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Transkript Statistik Video 46: Kombinatorik Übung I

Guten Tag. Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei der Übung zur Kombinatorik, und zwar wollen wir die Permutation üben, die Variation und die Kombination, jeweils mit und ohne Wiederholung, und wir gucken uns einfach die Aufgaben an und entscheiden dann, wie wir dieses Problem lösen: Ob es ein Anordnungsproblem ist, ob es ein Auswahlproblem ist, ob die Reihenfolge interessant ist, ob es mit oder ohne Wiederholung ist, und so weiter. Gucken wir uns die erste Aufgabe an. Wir haben unser Fach Statistik und wir haben 4 Statistiktutoren. Die wollen Tutorien anbieten an 4 Tagen, Montag bis Donnerstag. Freitag ist bei unserem Statistiklehrstuhl immer frei. Montag bis Donnerstag werden die jetzt also ihre Tutorien machen. Frage a: Wie viele Möglichkeiten gibt es, unsere 4 Tutoren auf unsere 4 Tage zu verteilen? Erst einmal ist es Anordnungs- oder ein Auswahlproblem? Wir verteilen 4 Leute auf 4 Tage, also ist es ein Anordnungsproblem. Wir wählen nicht aus 4 Leuten 2 aus oder so. Nein, wir haben ein Anordnungsproblem. Okay, was sagt uns das? Das sagt diese "Reihenfolge wichtig?" Frage können wir schon mal streichen. Das interessiert uns nicht. Wir sind auf jeden Fall in der Permutation und da gibt es nur die Unterscheidung mit oder ohne Wiederholung. Haben wir eine Wiederholung hier drin, ja oder nein? Wir haben keine Wiederholung hier drin, weil jeder Tutor wirklich nur einen Tag arbeiten soll. Es soll nicht einer die ganze Woche machen und 3 machen einen faulen Lenz. Nein, jeder Tutor soll jeden Tag arbeiten. Wir haben also eine Permutation von 4, und wenn wir uns mal daran erinnern, unsere Permutationen waren ja immer n!, also haben wir 4! Möglichkeiten. Wir haben ja für den Montag, um das jetzt noch mal aufzuschreiben, man kann das sich ja so verdeutlichen ... Wir haben Montag, Dienstag, Mittwoch und Donnerstag. Am Montag haben wir noch 4 Möglichkeiten. Dann am Dienstag haben wir nur noch 3, weil ja einer der Tutoren schon am Montag gearbeitet hat. Der darf am Dienstag nicht mehr. Am Mittwoch nur noch 2 und am Donnerstag nur noch einen. Also 4×3×2×1, also 4!. Und 4! sind 24 Möglichkeiten. Okay, Aufgabe a gelöst. Aufgabe b: Nun springt einer unserer Tutoren ab, das heißt, wir haben jetzt nur noch 3 Tutoren. Ich mache mal einen Stern dahin, damit ihr wisst: Aha, das hat sich geändert, das ist jetzt bei b. So, wir haben 3 Tutoren, sagen wir mal, wir haben Jan, Klaus und Stefanie. Jan macht jetzt an 2 Tagen Tutorien, Klaus und Stefanie machen weiterhin an nur einem Tag. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt? Gucken wir uns das noch mal an. Wir sind weiterhin in der Permutation, das heißt, diese Frage können wir uns schenken. Haben wir jetzt eine Wiederholung? Ja, jetzt haben wir eine Wiederholung, weil ja Jan an 2 Tagen unser Tutorium leitet, und deshalb haben wir hier auch eine Wiederholung. Gut. Wir erinnern uns an die Formel Pw ist abhängig von n und p und q und so vielen Variablen, wie man braucht. Das war n!/(p!×q!×...). Okay, was haben wir hier jetzt also? Wir haben Permutationen mit Wiederholung. Wir haben insgesamt 4 Tage, auf die wir das verteilen wollen und wir haben unser P, also unsere Wiederholung. Das ist jetzt Jan. Jan macht an 2 Tagen das. Also haben wir 4!/2!. Das macht also 24/2 und das macht also 12 verschiedene Möglichkeiten, wie wir das jetzt aufteilen können.  Dann machen wir noch Aufgabenteil c. Gucken wir uns also an, was könnte man jetzt noch sagen? Jan sagt: Okay, gut, ich mache 2 Tutorien, aber ich will bitte nicht an aufeinanderfolgenden Tagen 2 Tutorien machen. Also ich will nicht Montag und Dienstag machen, sondern, wenn ich Montag mache, will ich frühestens Mittwoch wieder arbeiten. Einen Tag dazwischen brauch ich frei. Da muss ich lernen oder Fußball gucken, oder was auch immer. So, wir haben also wieder eine Permutation mit Wiederholung, aber aus diesen 12 möglichen Verteilungen müssen wir jetzt noch ein paar rausrechnen. Wir haben im Prinzip erst einmal wieder unsere 12 Verteilungen. Das sind ja die möglichen Verteilungen, wie wir unsere Tutoren so verteilen, dass Jan an 2 Tagen ein Tutorium hält und Klaus und Stefanie an jeweils einem Tag. Da müssen wir jetzt noch welche rausrechnen. Und zwar müssen wir gucken, wie viele Möglichkeiten gibt es denn, dass Jan an aufeinanderfolgenden Tagen arbeitet? Er könnte Montag und Dienstag arbeiten, das ist eine Möglichkeit. Er könnte Dienstag und Mittwoch arbeiten, das ist die 2. Möglichkeit, und er könnte Mittwoch und Donnerstag arbeiten, das ist die 3. Möglichkeit. Das heißt, innerhalb dieser 4 Tage gibt es 3 mögliche Szenarien, wo er an aufeinanderfolgenden Tagen arbeitet, also minus 3 Szenarien. Und für jedes dieser Szenarien haben die anderen beiden 2! Möglichkeiten, sich zu verteilen, und die müssen wir da alle rausrechnen. Was also bleibt, ist 12-3×2!, also 6 Möglichkeiten. Das heißt, wenn wir 3 Tutoren auf 4 Tage verteilen, Jan arbeitet an 2 Tagen, wenn er aber nicht an aufeinanderfolgenden Tagen arbeiten möchte, dann haben wir insgesamt nur noch 6 Möglichkeiten, wie wir unsere Woche dann planen können. Gut, das war das erste Beispiel, das war die Permutation. Machen wir also mit etwas anderem weiter. Kommen wir also zur nächsten Aufgabe. Wir haben 2 Urnen und in jeder Urne sind Kugeln drin. Die Kugeln sind durchnummeriert von 1-7. Uns interessieren jetzt einige Möglichkeiten. Also, die Möglichkeit a. Erst einmal - habe ich vergessen zu erwähnen - wir ziehen aus jeder Urne 2-mal. Also wir haben ja hier n=7 verschiedene Kugeln und r=2 Züge pro Urne. Die Frage: Ist die Reihenfolge unserer Kugeln wichtig? Also, interessiert es mich, ob ich erst die 1 ziehe und dann die 2 oder erst die 2 und dann die 1? Nein, in diesem Fall interessiert es mich nicht. Haben wir eine Wiederholung, also ziehen wir mit Zurücklegen? Nein, das tun wir auch nicht. Wenn ich hier die 1 rausgezogen habe und das 2. Mal ziehe, kann ich die 1 nicht noch einmal ziehen. Also haben wir auch keine Wiederholung, das heißt, wir sind  in der Kombination ohne Wiederholung. Uns interessiert jetzt bei a: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Zahlenpaare zu ziehen? Das heißt, ich ziehe aus meiner ersten Urne 2 Kugeln und ich möchte dann aus meiner 2. Urne möglichst die gleichen Kugeln ziehen. Also, wenn ich hier die 5 und die 7 gezogen habe, möchte ich hier auch die 5 und die 7 ziehen. Wie viele Möglichkeiten insgesamt gibt es? Gucken wir uns erst einmal an, wie viele Möglichkeiten für die 1. Urne gibt es überhaupt, 2 Zahlen zu ziehen, 2 Kugeln zu ziehen? Also haben wir hier die Kombination aus 7 und 2. Und wir erinnern uns: Das war 7 über 2, oder auch 7!/(2!×5!), oder auch 21. Also, es gibt 21 verschiedene Möglichkeiten, 2 Zahlen hier rauszuziehen. Also verschiedene Kombinationen: Die 1 und die 2, die 1 und die 3, die 1 und die 4, und so weiter, insgesamt 21 verschiedene. Jetzt möchten wir aber nicht irgendwelche aus der 1. Urne ziehen, sondern wir möchten Zahlenpaare ziehen. Jetzt ist die Überlegung: Wenn wir eine von diesen 21 Kombinationen aus der 1. Urne gezogen haben, wie viele Möglichkeiten unseres Ergebnisses haben wir dann noch in der 2. Urne, wenn wir ein Zahlenpaar haben möchten? Also, wir können ja mal gucken. Wir kriegen ja auf jeden Fall wieder 2 Kugeln raus. Ich mache mal hier eine 2 dran für die 2.Urne und für die 1.Urne hier die 1. Wir ziehen aus 7 Kugeln 2 raus. 21 verschiedene Möglichkeiten. Hier ziehen wir auch 2. Wie viele haben wir denn zur Auswahl? Natürlich haben wir wieder 7 zur Auswahl, aber wenn wir Zahlenpaare haben wollen, haben wir im Prinzip nur 2, die uns interessieren. Also, wenn ich aus der 1. Urne, sagen wir mal, als Möglichkeit, die 1 und die 5 gezogen habe und mich jetzt interessiert, wie viele Möglichkeiten an Zahlenpaaren wir haben, dann kann ich ja hier - im Prinzip ist es ja nur ein "gutes Ergebnis" für mich, wenn ich hier auch die 1 und die 5 ziehe. Also haben wir hier 2 über 2, also insgesamt nur eine Möglichkeit. Das Ergebnis unserer 1. Urne diktiert genau, welches Ergebnis wir in der 2. Urne erzielen müssen, um wirklich 2 Zahlenpaare zu ziehen. Unser Gesamtergebnis ist dann also (7 über 2)×(2 über 2)=21. Das hier ist unser Gesamtergebnis. Okay, machen wir weiter mit Aufgabe b: Jetzt machen wir das genaue Gegenteil: Wir wollen jetzt nicht 2 Zahlenpaare ziehen, sondern wir wollen jetzt 4 unterschiedliche Zahlen ziehen. Ich kürze das mal ein bisschen ab. 4 unterschiedliche. Und auch hier - bei der 1. Urne haben wir überhaupt keine Einschränkungen - können wir wieder 2 aus 7 ziehen, also 7 über 2, also 21. Jetzt ist natürlich das Interessante, wie viele Möglichkeiten haben wir bei unserer 2. Urne? Wir wissen ja, wir wollen 4 unterschiedliche Zahlen ziehen. 2 davon haben wir aus der Ersten gezogen. Das heißt, aus der 2. Urne dürfen wir die beiden jetzt nicht mehr rausziehen, sonst kommen wir nicht zu unseren 4 unterschiedlichen. Das heißt, für unsere 2. Urne haben wir jetzt im Prinzip nur noch 5 Kugeln, die wir ziehen dürfen, und daraus ziehen wir 2 raus. Wir haben also 5 über 2, oder auch 5!/(3!×2!), 10 verschiedene Möglichkeiten. Die 5 Kugeln, die wir aus der 1. Urne nicht rausgezogen haben, aus denen ziehen wir jetzt aus der 2. Urne noch mal 2 raus. Das sind 10 unterschiedliche Möglichkeiten. Gesamtergebnis - auch hier das Ganze multipliziert: (7 über 2)×(5 über 2) macht also 210 Möglichkeiten. 210 verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus den beiden Urnen 4 unterschiedliche Zahlen herauszuziehen. Okay, das waren Aufgaben a und b. Jetzt wird es tricky. Bei Teilaufgabe c wollen wir jetzt genau 1 Zahlenpaar haben. Gerade hatten wir ja schon die Möglichkeiten, wir wollen 2 Zahlenpaare haben und wir wollen gar kein Zahlenpaar haben. Jetzt wollen wir 1 Zahlenpaar haben. So, das wir jetzt ein bisschen komplizierter. Wir können jetzt nicht einfach sagen, wir ziehen hier aus der Ersten genau das Ergebnis und dann aus der Zweiten das raus. Das wird jetzt ein bisschen schwieriger. Wir machen es jetzt also andersrum. Wir sagen, ein Zahlenpaar ist unser günstiges Ergebnis. Wir nehmen also alle möglichen Ergebnisse zuerst einmal, also wir ziehen aus Urne 1 2 beliebige raus, aus Urne 2 ziehen wir auch 2 beliebige raus. Das sind alle möglichen Kombinationen, die wir haben. Da stecken jetzt aber auch die Möglichkeiten für kein Zahlenpaar mit drin, und für zwei Zahlenpaare mit drinnen. Dann ziehen wir jetzt nämlich genau das ab. Wir nehmen alle Möglichkeiten und ziehen alles das, was wir nicht haben wollen, ab. Das sind alle Möglichkeiten. Was wir nicht haben wollen, ist kein Zahlenpaar und was wir noch nicht haben wollen, sind 2 Zahlenpaare. Das hatten wir ja gerade schon aufgeschrieben. Also, (7 über 2)×(2 über 2) ziehen wir ab, also das für 2 Zahlenpaare. Ich schreibe es mal dazu: 2 Zahlenpaare. Was wir noch abziehen, ist (7 über 2)×(5 über 2), also kein Zahlenpaar. Wenn wir dann alle Möglichkeiten nehmen, alle eliminieren, die uns nicht interessieren, haben wir genau nur noch das, was uns interessiert. Wir haben hier also (7 über 2)×(7 über 2), also 212. 7 über 2 waren 21, wenn wir uns erinnern. (7 über 2)×(7 über 2)-(7 über 2)×(2 über 2)-(7 über 2)×(5 über2)=212-21-210. Und das ist 210. Also, es gibt insgesamt 210 Möglichkeiten, dass wir genau ein Zahlenpaar haben. Das war jetzt noch mal ein Beispiel zur Kombination. Wir machen ja, wie schon angekündigt, noch ein zweites Übungsvideo. Da wird dann auch die Variation noch mal mit vorkommen. Ich bedanke mich fürs Zuschauen und sage: viel Spaß noch und tschüss!

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Felix

    @Fnanmebrahtu: Die Aufgabe lautet: Wir ziehen aus zwei Urnen Kugeln, die jeweils mit 1-7 durchnummeriert sind. Dabei entnehmen wir zunächst zwei Kugeln aus Urne 1 und dann zwei Kugeln aus Urne 2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass alle Kugeln voneinander verschieden sind? Aus der ersten Urne können wir 2 aus 7 ohne Zurücklegen ziehen. Das sind 7 über 2 gleich 21 Möglichkeiten. Damit die Kugeln alle voneinander verschieden sind, dürfen wir aus Urne 2 nicht die Kugelnummer ziehen, die wir bereits aus Urne 1 gezogen. Damit dürfen nur 2 aus 5 Kugeln gleich 10 Möglichkeiten auswählen. Das sind insgesamt 21*10=210 Möglichkeiten.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Warum kann man in der ersten Urne zwei aus 7 ziehen und aus der zweiten nur zwei aus 5??

    Von Fnanmebrahtu, vor etwa einem Jahr