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Transkript Statistik II - Video 5: Exponentialverteilung

Herzlich willkommen zusammen, sehr vernünftig, dass ihr auch heute wieder dabei seid. Wir fahren fort in unserer Reihe "Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung" und kümmern uns heute insbesondere um die Exponentialverteilung. Der Name lässt bereits Rückschlüsse auf die Struktur und den Verlauf dieser Verteilung zu, und wir gehen wie gewohnt an diese Verteilung heran. Nämlich: Beginnen wir zunächst mit dem Anwendungsbereich, wozu diese Verteilung verwendet wird, über die Struktur, die Definition, die ihr hier bereits seht, und zum Ende hin werden wir ein Beispiel dazu rechnen. Gut, was wissen wir bisher über Wahrscheinlichkeitsverteilungen? In der Regel sind sie definiert durch ihre Dichte und die Verteilungsfunktion (auf die Unterschiede werde ich jetzt nicht näher eingehen, das habt ihr bestimmt noch in Erinnerung). Was wichtig hingegen ist, ist die Parameteranzahl, und überhaupt, wie diese Parameter auf die Funktion wirken. Wir wissen: Die Normalverteilung besteht beispielsweise aus den beiden Parametern λ und σ2. In diesem Fall ist die Exponentialverteilung über den Parameter λ spezifiziert. Wie das geschieht, seht ihr hier: Wir haben einerseits λe-λx für diese speziellen Werte. Wie ihr seht, haben wir nur positive reellwertige λ-Werte und x-Werte, die wir hier einsetzen können (anhand des Graphens später wird das alles noch ein wenig deutlicher), und die Verteilungsfunktion ist wie gewohnt das Integral der Dichtefunktion, welches sich dann hier ergibt. Soviel zu der Definition vorab; gleich gibt es den Graphen dazu. Bevor wir uns nun den Verlauf der Funktion anschauen, wollen wir zunächst ergründen, wozu die Exponentialverteilung überhaupt gut ist, sprich: wo sie für uns Anwendung findet. Nun, die Exponentialverteilung ist das stetige, das kontinuierliche Pendant zur geometrischen Verteilung. Geometrische Verteilung rührt aus dem diskreten Bereich her, wir erinnern uns: Diese Thematik hatten wir zu Beginn des ersten Videos näher ergründet. Nun, wo findet die Exponentialverteilung Anwendung? Wir sind weiterhin bei Poisson-Ereignissen, sprich bei Ereignissen, die selten eintreten. Das könnten zum Beispiel sein: die Dauer eines Telefonats wäre ein möglicher Anwendungsbereich, ein weiterer wäre die Warte- und die Bedienzeit eines Kunden. Das sind so typische Aufgaben; oder auch die Brenndauer einer Glühlampe. Da müssen wir allerdings den Markov-Prozess uns vor Augen halten, sprich, dass da die Gedächtnislosigkeit vorliegt. Das bedeutet einfach, dass die Alterserscheinungen der Glühlampe für dieses Poisson-Ereignis nicht relevant sind. Gut, soviel zu den Anwendungsbereichen, zu den typischen Aufgaben, die uns später erwarten werden. Kommen wir nun zu dem Verlauf. Exponentialverteilungen: Wie der Name schon sagt, können wir uns schon ein bisschen denken, wie die Verteilung verläuft. Dementsprechend ist sie auch hier aufgezeichnet. Wir wissen, dass es für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine Fülle von verschiedenen Verteilungen gibt, so auch für die Exponentialverteilung haben wir aufgrund des Parameters λ eine ganze Familie von Verteilungen. Diese Zeichnung, die ihr hier seht, ist für den Wert λ=2 gezeichnet, und wir erhalten die typischen Verläufe von Dichtefunktionen, die sich hier gegen 0 annähern, das heisst, dass diese Ereignisse unwahrscheinlicher werden, und wir haben den typischen Verlauf einer Verteilungsfunktion, der sich dem Wert 1 annähert. Wichtige Werte für jede Verteilung sind noch der Erwartungswert und die Varianz (werden wir auch später bei der Beispielaufgabe noch sehen, wie wichtig die sind). Diese ergeben sich anhand der Exponentialfunktion in Form von 1/λ oder 1/λ2, also wie gehabt sind Erwartungswert und Varianz von dem Parameter der Verteilung abhängig. Häufig ist es so, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht einer Exponentialverteilung entspricht. Häufig jedoch können wir auch trotzdem die Exponentialverteilung verwenden, beispielsweise, wenn die poisson'schen Annahmen erfüllt sind. Diese sind hier im Einzelnen aufgelistet: Das ist die Ordinarität, die Stationarität und die Unabhängigkeit. Was bedeutet das im Einzelnen? Letztendlich: Ordinarität bedeutet nur, dass gleichzeitig nur ein Ereignis eintreffen kann, also nicht zwei Ereignisse zum gleichen Zeitpunkt. Stationarität bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit proportional zur Länge des Intervalls ist, das betrachtet wird, aber unabhängig von der Lage des Intervalls, wenn wir uns den Graphen noch mal verdeutlichen. Und Unabhängigkeit können sich die einen oder anderen bereits vorstellen: Es geht einfach nur darum, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unabhängig von der Anzahl der vorausgegangenen Ereignisse ist. Das sind die noch mal Annahmen im Einzelnen. Soweit diese vorliegen, können wir die Exponentialverteilung annehmen. Kommen wir direkt zur ersten Aufgabe zur Exponentialverteilung. Nun, was haben wir hier vorliegen bei einer derartigen Aufgabenstellung? Wir haben die Dichte sowie die Verteilungsfunktion für eine Exponentialverteilung, und in dem Fall den Erwartungswert µ=2,5min gegeben. Wie könnte eine typische Fragestellung lauten für derartige Angaben? Nun, es könnte beispielsweise gesagt sein, dass die Zeit zwischen zweier eintreffender Kunden exponential verteilt ist mit dem Erwartungswert µ=2,5min. Folgende Fragestellungen wären dazu denkbar: nämlich die Wahrscheinlichkeit für x5. Bevor wir versuchen, zu verstehen, worum es sich hier handelt, überlegen wir uns erst mal, was überhaupt dieses µ=2,5min bedeutet. Nun, ja, wenn wir uns vorstellen: Ein Kunde ist eingetroffen, also einmal ist das Ereignis passiert, dann dauert es im Mittel 2,5 Minuten, bis der nächste Kunde eintrifft. Das ist das, was uns hiermit gesagt wurde. Wonach ist jetzt hier gefragt? Hier lautet die Fragestellung zunächst für einen Kunden, und zwar: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde eintrifft, und zwar innerhalb der ersten 2 Minuten? Wir müssen uns dementsprechend immer den Einheiten bewusst sein, dass wir hier Minuten stehen haben. Also noch mal: wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde innerhalb der ersten 2 Minuten eintrifft? Im zweiten Aufgabenteil gehen wir von 2 Kunden aus, sprich, hier ist dann die Wahrscheinlichkeit gefragt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Kunden länger als 5 Minuten brauchen, bis sie eintreffen? Darum kümmern wir uns gleich. Gut, dann gehen wir über zum ersten Aufgabenteil. Zunächst: Wir haben µ gegeben, aber wenn wir unsere gegebenen Verteilungen benutzen wollen, brauchen wir nicht µ, sondern λ. Wie kommen wir darauf? Wie wir gerade kennengelernt haben, ist µ=1/λ. Durch recht simple Umformung kommen wir dann darauf, dass λ=1/µ ist. Wenn wir die entsprechenden Werte noch einsetzen, haben wir 1/2,5, das können wir nun durch einfache Umformung in eine andere Schreibweise überführen, dann haben wir hier 0,4 für unseren Parameter λ. Noch kurz: wem das jetzt nicht ganz klar ist, warum wir das machen: Das sind so gesehen die einzigen Funktionen, die einzigen Anhaltspunkte, die wir haben, um diese Aufgabe zu lösen. Wir suchen hier eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, nämlich, dass dieser Kunde zwischen 0 und 2 Minuten eintrifft. Deswegen: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzen wir hier? Wir benutzen die Verteilungsfunktion. Dementsprechend haben wir hier vorliegen: F von... Nun, was setzen wir jetzt ein für t? t ist unser Zeitraum, der gesucht ist, nämlich =2. Dementsprechend setzen wir den Rest ein... -0,4×2min. Also, ihr seht, ich habe jetzt hier λ und t eingesetzt. λ haben wir aus der Umformung von µ herausgefunden, und t ist einfach die Fragestellung. Wie können wir das nun weiter umformen? Nun ja, je nachdem, wie fit man mit dem Taschenrechner ist, oder in Algebra, lohnen sich noch einige weitere Umformungen. Das hier wäre eine Möglichkeit, dass wir sagen: 1-1/e0,8, und das entspricht dann diesem Wert: 0,5507. Wofür steht dieser Wert jetzt? 0,5507 entspricht dann der Wahrscheinlichkeit von 55,07%. Versuchen wir noch, gemeinsam einen Antwortsatz zu formulieren. Wie lautet jetzt dieser für die Aufgabenstellung? Genau: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 55,07% kommt ein Kunde innerhalb der ersten 2 Minuten. Das ist die Antwort auf diese Aufgabenstellung. Kommen wir direkt zum zweiten Aufgabenteil. Im zweiten Aufgabenteil, b, ist die Wahrscheinlichkeit P(x>5) gesucht, sprich, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als 5 Minuten dauert, bis 2 Kunden eintreffen? Nun, eine äußerst interessante Fragestellung selbstverständlich, sonst würden wir sie hier auch nicht behandeln. Doch wodurch unterscheidet sie sich jetzt zur ersten Aufgabenstellung? Abgesehen davon, dass nach einer anderen Zeit gefragt ist, im Vergleich 2 zu 5 Minuten, genau, müssen wir hier beachten, dass wir von 2 Kunden reden. Was bedeutet das jetzt? Nun ja, unser µ2 muss sich anpassen, denn dieser Erwartungswert, 2,5, entspricht dem Erwartungswert, dass ein Kunde eintrifft. Wenn wir jetzt von zwei Kunden sprechen, müssen wir unseren Erwartungswert mit 2 multiplizieren und bekommen 5. Sprich, hätte man sich auch denken können im Voraus: Der Erwartungswert, dass zwei Kunden eintreffen, ist 5 Minuten. So, was fangen wir nun mit dieser zusätzlichen Information an? Nun können wir fast 1 zu 1 so vorgehen, wie wir es bereits im ersten Aufgabenteil getan haben, sprich, unser λ2=1/µ2=1/5, und das entspricht 0,2. Ja, des Weiteren kommt jetzt ein neuer Unterschied 'rein, nämlich: hier ist nicht nach "kleiner" gesucht, sondern nach "größer". Was bedeutet das jetzt für uns? Nun, wir können jetzt nicht einfach den Wert der Verteilungsfunktion nehmen und 5 einsetzen, weil das wäre ja kleiner gleich 5. Aber wir suchen ja die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als 5 Minuten dauert, sprich, wenn wir uns den Graphen vor Augen halten, suchen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte, die von 5 nach rechts geht, Richtung positives unendlich. Das heißt: Wenn wir P(x>5) suchen, müssen wir 1-F(5) rechnen.Sprich: 100%, die gesamte Wahrscheinlichkeit, die wir haben; von dieser subtrahieren wir alles, was links von 5 liegt, und wir haben unsere Wahrscheinlichkeit, die wir suchen. Eingesetzt ergäbe das folgendes: ...-e-0,2×5... und das entspricht... 1 und 1 kürze ich 'raus... Letztendlich haben wir 1/e1 da stehen, und das entspricht 0,3679. Kann man natürlich auch in den Taschenrechner eingeben, wenn man's nicht gerade weiß. Ja, was bedeutet das nun, 0,3679? Wenn wir unsere Antwort hier formulieren: Wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 36,79% als Ergebnis. Nach den Vorkenntnissen, die wir aus unserem Aufgabenteil a haben, können wir nun schließen, wie sich der Antwortsatz für Aufgabe b nun zusammensetzt. Genau, und zwar: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 36,79% dauert es länger als 5 Minuten, dass 2 Kunden eintreffen. Welche Wahrscheinlichkeiten sind jetzt beinhaltet? Es sind viele Szenarien denkbar. Es ist denkbar, dass ein Kunde in der ersten Sekunde eintrifft, und der andere in der vierten Minute und 59. Sekunde eintrifft. Es ist genauso gut möglich, dass der eine nach 2 Minuten eintrifft und der andere nach 3. So gesehen: Diese sämtlichen Szenarien, wann die Kunden eintreffen, sind dort enthalten in dieser Wahrscheinlichkeit, bis auf... Welches Szenario ist da nicht enthalten? Welches ist nicht möglich? Genau, aufgrund der Poisson'schen Annahme ist es nicht möglich, dass 2 Kunden gleichzeitig eintreffen, zum Beispiel zur zweiten Minute. Dieses Szenario ist in der Wahrscheinlichkeit nicht enthalten, weil wir sonst die Exponentialverteilung nicht nutzen könnten. Soviel zu diesem Beispiel. Ich hoffe, anhand dieses Beispiels konntet ihr ein bisschen sehen, wie der Umgang mit der Exponentialverteilung funktioniert. Das soll es im Allgemeinen auch schon zur Exponentialverteilung gewesen sein; viel mehr müsst ihr dazu nicht wissen. Was müsst ihr wissen? Noch mal kurz zusammengefasst: Wir haben gelernt: Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie besitzt den Parameter λ in ihrer Dichte und Verteilungsfunktion, den wir beispielsweise über den Wert für den Erwartungswert bekommen und somit anwenden können. An sich gilt es für Poisson-Ereignisse, sprich, für selten eintretende Ereignisse; die Verteilungsfunktion, der Verteilungsverlauf ist euch auch geläufig anhand des Graphen, und nun heißt es einfach nur: üben, üben! Anhand dieses Know-hows sollte das ganz gut funktionieren. Nächstes Mal werden wir uns mit der Chi-Quadrat-Verteilung beschäftigen, und es wartet wieder eine Menge an interessanten Informationen auf euch. Bis dann!

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2 Kommentare
  1. Default

    Hallo Sethar,
    => 6:48
    X5 sind Minutenangaben
    => X=1 und X=0 sind Minute 0 und 1.
    Und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde in der 0 Minute (!) ankommt, muss nicht abgezogen werden.

    @Produzent evt. wäre es besser gewesen "Minuten" auch auf dem Whiteboard irgendwo unterzubringen.
    Schade finde ich auch, dass ich die ins Video eingebundenen Kommentare nur lesen kann wenn ich direkt an der Stelle bin (insbesondere wenn heruntergescrollt werden muss), in einem anderen Video lag auch ein Kommentar über dem anderen, sodass man den hinteren nicht lesen konnte.

    Von Deleted User 36276, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Bei 6:41, sagen sie das durch P(X<2 umfasst aber die Elementarereignisse X=1 und X=0, also das ein Kunde kommt oder gar keiner. Müsste man da nicht, wenn man die Wahrscheinlichkeit für einen Kunden haben will, noch P(X=0) abziehen? Denn mit dem Integral von 0 bis 2 berechnen sie ja die Wahrscheinlichkeit das X eine Zahl aus dem Intervall von 0 und 2 annimmt. Oder bringe ich hier was entscheident durcheinander?

    Von Sethar, vor fast 5 Jahren