E1, von unserem 1. Elementarereignis + die Wahrscheinlichkeit unseres 2. Elementarereignisses bis zur Wahrscheinlichkeit unseres letzten Elementarereignisses und das muss 1 sein, denn die Wahrscheinlichkeit für unseren Ereignisraum ist immer 1, auch nach einem Axiom von Kolmogorow. Nun wissen wir außerdem, dass alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse gleich sein müssen. Das heißt, wir können sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass unser 1. Elementarereignis eintritt ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass unser 2. Elementarereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass unser n-tes Elementarereignis eintritt und das bezeichnen wir mit P. Also das hier ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Elementarereignisses. Wenn wir jetzt also die beiden Zeilen zusammenfügen, dann kommen wir darauf, dass wir hier raus haben 1=n×P, denn wir haben ja hier n Elementarereignisse, die zusammen 1 ergeben und alle haben die Wahrscheinlichkeit P und wenn wir das jetzt umstellen, kommen wir auf P=1/n. Das heißt, die Annahme nach Laplace, dass alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, konnten wir jetzt mit dem 3. Axiom von Kolmogorow zeigen, dass bei dieser Annahme alle die Wahrscheinlichkeit 1/n haben, wenn unser Ω die Mächtigkeit n hat. Natürlich kann man das auch nicht nur bei Elementarereignissen machen. Wir können uns auch die Wahrscheinlichkeit nach Laplace angucken, wenn wir vorher Ereignisse definieren. Wir gucken uns jetzt also Ereignisse an. Bei Laplace-Versuchen werden Ereignisse immer als Kombination von Elementarereignissen definiert, das heißt, wir haben unser Ereignis A und das hat die Mächtigkeit m, das heißt, es besteht aus m Elementarereignissen. Weiterhin haben wir natürlich die Mächtigkeit von unserem Ω als n, als n Elementarereignisse, die insgesamt auftreten. Wenn wir das haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, nichts anderes, als die Mächtigkeit von A geteilt durch die Mächtigkeit von Ω. Das heißt im Prinzip, Ereignisse, die für uns günstig sind geteilt durch alle Ereignisse. Denn n sind ja alle Elementereignisse und m sind nur die Elementereignisse, die uns interessieren. Also Mächtigkeit A durch Mächtigkeit Ω oder auch m/n. Also für uns günstige Fälle geteilt durch alle Fälle, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Ereignis eintritt. Ein kurzes Beispiel dazu: Wir werfen mal wieder einen Würfel, aber dieses mal nicht einen 6-seitigen, sondern einen 4-seitigen. Wir haben also hier unseren Ereignisraum Ω und der besteht aus den 4 Elementarereignissen 1, 2, 3 und 4, die Zahlen, die man mit einem 4-seitigen Würfel würfeln kann, und wir interessieren uns für unser Ereignis A, dass wir eine gerade Augenzahl bekommen, also die 2 oder die 4. Gut, gucken wir uns doch mal die Mächtigkeiten an, also Mächtigkeit A ist in diesem Fall offensichtlich 2, denn A besteht aus 2 Elementen und die Mächtigkeit Ω ist in diesem Fall 4, denn Omega besteht aus 4 Elementen. Dann ist also die Wahrscheinlichkeit, dass unser Ereignis A eintritt, also P(A)=2/4 oder auch ½. Ja, das war auch schon die Theorie für Laplace-Versuche, so einfach ist das. Alles hat die gleiche Wahrscheinlichkeit und deshalb kann man mit Laplace-Versuchen auch so schön und simpel berechnen. Das war es schon für heute. Ich bedanke mich fürs Zuschauen. Beim nächsten Mal gibt es mal wieder ein Theorievideo, was sehr wichtig ist. Ich freue mich aufs nächste Mal und tschüss!

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1 Kommentar
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    Die Videos dieses Themas sind schlecht. Ständiges stocken, kein Ton, oder brechen ab.

    Von Nicole Boeni, vor mehr als 2 Jahren