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Transkript Statistik Video 106 - Geometrische Verteilung II

Hallo, schön, dass Ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem 2. Theorievideo zur geometrischen Verteilung. Wir haben ja im letzten Video bereits gelernt, dass die geometrische Verteilung die Frage nach der Wahrscheinlichkeit beantwortet, wie viele Versuche ich bis zum 1. Erfolg brauche. Eine Frage, die dabei natürlich dann auch immer gestellt ist, ist: Wie wahrscheinlich ist es denn  dann, dass ich nie einen Erfolg habe? Beziehungsweise, wie wahrscheinlich ist es, dass ich irgendwann mal einen Erfolg habe? Genau diese Fragen wollen wir jetzt heute auch beantworten. Also die Wahrscheinlichkeit, dass ich nie einen Versuch habe, ist das Gleiche wie die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse minus die Wahrscheinlichkeit, dass ich irgendwann mal einen Versuch habe. Diese allgemeine Beziehung haben wir ja bereits im letzten Video näher erläutert. Was ist jetzt also die Wahrscheinlichkeit, dass ich irgendwann mal einen Erfolg habe nach der geometrischen Verteilung? Naja, es ist ein Grenzwert, also Limes x geht gegen Unendlich. Das heißt, die Anzahl meiner Versuche geht gegen Unendlich und ist eine Summe. Woher kommt diese Summe? Naja, irgendwann mal einen Erfolg bedeutet ja, könnte den Erfolg im 1. Versuch haben, im 2., im 3., im 4. oder auch halt im 1000000. Versuch oder im 1000000000. Versuch, also muss ich im Prinzip die Wahrscheinlichkeit für alle x aufaddieren. Also die Wahrscheinlichkeit, ich habe im 1. Versuch einen Erfolg + die Wahrscheinlichkeit, ich habe im 2. Versuch einen Erfolg + + + + die Wahrscheinlichkeit, ich habe im 1000000. Versuch einen Erfolg, deshalb diese Summe von i=1, also von i=1, also der 1. Versuch bis x, also x geht gegen Unendlich, und das hier ist einfach unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion. Also MißerfolgswahrscheinlichkeitAnzahl der Mißerfolge×Erfolgswahrscheinlichkeit. So und hier im 2. Schritt haben wir also x eingesetzt, das heisst wir haben die Summe einfach von i=1 bis Unendlich. Das π, das nicht von i abhängig ist, kann man also als Konstantenfaktor nach draußen stellen. Also haben wir π×die Summe von i=1 bis Unendlich von Mißerfolgswahrscheinlichkeit^ i-1. Ok, wir erinnern uns, wir wollen hier herausfinden wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir irgendwann mal einen Erfolg haben? Zum Beispiel bei unseren 4 Schlüsseln am Schlüsselbund: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir irgendwann mal einen Erfolg haben? Bzw. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir nie einen Erfolg haben und bis zum Sankt Nimmerleinstag vor unserer verschlossenen Wohnungstür stehen? Gut, wenn wir uns das mal angucken, dann können wir uns eines Tricks bedienen, weil wir hier unser i und i=1 haben, bedeutet das, wir können die Grenze verschieben. Können also sagen, das ist das Gleiche wie π×Summe von 1=0 bis Undendlich von 1-πi. Also wir dürfen hier einfach die Grenzen verschieben, da wir ja, wenn wir bei i=1 anfangen, wäre ja hier der 1. Exponent 0. Das heißt, wir könnten einfach bei i=0  anfangen und hier als Exponenten i hinschreiben. Also es ist genau das Gleiche. So, und es gibt eine Regel, die besagt, wenn wir folgende Summe haben: Die Summe von i=0 bis Unendlich und irgendeinem Therm qi, dann ist das das Gleiche wie 1÷1-q. Ok? Das haben findige Mathematiker herausgefunden, dass diese Gesetzmäßigkeit immer funktioniert. Das heisst, das können wir auch hier benutzen. Wir haben jetzt also π×1÷1-q, q ist in unserem Fall 1-π. So, und wenn man sich jetzt mal den Nenner anguckt, dann haben wir also hier 1-(1+π), also es kürzen sich die Einsen, ja subtrahieren sich zu 0. Im Nenner steht nur noch +π. Also haben wir π durch π=1. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir also irgendwann einen Erfolg haben ist 1. Ist ja auch eigentlich logisch, irgendwann sollte man ja auch einen Erfolg haben und es handelt sich hierbei um ein fast sicheres Ereignis. Ihr dürft nicht den Fehler begehen aus der Wahrscheinlichkeit 1 auf ein sicheres Ereignis zu schließen. Ein sicheres Ereignis ist zum Beispiel: Morgens geht die Sonne auf. Das ist ein sicheres Ereignis. Ein fast sicheres Ereignis ist zum Beispiel, ich werfe eine Münze und sie landet auf einer der beiden Seiten. Das ist ein fast sicheres Ereignis. Es hat auch die Wahrscheinlichkeit 1, aber eventuell nur die gerundete Wahrscheinlichkeit. Also es ist 0,99999 mit extrem vielen 9 noch, aber eben nicht 1. Trotzdem würden die meisten Berechnungsverfahren als Wahrscheinlichkeit die 1 geben. Also das ist ein fast sicheres Ereignis, die Wahrscheinlichkeit irgendwann einen Erfolg zu haben. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit nie einen Erfolg  zu haben 1-1, also 0. Also ein fast unmögliches Ereignis. Hier gilt das Gleiche wie beim fast sicheren Ereignis, dass man von der Wahrscheinlichkeit 0 nicht auf die Unmöglichkeit schließen darf. Ein unmögliches Ereignis hat auf jeden Fall die Wahrscheinlichkeit 0, aber ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 ist nicht unbedingt unmöglich, sondern es ist fast sicher, also fast unmöglich. Das heißt, hier könnten sich noch irgendwo in den Nachkommastellen vielecht noch eine 1 verbergen, die aber immer herausfällt. So, also hier einfach mal die Beantwortung der Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich niemals zum Erfolg komme? Also sie ist gleich 0. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich irgendwann mal zum Erfolg komme = 1. Gut, nach dieser allgemeinen Überlegung gucken wir uns noch mal Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung an. Na gut, gucken wir uns doch mal Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable x an, die der geometrischen Verteilung folgt. Dazu machen wir ein kleines Gedankenspiel. Wir haben ein Benui-Versuch und wir führen den einmal hintereinander durch und zwar unabhängig voneinander. Also n unabhängiger Versuche, in unserem Fall sagen wir mal 60. Und wir haben eine Erfolgswahrscheinlichkeit π von 0,05. Das bedeutet, wir erwarten also, dass wir 3 Erfolge haben bei 60 Versuche. Das Ganze folgt einer Binomialverteilung. Da ist dann also der Erwartungswert n×π. Anzahl der Versuche×Erfolgswahrscheinlichkeit. So, wir wollen jetzt mal berechnen was ist jetzt zu erwartender Abstand zwischen zwei Erfolgen. Warum wollen wir das wissen? Naja, wir zählen ja bei der geometrischen Verteilung die Anzahl der Versuche bis zum 1. Erfolg. So, ich fange also bei 0 an, zähle 1, 2, 3, 4,aha, 1. Erfolg. Ich könnte aber auch vom 1. Erfolg bis zum 2. Erfolg zählen, also ich könnte sagen: Ok, bei 4 war meine 1. Erfolg, dann zähl ich, fang ich neu an und sag: 1, 2, 3, 4, 5, 2. Erfolg. Also, es macht kein Unterschied, ob ich die Anzahl der Versuche bis zum 1. Erfolg zähle oder erst beim 1. Erfolg anfange und dann die Anzahl der Versuche bis zum nächsten Erfolg zähle. Das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit. Also, können wir hier gucken was ist der zu erwartete Abstand zwischen 2 Erfolgen. Naja, wir haben insgesamt  n Versuche. Wir haben n×π Erfolge, also, um das in Zahlen auszudrücken 60 Versuche, 3 Erfolge. Das beutet, dass ich alle 20 Versuche mit einem Erfolg rechne. Wenn ich mir jetzt diese Formel hier angucke, dann sieht man natürlich, das n lässt sich rauskürzen und ich habe dann als Funktion 1÷π, also 1÷Erfolgswahrscheinlichkeit, was genau der Erwartungswert ist, also 1÷π. Und die Varianz resultiert daraus, die Varianz hat als Formel 1÷π²-1÷π. Gut, das ist also Erwartungswert und Varianz. Als Abschluss zur geometrischen Verteilung, gucken wir uns jetzt noch mal eine sehr wichtige definierende Eigenschaft der geometrischen Verteilung an. Ok, die wichtigste Eigenschaft der geometrischen Verteilung, die wir im Prinzip gerade bei der Herleitung der Erwartungswertes schon benutzt haben, ist die Gedächtnislosigkeit. Das kann man ungefähr vergleichen mit der Nachwirkungsfreiheit bei der Pulsionsverteilung. Die sagt im Prinzip Folgendes aus: die Wahrscheinlichkeit, dass x zu einem Wert n+k realisiert, wenn wir bereits wissen, dass x>n, dann ist das das Gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass x bis zu dem Wert k realisiert. Was bedeutet das? Also wir haben hier unsere Versuche und wir sagen bei n=5 haben wir den 1. Erfolg. Ok, also hier. Und wir fangen jetzt an zu zählen und wollen wissen, wann wir den 2. Erfolg haben. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass der 2. Erfolg bei 10 landet, wenn wir bereits wissen, dass x auf jeden Fall >5, weil wir sagen ja, ok, wir fangen hier neu an zu zählen, wir zählen also 6, 7, 8, 9, 10, ist der Gleiche, als würden wir einfach nicht weiter zählen von 6 bis 10, sondern als würden wir einfach neu anfangen. Also im Prinzip die Wahrscheinlichkeit zwischen dem 1. und dem 2. Erfolg oder die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen dem 1. und dem 2. Erfolg x Versuche liegen, ist die Gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach x Versuchen den 1. Erfolg habe. Also es macht keinen Unterschied, ob ich nach dem 1. Erfolg frage oder nach dem 2., wenn ich nach dem 1. Versuch anfange zu zählen. Das ist also die Gedächtnislosigkeit. Das heißt im Prinzip, es ist nur die Anzahl der Versuche bis zum nächsten Erfolg wichtig. Gut, das war das 2. Theorievideo zur geometrischen Verteilung, wie gewohnt im nächsten Video noch eine Übung dazu, wo wir dann auch tatsächlich noch ein bisschen mit der geometrischen Verteilung rechnen wollen. Das war es von mir, ich bedanke mich fürs Zuschauen und sage bis zum nächsten Mal und tschüss!  

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