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Transkript Statistik Video 28: Herfindahl-Index

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt! Nachdem wir uns ja in den letzten Videos mit der Lorenz-Kurve und dem Gini-Koeffizienten, also damit der relativen Konzentrationsanalyse beschäftigt haben, kommen wir heute, wie schon angekündigt, zur absoluten Konzentrationsanalyse, um dann unser Themengebiet der eindimensionalen Daten abzuschließen. Wir beschäftigen uns heute also mit dem Herfindahl-Index. Der Herfindahl-Index ist auch wieder nach einem Herrn Herfindahl benannt, ein Statistiker, und ist eine Maßzahl für die absolute Konzentrationsanalyse. Dabei gilt, wie schon beim Gini-Koeffizienten: Je größer der Herfindahl-Index wird, umso stärker ist das Merkmal, was wir untersuchen, konzentriert. Der Herfindahl-Index wird mit H abgekürzt und ist definiert als die Summe von i bis n von pi2. Nun ist natürlich die nächste Frage: Was ist pi? Hatten wir bisher noch nicht, also führen wir es ein. Pi ist definiert als xi, also unser i-ter Beobachtungswert, geteilt durch Summe aller xi. So etwas Ähnliches hatten wir schon mal, als wir die Lorenz-Kurve aufgestellt haben. Es ist im Prinzip unser Beobachtungswert geteilt durch das Gesamtvolumen aller Beobachtungswerte, wenn wir so etwas wie eine Marktanalyse durchführen. Die natürlichen Grenzen für den Herfindahl-Index sind: Der maximale Wert, den der Herfindahl-Index annehmen kann, ist 1. Anders als beim Gini-Koeffizienten kann der Herfindahl-Index 1 auch tatsächlich erreichen. Und der kleinste Wert, den der Herfindahl-Index annehmen kann, ist anders als beim Gini-Koeffizienten nicht 0, sondern 1/n. Der Effekt des Herfindahl-Index teilt sich auf. Der Gesamteffekt teilt sich auf in einen Merkmalseffekt und in einen Anzahleffekt. Was das genau bedeutet, darauf komme ich später noch. Nur so viel: Der Anzahleffekt sagt im Prinzip erst mal aus, dass in unserem Herfindahl-Index die Märkte konzentrierter wirken, auf denen weniger Teilnehmer sind. Diesen Effekt kann man bereinigen, man kann den Gesamteffekt und den Anzahleffekt bereinigen und kann sich dann den reinen Merkmalseffekt ansehen. Dazu kommen wir aber später noch. Machen wir also mal ein kurzes Beispiel. Wir haben unser Merkmal x, das ist der Umsatz in Millionen Euro, und wir haben 3 Anbieter oder 3 Unternehmen. Das 1. Unternehmen macht 15 Millionen Euro Umsatz, das 2. Unternehmen 60 Millionen Euro Umsatz und das 3. Unternehmen macht 25 Millionen Euro Umsatz. Gut, was brauchen wir als Nächstes? Wir wollen unsere Pis ausrechnen. Wir haben gerade gesagt, unser pi ist unser xi durch die Summe aller xi. Wir brauchen also die Summe aller xi. Die Summe aller xi bei i von 1 bis n. Also x1+x2+x3, also 15+60+25 – und das macht, als ∑xi, 100. Gut, wenn wir also unsere ∑xi haben, können wir auch unsere pi ausrechnen. Unsere pi sind ja xi geteilt durch ∑xi. Also, hier haben wir 15, x1, geteilt durch Summe aller xi, 100, also 0,15. Unser pi ist im Prinzip also unser Marktanteil, den ein Unternehmen hat. Im 2. Fall haben wir unser x2, 60, geteilt durch die Summe aller xi, 100 wieder, also 0,6. Und im 3. Fall: 25/100 oder 0,25. Ja, wenn wir das jetzt alles haben, können wir auch unseren Herfindahl-Index ganz einfach ausrechnen. Wir erinnern uns, unser Herfindahl-Index H hatte die Formel: ∑ über alle i von pi2. Wir haben alle pis, die wir brauchen, also können wir das einfach mal ausrechnen. Unser Herfindahl-Index ist also die Summe, können wir schon mal Pluszeichen hinsetzen, aller pi2. Hier stehen unsere pi, also (0,152)+(0,62)+(0,252). Wenn wir das jetzt alles in unseren Taschenrechner eingeben und ausrechnen, kommen wir zu einem Endergebnis für unseren Herfindahl-Index von 0,445. Was lässt sich jetzt daraus ablesen? Es ist immer schwer, aus einer einzelnen Maßzahl eine gute Interpretation zu bilden. Der Herfindahl-Index eignet sich, wie auch der Gini-Koeffizient, eher dafür, verschiedene Märkte miteinander zu vergleichen. Was wir aber sagen können, ist, unser Markt ist nicht gleichverteilt, sonst hätten wir einen Herfindahl-Index, der deutlich näher an 0 wäre, sondern er ist, ja, er ist ein gutes Stück ungerecht verteilt, sagen wir mal, ohne jetzt wirklich eine richtige Aussage treffen zu können, wie ungerecht verteilt er denn eigentlich ist. Schauen wir uns also mal den Merkmals- und den Anzahleffekt an, wenn wir 2 Märkte miteinander vergleichen wollen. Wir haben also mal imaginär 2 Märkte, A und B, mit den jeweiligen Kennwerten: Stichprobenumfang von A, oder Anzahl der beteiligten, sagen wir, Unternehmen, weil wir oft Marktanalysen machen, und einem Herfindahl-Index HA, der auch zum Markt A gehört. Und bei Markt B haben wir auch wieder eine Anzahl von Beteiligten, nB, und einen Herfindahl-Index von HB. Und jetzt sagen wir einfach mal, die haben eine unterschiedliche Anzahl von Beteiligten, d. h. nA≠nB. Jetzt würden wir aber gerne gucken, ob vielleicht der Unterschied im Herfindahl-Index nicht nur durch die unterschiedliche Anzahl der beteiligten Personen herrührt, sondern vom Merkmalseffekt auch beeinflusst wird oder auch maßgeblich beeinflusst wird, und wollen deshalb unseren Gesamteffekt um unseren Anzahleffekt bereinigen. Wie tun wir das? Wir bauen uns also imaginäre Märkte auf und finden den kleinsten gemeinsamen Teiler, sodass wir quasi beide Märkte auf die gleiche Anzahl der Beteiligten reduzieren können. So, das tun wir folgendermaßen. Wir bauen uns also ein HA' auf und wir sagen, dieses HA' ist definiert als unser Herfindahl-Index unseres Marktes A geteilt durch die Anzahl der Beteiligten im Markt B. Das Gleiche machen wir natürlich für H'B, da sagen wir, okay, das ist unser Herfindahl-Index von unserem Markt B geteilt durch die Anzahl der Beteiligten im Markt A. Das heißt, was wir jetzt noch haben, ist, wir haben unseren Gesamteffekt um unseren Anzahleffekt reduziert, das heißt, das, was wir jetzt miteinander vergleichen, ist nur noch das, was vom Merkmalseffekt herrührt. Das Ganze wirkt jetzt vielleicht noch etwas seltsam, aber wir machen jetzt ein kurzes Beispiel, wo das hoffentlich deutlich wird. Okay, gucken wir uns mal ein simples Beispiel an. Wir haben wieder 2 Märkte, mal wieder die USA und Europa, und in den USA haben wir nur einen Anbieter am Markt, der einen Umsatz von 100 Millionen Euro hat, unser Merkmal x ist gleich geblieben, Umsatz in Millionen Euro. In Europa haben wir 2 Anbieter am Markt. Der eine hat einen Umsatz von 10 Millionen Euro und der andere einen Umsatz von 90 Millionen Euro. Die pis habe ich gleich mal mit ausgerechnet, sind ja nur in Europa interessant, da haben wir 0,1 und 0,9 – in den USA ja sowieso 1. Daraus ergeben sich also folgende Herfindahl-Indizes. Wir haben also unseren Herfindahl-Index für die USA: logischerweise 1. Und für Europa, ich schreibe mal HE für Herfindahl-Index Europa, haben wir (0,12)+(0,92), also 0,82. Wir haben also das Ergebnis, das unser Herfindahl-Index in den USA größer ist als der in Europa. Das würden wir jetzt gerne mal kontrollieren, von welchem Effekt das denn herrührt, vom Merkmalseffekt oder von Anzahleffekt. Wir wollen also unsere Herfindahl-Indizes um den Anzahleffekt bereinigen. Dafür bauen wir uns halt, wie gesagt, imaginäre Märkte auf und tun jetzt einfach mal so, als würden wir unseren Markt in den USA auf 2 Anbieter verteilen, und sagen also: Unser H'USA, also unser neuer Herfindahl-Index, um den Anzahleffekt bereinigt, ist unser Herfindahl-Index der USA geteilt durch unser n, was wir aus Europa haben, also den Stichprobenumfang des anderen Marktes. Wir haben also unseren Herfindahl-Index von 1 geteilt durch 2, also ist unser H' in den USA =½. Für Europa machen wir natürlich jetzt dasselbe. Wir haben unser H' Europa, ist also unser H von Europa geteilt durch unseren Stichprobenumfang in den USA. Gut, der ist 1, das ist also trivial, also haben wir ein H' von Europa von 0,82. Und jetzt sehen wir nämlich hier das Interessante, dass nämlich unsere Herfindahl-Indizes, wenn wir sie um den Anzahleffekt bereinigt haben, ihre Größe geändert haben. Vorher hatten wir einen Herfindahl-Index in den USA, der deutlich größer war als der in Europa, konnten also sagen, okay, der Markt in den USA ist stärker konzentriert. Jetzt sehen wir aber, dass, wenn wir das Ganze mal um den Anzahleffekt bereinigen, auf einmal der neue Herfindahl-Index in Europa größer ist als der in den USA. Das bedeutet, dass der Anzahleffekt, der hier bei den USA hereinspielt, deutlich stärker ist als der Merkmalseffekt, und deshalb, wenn wir um den Anzahleffekt bereinigen, der Herfindahl-Index halt deutlich runtergeht und deshalb halt auch kleiner wird als der Herfindahl-Index in Europa. Gut, das kann man jetzt so vergleichen. Natürlich muss man trotzdem sagen, dass der Markt in den USA stärker konzentriert ist, es kommt halt nur darauf an, welche Effekte wie wirken und in welche Richtung sie wirken. Ist vielleicht etwas kompliziert, aber wenn man sich mal ein bisschen mit dem Thema beschäftigt und sich mal überlegt, welcher Effekt wann in welche Richtung wirkt, dann wird das auch relativ schnell klar. Als Letztes schauen wir uns jetzt noch einmal an, was für einen Einfluss es auf den Herfindahl-Index hat, wenn sich 2 der Marktteilnehmer zusammenschließen. Wir haben also vorher das Bild, dass wir 3 Unternehmen am Markt haben, 1, 2 und 3, die einen jeweiligen Umsatz haben von 5 Millionen Euro, 15 Millionen Euro und 80 Millionen Euro – und daraus ergibt sich ein Herfindahl-Index Halt von 0,665. Nun denken sich Unternehmen 1 und 2, okay, wir fusionieren, aus welchen Gründen auch immer, es könnte auch Unternehmen 1 zum Beispiel Unternehmen 2 aufkaufen, auf jeden Fall sind sie danach ein Unternehmen. Wir haben also die beiden Unternehmen 1', also den Zusammenschluss aus Unternehmen 1 und Unternehmen 2, und unser Unternehmen 3. Unser Unternehmen 3 hat natürlich weiterhin 80 Millionen Euro Umsatz, ist also gleich groß geblieben, und unser Unternehmen 1' vereinigt jetzt die Umsätze von 1 und 2 aufeinander, hat also 5+15, 20 Millionen Euro Umsatz. Das führt zu einem Hneu von 0,68. Wir sehen hier, unser neuer Herfindahl-Index ist größer als unser alter. Die Frage ist, muss das immer so sein? Natürlich muss das immer so sein, weil unser Markt ja stärker konzentriert ist. Wir haben einen Anbieter weniger, also ist die Konzentration innerhalb unseres Marktes gestiegen, also muss unser Herfindahl-Index größer werden. Diese Ungleichung gilt immer, solange wir pis haben, die > 0 sind. Sollte Sinn machen, wenn wir 2 Anbieter haben, die überhaupt keinen Marktanteil haben, können sie natürlich auch fusionieren, wie sie wollen, macht keinen Unterschied. Also, solange alle unsere pis > 0 sind, gilt diese Ungleichung, Halt < Hneu, immer, wenn sich 2 Unternehmen zusammenschließen. Wir würden jetzt natürlich gerne wissen, um nicht jedes Mal den Herfindahl-Index komplett neu ausrechnen zu müssen, um wie viel größer ist denn unser neuer Herfindahl-Index gegenüber dem alten? Das kann man auch berechnen. Ich mache die Herleitung jetzt nicht, da könnt ihr vielleicht mal wieder gucken, ob ihr das zu Hause hinkriegt, wenn ihr einfach das alles in allgemeiner Form aufschreibt, dann kürzt sich da ganz viel weg – auf jeden Fall kommt am Ende raus: Unser Hneu ist unser Halt+2×px×py. Px und py markieren hier natürlich unsere pis der Unternehmen, die sich zusammengeschlossen haben. Wir hätten hier also unser Halt, unseren alten Herfindahl-Index, von 0,665+2×px, wäre in diesem Fall p1, 0,05, ×py, 0,15. Wir hätten also unser Hneu von 0,665, unser Halt, +2×0,15×0,05. So, 2×0,15×0,05=0,015, also hätten wir 0,665+0,015 und wären damit bei unserem Hneu von 0,68 gelandet. Das stimmt also tatsächlich. So, das war erst mal die Theorie zum Herfindahl-Index, zur absoluten Konzentrationsanalyse, und wie gewohnt gibt es dazu im nächsten Video noch eine kleine Übung, bevor wir dann unser Thema der eindimensionalen Daten abschließen und zu den mehrdimensionalen Daten kommen. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe, ihr habt ein wenig was gelernt, und freue mich aufs nächste Mal. Tschüss!  

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3 Kommentare
  1. Default

    Ich hätte eine Frage: Durch was teilten wir, wenn wir mehr als 2 Märkte miteinander vergleichen würden?

    Von Max1234567, vor 12 Monaten
  2. Default

    Könntest du noch ein Beispiel machen wie man Herfindal - Index aus Varianz berechnen lässt?Danke.

    Von Zhanylai, vor mehr als 5 Jahren
  3. Default

    sehr gut erklärt perfekt !!!

    Von Zhanylai, vor mehr als 5 Jahren