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Transkript Statistik Video 44: Variation mit und ohne Wiederholung

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Nachdem wir uns ja im letzten Video mit den Anordnungsproblemen der Kombinatorik beschäftigt haben, gehen wir heute einen Schritt weiter und betrachten die Auswahlprobleme. Die Auswahlprobleme gibt es in 2 Arten. Es gibt die Variation und die Kombination. Man muss immer gucken, wenn man ein Kombinatorikproblem hat, ist immer die 1. Frage, haben wir ein Anordnungsproblem oder ein Auswahlproblem? Wenn man dann zu Schluss kommt, dass man ein Auswahlproblem hat, muss man sich noch 2 weitere Fragen stellen. Zum einen ist für die Lösung meines Problems die Reihenfolge wichtig und wird mit Wiederholung gezogen oder ohne? Mit Wiederholung, das heißt auch manchmal mit Zurücklegen. Man stelle sich eine Urne vor, in der sind Bälle, da sind entweder Zahlen darauf oder sie sind farbig oder wie auch immer. Es gibt jetzt 2 Möglichkeiten, entweder man zieht einen Ball, guckt sich das Ergebnis an und legt ihn wieder zurück. D. h. wenn ich in dieser Urne 5 Bälle habe, dann ziehe ich einen Ball raus, der ist meinetwegen rot, tue ihn wieder zurück und ziehe dann wieder aus diesen 5 Bällen. Das wäre mit Zurücklegen oder mit Wiederholung. Man könnte aber auch aus diesen 5 Bällen einen ziehen und sagen, okay, der ist rot und legt ihn zur Seite, zieht weiter, hat jetzt aber nur noch 4 Bälle zur Verfügung. Das wäre ohne Zurücklegen oder ohne Wiederholung. Das sind immer die Fragen, die wir uns stellen müssen. Wenn wir jetzt unsere Frage "Reihenfolge wichtig?" beantworten mit "ja", ja bei unserem Problem ist die Reihenfolge wichtig, dann sind wir in der Variation. Bei der Variation ist die Reihenfolge wichtig. Ergo, im Umkehrschluss ist bei der Kombination die Reihenfolge unwichtig. Mit oder ohne Wiederholung. Das ist so eine Sache bei Variation und Kombination, es gibt nämlich jeweils 2 Formen: Variation mit Wiederholung, Variation ohne Wiederholung. Und bei der Kombination das Gleiche, auch da gibt es eine Kombination mit Wiederholung und eine Kombination ohne Wiederholung. Wir gucken uns in diesem Video jetzt erst einmal die Variation an, um dann im nächsten Video natürlich noch die Kombination zu machen. Und dann machen wir 2 Übungsvideos, wo wir einfach mal uns Aufgaben überlegen und gucken, mit welcher Art wir die denn lösen können. Fangen wir also mit der Variation an. Gucken wir uns also das 1. Beispiel an. Wir haben 10 verschiedene Läufer und sagen, die machen jetzt mal einen Hundertmeterlauf. Uns interessiert, wie viele Möglichkeiten gibt es, wie die Plätze 1 bis 3 belegt werden können. Also bein Anordnungsproblem im letzten Video, hätten wir uns angeguckt, wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt, wie sich diese 10 Läufer auf alle Plätze verteilen können, zur Erinnerung 10!. Und jetzt interessieren uns aber nur die ersten 3 Plätze, deshalb ein Auswahlproblem, wir wählen 3 Plätze aus, die uns interessieren und der Rest interessiert uns nicht. Ist die Reihenfolge wichtig? Ja, die Reihenfolge ist sehr wichtig. Für einen Läufer ist es ja ein Unterschied, ob er 1. geworden ist oder 2. oder 3. Also, ein klares Ja. Haben wir eine Wiederholung drin? D. h. wenn jetzt Läufer Andreas 1. geworden ist, kann er dann gleichzeitig 2. und 3. werden? Kann er natürlich nicht, jeder Läufer kann nur einen Platz belegen, also haben wir keine Wiederholung. Was heißt das denn jetzt? Wie viele Möglichkeiten haben wir für jeden Platz? Für den 1. Platz haben wir 10 verschiedene Möglichkeiten. 10 Läufer laufen los, und jeder von ihnen könnte 1. werden. Für den 2. Platz, wie viele Möglichkeiten haben wir da? Wir hatten am Anfang 10 Läufer, einer von ihnen ist 1. geworden, der kann nicht mehr 2. werden, also haben wir hier nur noch 9 verschiedene Möglichkeiten, wie der 2. Platz belegt werden kann. Beim 3. Platz dann das Gleiche, wir haben hier nur noch 8 verschiedene Möglichkeiten, weil der 1. kann nicht mehr 3. werden, der 2. kann auch nicht mehr 3. werden. Alle anderen, die bisher noch nicht im Ziel sind, können noch 3. werden, also 8 verschiedene Möglichkeiten.  Wir haben also die Variation aus 10 verschiedenen Läufern und uns interessieren 3 Plätze, so schreibt man das auf, ist also 10×9×8=720. 720 verschiedene Möglichkeiten gibt es, die ersten 3 Plätze zu belegen. Wie können wir das verallgemeinern? Wir machen eine Variation mit n Läufern oder n Plätzen oder n Zügen, was auch immer und daraus interessiert uns r, r interessiert uns. Nun gucken wir erst mal an, wie viele Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, alle zu verteilen? Also unsere 10 Läufer auf die 10 Plätze zu verteilen. Also ein klassisches Anordnungsproblem hatten wir ja n-Fakultät. Und n! sind jetzt aber viel zu viele Möglichkeiten, das sind ja unsere Möglichkeiten, unsere 10 Läufer auf unsere 10 Plätze zu verteilen. Uns interessieren im Prinzip, aber nur die ersten 3 Plätze. D. h. wir teilen durch (n-r)!. Wenn man sich das jetzt mal in unserem Beispiel anguckt, wir hatten hier 10×9×8. Wir schreiben das also jetzt noch mal nach dieser Formel auf. Wir haben also 10!/(10-3)!. (10-3)!=7!. Wir wissen ja 10! bedeutet 10×9×8×7×6 bis runter zur 1. 7!, was hier unten steht, bedeutet 7×6×5 bis runter zur 1. D. h. was wir im Prinzip haben, ist, dass sich hier alle Teile ab der 7 komplett wegkürzen. D. h. hier steht am Ende dann tatsächlich 10×9×8, also wieder unsere 720 Möglichkeiten. So kommt diese Formel zustande: Variation ohne Wiederholung, aus n-Elementen wollen wir die Möglichkeiten für r wissen. Das ist dann n!/(n-r)!. Das war die Variation ohne Wiederholung, gucken wir uns doch mal an, wie die Variation mit Wiederholung aussieht. Schauen wir uns also das 2. Beispiel an. Wir haben eine Schulklasse und in der Schulklasse soll jetzt der Tafeldienst ausgelost werden. Und zwar für die nächste Woche, also für die nächsten 5 Tage. Es gibt 10 Schüler. 1. Frage, die wir uns immer stellen müssen, nachdem wir rausgefunden haben, das ist ja ein Auswahlproblem, wir wählen 5 aus 10 heraus, also Auswahlproblem, ist die Reihenfolge wichtig? Natürlich ist jetzt die Reihenfolge wichtig, jeder muss ja wissen, wann er seinen Tafeldienst zu verrichten hat und nicht irgendwann. Also muss es eine klare  Zuordnung geben, einer macht das am Montag, einer macht das am Dienstag, einer macht es am Mittwoch. Nächste Frage: Haben wir eine Wiederholung? Könnte man jetzt sagen "Nein", denn, wenn Timi Montag Tafeldienst hatte, kann er die restliche Woche nicht mehr Tafeldienst machen. So sagt das die Lehrerin aber nicht, sie sagt: "Ja, wir haben Wiederholung". Es könnte theoretisch passieren, dass ein Schüler 5-mal in der Woche Tafeldienst macht, hat er halt Pech gehabt. Zufall. Also, Variation mit Wiederholung. Variation, weil die Reihenfolge wichtig ist, und wir haben eine Wiederholung. Wir suchen wieder n und r. Wir haben hier 3 Zahlen, die möglich wären. Unser n, aus wie vielen Elementen wird ausgewählt, natürlich aus 10 Schülern. Und unser r? Wie oft wählen wir aus, wir wählen für 1 Woche aus, aber wir schreiben jetzt nicht bei r=1 hin, weil wir ja für 5 einzelne Tage auswählen. Also, r=5. Gucken wir uns doch mal an, wie viele Möglichkeiten wir pro Tag haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Montag? Es gibt 10 Schüler und jeder dieser Schüler kann am Montag Tafeldienst haben, also gibt es auch 10 Möglichkeiten. Jetzt der Dienstag, ein neuer Tag. Wir haben mit Wiederholung, d. h. wenn Timi am Montag Tafeldienst hatte, kann er trotzdem am Dienstag wieder dran kommen. D. h. bei der Lösung wird sein Name wieder zurückgelegt. Mit Zurücklegen, mit Wiederholung. Also haben wir auch am Dienstag 10 mögliche Kandidaten. Das Gleiche auch am Mittwoch, am Donnerstag und am Freitag. D. h. wir haben jeden Tag 10 mögliche Kandidaten. Um jetzt alle möglichen Variationen zu bekommen, müssen wir jetzt nur noch unsere Tage miteinander multiplizieren und kommen auf insgesamt 100000 verschiedene Möglichkeiten, wie dieser Tafeldienst aussehen könnte in dieser Woche. Um das jetzt noch mal zu verallgemeinern. Wir haben also unser Vw, dieses w oben steht dann für "mit Wiederholung". Also V für Variation, w für "mit Wiederholung", Vw(10,5), also wieder n r, ist also 10×10×10×10×10 oder anders aufgeschrieben: 105. Wir können jetzt also die Formel noch einmal allgemein aufschreiben, weil das ist ja relativ offensichtlich, für mich jetzt zumindest, dass unser Vw, also Variation mit Wiederholung abhängig von n und r, der Anzahl der Elemente, die wir haben,n, die Anzahl der Züge, die wir machen, r, ist also, nr. Das ist eine Zahl, die sehr schnell, wirklich sehr groß wird, das sehen wir ja. Wir haben gerade einmal 10 Schüler und wollen das nur für 1 Woche für 5 Tage machen und haben trotzdem schon 100000 verschiedene Möglichkeiten. Also diese Zahl wird wirklich sehr schnell, sehr groß. Unsere Variation mit Wiederholung ist also nr. Schauen wir uns das Ganze noch mal als Übersicht an. Unsere Formeln für unsere Variation ohne Wiederholung: V(n,r)=n!/(n-r)!, mit der Einschränkung, die machen wir mal in rot, r≤n. Wir ziehen ohne Zurücklegen, d. h. wir können maximal n-mal ziehen, wenn wir nur 10 Elemente haben, können wir, wenn wir die Elemente nicht zurücklegen, auch nur 10-mal ziehen. Wir können nicht 10 Läufer auf 11 Plätze verteilen. Und unsere Variation mit Wiederholung w(n,r) war einfach nur nr. Und hier haben wir diese Einschränkung r≤n nicht. Die existiert in diesem Fall nicht, weil wir das ja immer wieder zurücklegen, d. h. wie wir das gerade bei den Schülern gesehen haben, auch wenn wir nur 10 Schüler haben, könnten wir dadurch, dass der Name der gezogen wurde, immer wieder zurück wandert in den Lostopf, das Ganze auch für 20 Tage im Voraus machen oder für 100 Tage im Voraus. Also hier ist r nicht durch n beschränkt. Das war die Variation, unser 1. Video zu den Auswahlproblemen, im nächsten Video machen wir noch die Kombination, auch wieder ohne und mit Wiederholung um dann noch mal 2 Übungsvideos zu machen, wo wir ganz verschiedene Aufgabenstellungen uns angucken. Ja, das war es für heute, ich bedanke mich für das Zuschauen und wünsche noch einen schönen Tag. Tschüss.

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