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Transkript Statistik II - Video 51: Der Chiquadrat-Homogenitätstest

Herzlich willkommen werte Zuhörer. Sehr vernünftig, dass ihr auch heute wieder dabei seid. Wir beschäftigen uns heute, wie ihr unschwer erkennen könnt, mit dem Chi-Quadrat-Homogenitätstest. Bereits kennengelernt haben wir den Chi-Quadrat-Anpassungstest und den Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest. Nun dies ist damit auch der Letzte in der Reihe. Wo liegen die Unterschiede? Die Aufgabenstellung bei dem Chi-Quadrat-Homogenitätstest lautet, dass wir ein Zwei- und/oder Mehrstichprobentest gegeben haben. Ja was heißt das? Das heißt einfach, wir entnehmen mehrere Stichproben. Kurz zum Vergleich, was wir hier eigentlich untersuchen wollen: Wir hatten beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest beispielsweise 1 Stichprobe, anhand derer wir mehrere Merkmale untersuchen, 2 Merkmale. Dann hatten wir den Chi-Quadrat-Anpassungstest, mit diesem Test haben wir 1 Stichprobe hinsichtlich 1 Merkmals untersucht. Und hier haben wir jetzt mehrere Stichproben, die auf 1 Merkmal hin untersucht werden. Also, ein Zwei- und Mehrstichprobentest, das ist die Kategorie des Chi-Quadrat-Homogenitätstests. Dann untersuchen wir mehrere Stichproben m bezüglich eines Merkmals X und diese haben dann dementsprechend den Stichprobenumfang n1 für die 1. Stichprobe bis hin zu nm zur m. Stichprobe. Was überprüfen wir also? Wir überprüfen letzten Endes, ob die Stichproben, die wir genommen haben, ob die aus ein und derselben Grundgesamtheit stammen. Das ist unser Überprüfungsgegenstand. Voraussetzung hierfür muss gegeben sein, dass wir die Stichprobenelemente rein zufällig entnehmen. So, das ist der Einstieg, wir kommen nun weiter, wie üblich unseres Fahrplans zu der Nullhypothese und den Testentscheidungen. Hier seht ihr in kurzer knapper Form die Nullhypothese, die wir zu diesem Test formulieren. Wie lautet die? Nun, wir sagen die Verteilung F1 von der Stichprobe 1 und dem Merkmal x entspricht der gleichen Verteilung F2, das heißt von der 2. Stichprobe, weiterhin zum Merkmal x ist gleich ..., ja so viele Stichproben, wie wir nun mal entnehmen, m. Das ist unsere Nullhypothese, die stellen wir auf, also wir gehen von vornherein davon aus, dass die Verteilungen aus einer Grundgesamtheit stammen. Das ist unsere Nullhypothese, Punkt. Die Alternativhypothese hingegen lautet, dass, ja wie kann man sich das vorstellen, wissen wir, ist genau das Gegenteil, nämlich dass mindestens 2 Stichproben aus unterschiedlichen Grundgesamtheiten stammen. Soviel zur Nullhypothese und Alternativhypothese. Dafür betrachten wir eben die Verteilungen. So, wie überprüfen wir denn das Ganze? Wir schauen uns wieder eine Testgröße an. Diese Testgröße ist weiterhin eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable. Die ergibt sich aus der Summe einmal von i=1 bis i=q und einmal von j=1 bis j=m. Ja, das wird alles gleich anhand des Beispiels ein wenig deutlicher, was damit gemeint ist. Fakt ist einfach, wir spannen quasi den Test auf 2 Dimensionen auf und daher brauchen wir die Abstände. Die Abstände wovon? Die Abstände von dem Wert, den wir beobachten, h steht hier für absolute Häufigkeiten, also wie oft tritt ein Ereignis auf, das heißt die Differenz von unseren beobachteten Ergebnissen und den erwarteten Ergebnissen. Wenn wir davon ausgehen, dass 2 Verteilungen aus der gleichen Grundgesamtheit stammen, haben wir eine gewisse Erwartung an das Ergebnis. An dieser Stelle nicht verwirren lassen, notieren, so aufnehmen, und anhand des Beispiels wird das alles gleich viel deutlicher. Also das heißt noch mal zurück zu der Formel, wir bilden quasi die Differenzen zwischen dem beobachteten und dem erwarteten Wert der absoluten Häufigkeiten, dividiert durch den erwarteten Wert. Das summieren wir über unsere zweidimensionale Matrix, die wir aufspannen. Und was wir noch beachten müssen, ist der Freiheitsgrad der Chi-Quadrat-Variable und der ergibt sich aus jeweils der Dimension, einmal haben wir q, einmal haben wir m und davon ziehen wir jeweils 1 ab und wir haben die Anzahl der Freiheitsgrade für unsere Chi-Quadrat-verteilte Variable. Wie üblich brauchen wir bei unserer Testentscheidung einen Annahmebereich. Und für diesen Annahmebereich nehmen wir eine Annahmekennzahl, in dem Fall eine Obergrenze co. Nun, warum co? Wir wollen überprüfen, ob verschiedene Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen. Und dementsprechend, wenn wir die Differenzen unserer Ergebnisse bilden, wollen wir natürlich, dass die in einem gewissen Rahmen sind, dass die Differenzen möglichst gering sind. Das heißt, wir setzen unserer Testgröße Chi-Quadrat setzen wir eine Obergrenze co. Und diese Obergrenze co ergibt sich aus dem Tabellenwerk der Chi-Quadrat-Verteilung. Das heißt, im Tabellenwerk müssen wir so gesehen schauen, zu welchem Signifikanzniveau wir testen: α. Dann schauen wir bei 1-α und bei den entsprechenden Freiheitsgraden wie soeben angedeutet: (q-1)×(m-1). Das heißt, wir müssen, bevor wir die Testentscheidung treffen, die Annahmekennzahl bestimmen, die ergibt sich einfach aus dem Tabellenwerk, also muss man nichts berechnen bis auf den Freiheitsgrad und 1-α. So, und dann können wir auch schon die Testentscheidung treffen. Und die Testentscheidung, wie gerade angedeutet, ist so, dass wir H0 abzulehnen haben, wenn unsere Prüfgröße Chi-Quadrat, wenn die größer als unsere Obergrenze co ist. Und was das bedeutet, wir erinnern uns, wenn die Nullhypothese widerlegt ist, das heißt dann nicht automatisch, dass H1 stimmt, aber wir  können mit der bestimmten Sicherheit α sagen, dass die Alternativhypothese zutrifft. Aber eben nur unter diesem Signifikanzniveau α, zu dieser Sicherheit eben. Ja, wird Zeit für ein Beispiel. Ja, zusammen, dann versetzt euch bitte in folgendes Szenario: In unserem Beispiel haben wir eine Matheklausur und diese Matheklausur wird von 2 unterschiedlich ausgebildeten Studentengruppen geschrieben, nämlich einmal wird die Matheklausur von den BWLern geschrieben, von Betriebswirten und einmal von Volkswirten. Die gleiche Prüfung. Das heißt, was haben wir hier gegeben in Form unserer Größen, die wir jetzt brauchen, um die Testentscheidung zu fällen? Wir haben die BWLer, die Betriebswirte, die Personen, das ist unsere 1. Stichprobe und die Volkswirte sind unsere 2. Stichprobe. Das Merkmal, das wir untersuchen, das Merkmal x, ist die Note und die Note hat folgende Ausprägungen: 1, 2, 3, 4 und 5. Das sind die Ausprägungen unseres zu untersuchenden Merkmals x, wird durchnummeriert mit dem Buchstaben i. Ja, was gibt es noch? Wir haben einmal den Stichprobenumfang n1=100, auch hier zu finden. Das heißt, der Stichprobenumfang unserer 1. Stichprobe Betriebswirte, die diese Matheklausur schreiben, entspricht 100. Und das ist so gesehen die Verteilung, wie viele Betriebswirte welche Merkmalsausprägung der Note haben, also einfach welche Note. Und dann haben wir n2=50, das heißt wir haben 50 Volkswirte, die diese Matheprüfung mitschreiben. Die haben eine Notenverteilung, wie sie hier zu sehen ist. Und das Ganze untersuchen wir zu einem Signifikanzniveau α=0,05. Also das ist alles noch unsere Aufgabenstellung hier, das ist alles gegeben, also haben wir noch gar nicht viel berechnet. Also braucht ihr euch gar nicht viel Gedanken machen, wo das Ganze herkommt, das ist alles gegeben. Und was genau? Schauen wir uns noch mal genau die Bezeichnung der einzelnen Daten an. Wir haben also h für die absolute Häufigkeit, die absolute Häufigkeit o für "beobachtet". Das ist das tatsächliche Ergebnis, das wir beobachten können aufgrund unserer Stichprobe. Und zwar haben wir dann die Koeffizienten 11 hier stehen, das ist die Matrix, die wir so gesehen aufspannen, wie ich es euch vorher schon mal angedeutet habe. Das heißt, hier haben wir 11, hier haben wir 21, 31, 41 und 51. Ja, jetzt könnt ihr euch schon ein bisschen herleiten, wie die Koeffizienten hier aufgeteilt sind. Nämlich, die 1. 1 steht für die zugehörige Merkmalsausprägung, also so gesehen, jede Testperson, jeder Betriebswirt, der die Prüfung mitschreibt, hat ja ein bestimmtes Merkmal sowieso, die Note, aber auch eine Ausprägung, nämlich 1 bis 5. Und dementsprechend haben wir h1, 2, 3, 4, 5. Der 2. Koeffizient, wie hier h11, ich weiß immer nicht, wie gut ihr das da am Bildschirm lesen könnt. h11, h21, also die 2. Ziffer, die dahinter steht, die steht für die Stichprobennummer. Das ist unsere 1. Stichprobe, die Betriebswirte sind unsere 1. Stichprobe, die wir entnehmen, deswegen hier konstant bei dieser Stichprobe ist der 2. Koeffizient gleich 1. So, bei den Volkswirten, nun etwas angepasst, das heißt weiterhin steht oben das o, weil es die beobachteten Werte sind, dann weiterhin ist der 1. Koeffizient durchgängig nummeriert von 1 bis 5, weil auch die Volkswirte die Merkmalsausprägungen Note 1 bis 5 haben, nur im Unterschied zur 1. Stichprobe haben wir den 2. Koeffizienten hier konstant mit 2, weil es sich hierbei um unsere 2. Stichprobe handelt, nämlich die Volkswirte, die diese Matheklausur mitgeschrieben haben. Ja, wie so häufig, wenn wir eine Matrix aufspannen, 4 Dimensionen haben, bilden wir die Randsummen. Die müssen in dem Fall nicht gegeben sein. Also die Aufgabe wäre auch vorstellbar, so, dass diese Information nicht da ist, also n1 und n2 nicht gegeben sind, weil man die so gesehen anhand der Randsummen einfach bilden kann. Das Signifikanzniveau hingegen sollte schon gegeben sein und 0,05 ist ein recht häufig verwendetes Signifikanzniveau. Ja, wie gesagt, die Randsummen hier in den Spalten, die ergeben sich einfach aufgrund der Summe der Stichprobe, also des Stichprobenumfangs quasi. Da haben wir unser n1 ist unser ho, haben wir weiterhin oben stehen als Koeffizienten, und hier unten ist es eine mögliche Schreibweise, und zwar haben wir hier unten stehen: ".1". "." im Sinne von es ist ja jetzt weder die Merkmalsausprägung 1, 2, 3, 4, 5, sondern es sind ja alle Merkmalsausprägungen und der 2. Koeffizient 1 für die 1. Stichprobe, ergibt 100. Bei den Volkswirten genau das gleiche Spiel. Der 1. Koeffizient kann hier durch den Punkt einfach markiert werden und der 2. ist 2, weil es die 2. Stichprobe ist. Das heißt dann haben wir hier 100 Stichprobenumfang 1. Stichprobe, 50 Stichprobenumfang 2. Stichprobe. Die Summe daraus ergibt 150, also insgesamt haben wir 150 Elemente entnommen. Idealerweise sollte sich diese Summe aus den beiden Zahlen ergeben und gleichzeitig aus der Summe dieser Spalte. Hier gleiches Spiel wie in der Zeile unten. Hier haben wir wiederum den 2. Koeffizienten als Punkt gesetzt, weil hier ja auch zusammengefasst wird: 1. Stichprobe und 2. Stichprobe, deswegen der 2. Koeffizient hier als Punkt. Die 1 vorne kann stehen bleiben, weil wir nur die Merkmalsausprägung 1 betrachten, die nämlich in der Summe auch von hier 1 und hier 1, also 8+1=9, kann die 1 hier stehen bleiben, weil sie in den beiden Elementen enthalten ist, die 9 ergeben. Ja, so viel zu der Aufgabenstellung. Eine Nullhypothese wäre an dieser Stelle auch angebracht, die haben wir hier unten stehen. Und zwar ist unsere Nullhypothese, dass die Qualifikation beider Gruppen homogen ist. Das heißt, wir rufen uns in Erinnerung, was wir mit dem Chi-Quadrat-Homogenitätstest überhaupt untersuchen. Wir überprüfen, ob mehrere Stichproben aus einer gleichen Grundgesamtheit stammen. Nun die Grundgesamtheit ergibt sich hier aus der Qualifikation. Also die Grundgesamtheit, die gemeinsame, die die Betriebswirte und die Volkswirte haben, ist die Qualifikation im Sinne von: sie sind qualifiziert, hinreichend. Also, das ist die homogene Grundgesamtheit, die wir untersuchen wollen, also ob Betriebswirte und Volkswirte quasi die gleiche Qualifikation haben und das ist auch unsere Nullhypothese mit der wir jetzt noch ein bisschen weiterrechnen. So, bis hierhin hatten wir an sich wenig zu tun. Wir haben bislang nur untersucht, was wir gegeben haben für so eine Aufgabe. Jetzt wird begonnen zu rechnen. Und zwar, wir fangen mal hier unten an, also ich fange mit der Erklärung für oben mit unten an. Und zwar, wie gehen wir vor? Wir haben jetzt die beobachteten Werte für die bestimmten Merkmalsausprägungen in Abhängigkeit der Stichprobe. Und was machen wir jetzt? Wir brauchen die erwarteten Häufigkeiten. Die erwarteten Häufigkeiten bekommen wir wie? Nun, wir haben ja einen Stichprobenumfang n1=100, einen Stichprobenumfang n2=100, das heißt, wenn wir das ins Verhältnis setzen 100/50, bekommen wir ein Verhältnis von 2:1. Dieses Verhältnis 2:1 muss so gesehen in jeder Merkmalsausprägung sichtbar sein, müsste es, das ist das, was wir rein statistisch gesehen erwarten würden. Das heißt, wie kommen wir jetzt auf unsere erwarteten Häufigkeiten? Also kurz Exkurs, diese Zelle, die ihr seht, also sagen wir mal, das ist eine Zelle, wie sie hier unten ist, und diese Zelle besteht jetzt links oben aus dem Wert aus der alten Tabelle, die wir gerade gesehen haben und ihr bestimmt abgeschrieben habt. Das ist also der Wert, den wir kennen, links oben und der rechts unten ist der neue, den wir jetzt quasi, ich sag mal, berechnen, es ist mehr oder weniger schlichtes Ableiten. So, das heißt, wie kommen wir auf den erwarteten Wert? Wir haben die Häufigkeit 9, das ist auch wie gehabt der gegebene Wert. 9 mal kommt die Note 1 vor. Wir wissen, wir haben ein Verhältnis von BWLern zu VWLern 2:1, das heißt, wir müssen die Häufigkeit 1 durch 3 teilen, dann bekommen wir 3, also 9÷3=3. Und diese 3 Teile teilen wir jetzt 2:1 auf, also 3×2=6 und 3×1=3. Also so gesehen haben wir die Häufigkeit 9 im Verhältnis 2:1, 2 BWLer, 1 VWLer aufgeteilt. Das ist dann eben der Wert, der rechts unten steht. Also, wir hatten wie gehabt in der vorigen Tabelle, dass 8 BWLer die Note 1 hatten, rein statistisch erwarten würden wir aber nur 6. Tatsächlich hat 1 VWLer eine 1, rein statistisch gesehen müssten es aber 3 sein, weil, wir haben ja das Verhältnis BWLer zu VWLer 2:1. Ja, so zieht sich das die ganze Zeit runter, das heißt hier noch ein anderes Beispiel. Wenn wir die Note 3 nehmen, haben wir 30. 30 teilen wir wieder auf in das Verhältnis 2:1, BWLer zu VWLer. Das heißt, wir würden erwarten, dass 20 BWLer die Note 3 haben und 10 VWLer die Note 3, dem ist aber nicht so. Es ist hier ein ganz anderes Verhältnis, wir haben nämlich nur 6 BWLer, die die Note 3 haben, also von wegen 14 weniger als erwartet, dafür haben wir 24 VWLer, die tatsächlich, also beobachtet, die Note 3 haben, obwohl wir eigentlich vom erwarteten Wert nur 10 erwarten würden. Ja, ich lese die Zahlen einfach mal noch vor, weil ich nicht genau weiß, wie gut ihr das erkennen könnt. Also wie gesagt, die Zahl links oben: 8 - 6 - 6 - 28 - 52 ist das, was ihr bereits aus der gegebenen Tabelle übernehmen könnt. Und die Werte rechts unten: 6 - 12 - 20 - 24 und 38 sind die Werte, die sich aus dem Verhältnis 2:1 ergeben, wenn wir jeweils die absolute Häufigkeit für eine Merkmalsausprägung, für eine Note betrachten. Hier das gleiche Spiel, haben wir bereits gegeben, das sind die beobachteten Werte: 1 - 12 - 24 - 8 und 5. Und die, die wir erwarten würden, die Werte, aufgrund des Verhältnisses 2:1 wären: 3 - 6 - 10 - 12 und 19. Das war der Schritt, keine höhere Mathematik, aber eine doch bedeutende Rechnung für unsere bevorstehende Testentscheidung. Also das soweit mitschreiben und im nächsten Schritt berechnen wir jetzt unsere Prüfgröße. So sieht die Rechnung dann in Vollendung aus. Wir haben hier die Formel, die ich euch vorher bereits gegeben habe zur Berechnung der Prüfgröße. Die Chi-Quadrat, diese Größe ergibt sich aus den beiden Summen, also im Sinne von Zeilen und Spalten über den beobachteten Wert minus den erwarteten Wert, das Ganze zum Quadrat dividiert durch den erwarteten Wert. Wir erinnern uns, wir bilden eine Differenz, weil wir eigentlich die Nullhypothese bestätigen wollen, dass die Abweichungen von dem erwarteten und dem beobachteten Wert recht gering sind, damit wir eben sagen können: Unsere Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit. Also, wie gehen wir vor? Ihr habt jetzt alle die Tabelle vor euch liegen, die ich euch gerade gegeben habe. Also, das heißt, wir haben hier 8-6, ihr erinnert euch oder seht es vor euch liegen, das ist der 1. Wert der 1. Stichprobe, also die BWLer. Wir haben tatsächlich 8 BWLer, die die Note 1 haben, erwartet hätten wir nur 6 BWLer, die die Note 1 haben, deswegen ho he geteilt durch die 6, also dieser Wert ist ja gleich dem Wert hier, dementsprechend ((8-6)2)/6. Wir gehen jetzt einfach, diese Zeile entspricht unserer 1. Stichprobe, der 1. Spalte, BWLer - VWLer. BWLer - VWLer gehe ich jetzt einfach so rüber. Nicht erschrecken, ich habe hier "...", ich habe die letzten zwei Noten weggelassen jeweils, also hier die 4er, 5er habe ich hier als Punkt markiert, ich hoffe, ihr verzeiht mir. Und in dieser Zeile eben auch die 4er und 5er weggelassen. An sich wären es natürlich sonst 5 einzelne Teile plus 5 einzelne Teile wären 10 und hier haben wir so gesehen die Noten 1, 2 und 3 für die BWLer und die Noten 1, 2 und 3 für die VWLer. Also ((6-12)2)/12, weil 6 haben wir beobachtet, 6 BWLer, die die Note 2 haben minus 12 BWLer, weil wir eben 12 erwartet hätten, geteilt durch 12. Und wir haben beobachtet 6 BWLer, die die Note 3 haben, erwartet haben wir 20 BWLer, die mit der Note 3 die Matheprüfung abschließen, quadriert, geteilt durch 20. So, in der 2. Zeile genau das gleiche Spiel. Wir haben also 1 VWLer, der die Note 1 hat minus 3, weil wir 3 erwartet hätten. Das Ganze wird quadriert und durch 3 dividiert. Und hier ebenso: 12 VWLer, die die Note 2 tatsächlich haben, minus 6 VWLer, das ist der Wert, den wir erwartet hätten, von wegen 6 VWLer haben wir berechnet, hätten die Note 2 rein statistisch gesehen bekommen müssen; geteilt durch 6 wieder. Bei der Note 3 sieht es genau so aus. Ich traue euch jetzt einfach mal zu, dass ihr das für euch berechnen könnt, das schafft ihr bestimmt. Eben daran denken, hier die Note 4 und 5 noch hinzufügen. Also auch wieder: Beobachtet minus erwartet zum Quadrat, das ist ein beliebter Fehler, ein beliebter Rechenschritt, den wir gerne weglassen, geteilt durch die erwartete Anzahl. Also das für die Noten 4 und 5 noch hier hinzufügen für die BWLer und hier für die VWLer auch noch 4 und 5. Ich hab das schon mal das Ganze vorbereitet. Hier kommt man summa summarum auf 57,9, also 57,9 ist unsere Prüfgröße Chi-Quadrat. Da sind wir auch schon beim finalen Akt, nämlich: Wir berechnen die Annahmekennzahl. Die Annahmekennzahl soll Chi-Quadrat sein. Chi-Quadrat, erinnern wir uns, ist abhängig vom Signifikanzniveau und vom Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad ergibt sich aus (q-1)×(m-1), das sind die Dimensionen, in die das Ganze ja aufgespannt wird. Und wodurch? Einerseits durch die Anzahl der möglichen Merkmalsausprägungen, wir haben 5 mögliche Merkmalsausprägungen, das sind die Noten 1 bis 5. Und wir haben 2 Stichproben, daraus ergibt sich dann (5-1)×(2-1), das ist dann 4×1=4. Das heißt, wir haben den Freiheitsgrad 4. Für diesen Freiheitsgrad, also Chi-Quadrat zum Signifikanzniveau 1-α, also 0,95 und dem Freiheitsgrad 4 bekommen wir aus dem Tabellenwerk den Wert 9,488. Dieser Wert soll jetzt diese Annahmekennzahl sein für diesen Test, wie wir vorhin im Voraus definiert haben, das heißt die 9,488 ist unsere Obergrenze, unser co. Das heißt, und was schließen wir daraus noch mal? Der Wert, den wir rausbekommen haben Chi-Quadrat, darf nicht oberhalb der Grenze liegen. Aber wie sieht es hier in der Realität aus, in dem Test? Wir haben 57,9, entspricht unserem Chi-Quadrat, das wir soeben berechnet haben, ist doch ein wenig größer als unsere 9,488, die unsere Annahmekennzahl, unsere Obergrenze bestimmen. Das heißt unser Chi-Quadrat* ist größer als unsere Obergrenze. Und was schließen wir daraus? H0 wird abgelehnt. Und weiter? Was war H0? Unsere Nullhypothese war, dass die VWLer und die BWLer aus der gleichen Grundgesamtheit stammen, also noch mal abstrakter, die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit. Die Stichproben waren die BWLer und die VWLer, die gleiche Grundgesamtheit war in unserem Fall die Qualifikation. Nun, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass H0 abgelehnt wird, können wir quasi mit dem Signifikanzniveau von 0,05 davon ausgehen, dass die Alternativhypothese korrekt ist, die da wäre, dass die BWLer und die VWLer nun mal nicht die gleiche Qualifikation haben. Das hätte man jetzt auch mit Kühen, Pferden und mit ganz anderen Sachen machen können usw., also nicht zu viel daraus schließen. Aber rein statistisch gesehen kommt dieser Test zu dem Schluss, dass BWLer und VWLer nicht die gleiche Qualifikation haben, hinsichtlich der Mathefähigkeiten versteht sich. Also das war unsere Grundgesamtheit, die wir untersucht haben und die entsprechenden Stichproben. Ja, das sind die Schlüsse, die wir aus diesem Beispiel ziehen, ich hoffe ihr zieht eure eigenen Erkenntnisschlüsse aus diesem Video und aus dem Chi-Quadrat-Homogenitätstest. Ihr erinnert euch noch mal, wir haben es hier mit einem Zwei- oder Mehrstichprobentest zu tun und diese verschiedenen Stichproben werden auf ein Merkmal hin untersucht, das in dem Fall die Note ist. Ansonsten hoffe ich, ihr habt ein bisschen was mitgenommen, macht euch eure Notizen, alles Gute weiterhin und bleibt der Statistik treu. Tschau!  

 

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Wenn ich die Prüfgröße Chi²* berechne, dann ergibt sich bei mir 42,273.
    Ich habe es bereits erneut berechnet und komme immer wieder auf dieses Ergebnis.

    Von Nadine S., vor fast 3 Jahren