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Transkript Statistik Video 102 - Poissonverteilung I

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem ersten Theorievideo zur Poissonverteilung. Um zu verstehen, woher die Poissonverteilung kommt und wofür man sie braucht, fangen wir noch mal bei der Binomialverteilung an. Wir überlegen uns ein Beispiel. So, wir haben Studenten und jeder hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass er zur Vorlesung geht. Und wir wollen also wissen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Studenten zur Vorlesung kommen. So, und zwar haben wir im ersten Beispiel eine sehr kleine Vorlesung mit nur 10 Studenten. Jeder hat die Wahrscheinlichkeit von 0,4, also 40%, dass er zur Vorlesung kommt. Der Erwartungswert, n×p, ist also 4. Wir würden jetzt also die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Studenten zur Vorlesung kommen, dass wir sagen: (10 über 2)×0,42×0,68. Gut, das können wir machen, kein Problem. Erweitern wir mal das Beispiel. So, wir haben jetzt 100 Studenten. Was wir konstant halten wollen, ist der Erwartungswert, n×p. Also, n×p soll weiterhin 4 sein. Anscheinend ist die Vorlesung nicht besonders gut, wenn wir erwarten, dass von 100 Studenten nur 4 kommen. Dann ist p=0,04. Und wir wollen jetzt die gleiche Frage haben: P(x=2) ist also in diesem Fall: (100 über 2)×0,42×0,698. Das ist schon etwas mehr tricky, können wir aber, so glaube ich, noch in den Taschenrechner eingeben. Erweitern wir es doch noch einmal um den Faktor 10. Also haben wir jetzt 1000 Studenten. N×p soll weiterhin gleich sein, der Erwartungswert bleibt gleich, also n×p=4. Und damit ist unsere Erfolgswahrscheinlichkeit 0,004. Für jeden Schritt, unabhängig voneinander: Wir gehen mal davon aus, dass das Erscheinen der Studenten bei der Vorlesung unabhängig voneinander ist, und dass jeder die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Und die Wahrscheinlichkeit von P(x=2) ist jetzt also (1000 über 2)×0,42×0,6998. Ich weiß nicht, wie das bei euch aussieht, aber mein Taschenrechner macht das nicht mehr mit. Also sehen wir, wenn n gegen unendlich strebt, also sehr große Zahlen annimmt und dabei p gegen 0 strebt, weil wir den Erwartungswert konstant halten wollen, dann haben wir bei der Binomialverteilung Probleme. Wir müssen uns also etwas anderes überlegen. Und genau da kommt die Poissonverteilung ins Spiel.  Die Poissonverteilung sagt im Prinzip nichts anderes, als dass der Limes (lim), wenn er gegen unendlich strebt und damit p gegen 0 von der Formel, die wir haben, also n über x×px×(1-p)n-x, also unsere allgemeine Formel der Binomialverteilung, wenn das eintritt, ist es im Grenzwert das Gleiche wie (λx÷x!)×e^-λ. Das ist die Formel für die Poissonverteilung. (λx÷x!)×e, also Eulersche Zahl, hoch -λ (e^-λ), mit λ=n×p. Deshalb wollten wir auch den Erwartungswert konstant halten, also λ=n×p. Genau das ist jetzt also unsere neue Poissonverteilung. Wenn wir also zu große n haben und zu kleine p um noch sinnvoll mit der Binomialverteilung rechnen zu können, können wir auf die Poissonverteilung ausweichen. Gucken wir uns das Ganze doch einfach mal formal an. Gucken wir uns also mal die Poissonverteilung an. Man sagt also: x ist possoinverteilt mit dem Verteilungsparameter λ. λ ist der einzige Verteilungsparameter der Poissonverteilung. Das ist das, was sie so schön macht. Außerdem kann man die Poissonverteilung wirklich auf sehr viele Probleme anwenden, aber dazu komme ich gleich. λ ist die Intensität des Prozesses, also immer ein gewisser Erwartungswert. Dieser Erwartungswert wird sehr gerne über eine Zeitspanne angegeben, zum Beispiel: Pro Stunde kommen beim Bäcker im Durchschnitt 5 Kunden. Dann wüssten wir: okay, λ=5. Die Poissonverteilung wird auch "Verteilung der seltenen Ereignisse" genannt. Das geht auf eine Voraussetzung der Poissonverteilung zurück, die wir im nächsten Video besprechen. Die "Verteilung der seltenen Ereignisse" ist etwas irreführend, denn es muss sich keines Wegs um Ereignisse handeln, die tatsächlich selten sind. Die Poissonverteilung beschreibt zum Beispiel auch sehr gut die eingehenden Telefonanrufe in einer Firma, aber zum Beispiel auch in einem Callcenter, also man würde davon ausgehen, dass in einem Callcenter relativ viele Telefonate geführt werden, dass ein Telefonat also kein seltenes Ereignis ist. Man kann aber die Poissonverteilung immer auf sehr kleine Intervalle runterbrechen, sodass in diesem Intervall die Wahrscheinlichkeit, dass wir ein x größer 1 haben, praktisch gleich 0 ist. Und daher kommt der Begriff "Verteilung der seltenen Ereignisse". Damit beschäftigen wir uns aber im nächsten Video noch genauer. So. Unsere Wahrscheinlichkeit P(x) ist dann definiert als (λx÷x!)×e^-λ. Ihr seht, mit λ ist das wirklich komplett charakterisiert. Unser x, gut, das kommt aus der Fragestellung, und die Eulersche Zahl ist uns sowieso gegeben. 2 sehr schöne Eigenschaften hat die Poissonverteilung noch, nämlich den Erwartungswert und die Varianz. Der Erwartungswert von x, wenn wir wissen, x ist poissonverteilt, und die Varianz von x, wenn wir wissen, x ist poissonverteilt, ist beides gleich λ. Also gut, der Erwartungswert, da würden wir davon ausgehen, aber auch die Varianz einer Poissonverteilung=λ. Das ist wirklich wunderbar, da wir ja, um mit der Poissonverteilung zu rechnen, λ gegeben haben müssen. Das heißt, wenn wir λ gegeben haben, kennen wir automatisch auch schon den Erwartungswert und die Varianz. Ich werde die jetzt nicht herleiten, das würde ein bisschen den Rahmen sprengen. Ihr könnt euch die Herleitung gerne mal angucken, die steht im Internet, leicht zu finden. Gut, jetzt haben wir das also formal charakterisiert. Gucken wir uns doch erst einmal ein kleines Beispiel an, um der Poissonverteilung so ein bisschen Leben einzuhauchen. Okay, wir nehmen das Beispiel von gerade. Uns wird ein Text gegeben in einer Klausur und da steht drin: In einer Bäckerei kommen im Durchschnitt jede Stunde 5 Kunden vorbei. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde in der Bäckerei nur 2 Kunden vorbeikommen. Dadurch, dass ein Intervall gegeben ist, eine Stunde, mit einem Mittelwert, wissen wir: Das Ganze ist poissonverteilt. Und wir sollen jetzt die Wahrscheinlichkeit herausfinden, dass in einer Stunde nur 2 Kunden vorbeikommen, also P(x)=2. Wir haben λ=5, in einer Stunde kommen im Schnitt 5 Kunden vorbei, und wir kennen die Formel, können das jetzt also einsetzen. Die Formel war λx, also λ=5, x=2, (52÷x! (2!))×e^-λ, also e^-5. 52=25, 2!=2 (25/2) und e^-5 rechne ich nicht im Kopf aus. Das ergibt also ungefähr eine Wahrscheinlichkeit von 0,08. Wir haben also eine 8%ige Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde nur 2 Kunden vorbeikommen. Thema Verteilungsfunktion. Wie ihr seht, die Wahrscheinlichkeit das x kleiner gleich 2 ist. Auch bei der Poissonverteilung gibt es leider keine tabellierte Verteilungsfunktion. Das heißt, wir müssen tatsächlich hier auch P(x=2)+P(x=1) rechnen. Aber das reicht natürlich noch nicht. Wer denkt, hier wären wir fertig, irrt. P(x=0) gehört immer dazu. Also so (P(x=2)+P(x=1)+P(x=0)) müssten wir das rechnen. Es gibt manchmal auch sehr, sehr trickige Fragen. Da versucht euch dann vielleicht euer Prof, ein bisschen in die Irre zu leiten. Wenn er sagt: In einer Stunde im Schnitt 5 Kunden. Ist ja eigentlich kein Problem. Wenn jetzt gefragt wird die Wahrscheinlichkeit, dass in einer halben Stunde 2 Kunden vorbeikommen, dann sieht es schon anders aus. Ihr könnt nämlich dann nicht einfach als λ=5 übernehmen, denn hier wäre ja λ=5. Das ist aber der Schnitt für eine Stunde. Das heißt, der Schnitt für eine halbe Stunde ist logischerweise die Hälfte, also λ=2,5. So etwas sieht man relativ häufig in Klausuren, dass nämlich das Intervall im Text und das Intervall in der Fragestellung nicht die gleichen sind. Das heißt, das ist noch einmal eine zusätzliche Hürde, die ihr dann überbrücken müsst. Aber dazu kommen wir dann auch in der Übung. Da werden wir auch so etwas ausführlich besprechen. Ja, das war auch schon das erste Video zur Poissonverteilung. Wir beschäftigen uns jetzt noch einmal mit den Voraussetzungen der Poissonverteilung, die allesamt sehr wichtig sind und erfüllt sein müssen, damit eine Zufallsvariable überhaupt als poissonverteilt gelten kann. Das kommt dann im nächsten Video, dem zweiten Theorievideo zur Poissonverteilung. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.

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5 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Chappy72
    Es gibt sehr leistungsfähige Taschenrechner, die das berechnen können. In der Mathematik interessiert man sich allerdings auch für Grenzwertprozesse, d.h. für Werte von n gegen Unendlich. Vielen Dank für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  2. Giuliano test

    @Timi 1989
    Ja du hast recht. Hier müsste 0,04 und nicht 0,4 eingesetzt werden. Vielen Dank für deinen Kommentar. Ich hoffe, dass der Rest des Videos trotzdemn verständlich bleibt. Die linke Spalte soll auch nur eine Wiederholung sein und das Grundproblem der Binomialverteilung darstellen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    ja, das scheint mir auch falsch zu sein.
    Und mein TI-30 rechnet das bis n=1000 tadellos.

    Von Chappy72, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    wieso bestimmst du bei b) und c) p=0,04 bzw. p=0,004 und setzt dann für p doch 0,4 ein? versteh ich nicht?

    Von Timi1989, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Sehr Sympathischer Typ und du erklärst super

    Von Fabianwasse, vor mehr als 3 Jahren