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Transkript Statistik II - Video 23: Gütekriterien von Schätzfunktionen

Herzlich willkommen zusammen und gut, dass Ihr auch heute wieder dabei seid. Wir fahren fort mit dem Thema Schätzfunktionen und schauen uns heute insbesondere Gütekriterien von Schätzfunktionen an. Nun, was für einen Sinn macht das Ganze? Wie der Name schon sagt, geht es hier um die Effizienz der Schätzfunktionen. Das heißt wir haben bestimmte Schätzfunktionen gegeben und wollen nun herausfinden, wie geeignet die Schätzfunktion tatsächlich ist, um bestimmte Informationen herauszufinden. Ja, an der Tafel seht Ihr die Gütekriterien, die Eigenschaften von Schätzfunktionen, die wir uns heute anschauen. Das sind eben diese 4: Erwartungstreue, Wirksamkeit, Konsistenz und Robustheit. Auf die werden wir heute näher eingehen und schauen, inwiefern sie unsere Schätzfunktion beeinflussen und unser bisheriges Wissen bereichern. Was lässt sich bezüglich der Wirksamkeit von Schätzfunktionen sagen oder auch Effizienz genannt. Nun es sind insgesamt 3 Eigenschaften zu erfüllen. Diese sind wie folgt: 1. Muss die Schätzfunktion erwartungstreu sein, sonst brauchen wir uns das Gütekriterium der Wirksamkeit gar nicht näher zu betrachten, das heißt, diese Voraussetzung muss vorher erfüllt sein. Die 2. Eigenschaft muss gegeben sein nämlich, dass die Varianz der Schätzfunktion, dass diese endlich ist, also wir dürfen keine unendlich hohe Varianz haben, ansonsten ist die Funktion nicht wirksam. Das Zweite, was dann ist: Wirksam, da können wir fast von wirksamer sprechen. Nämlich es darf keine andere Schätzfunktion geben, die hier jetzt mit Q^ bezeichnet ist. Das ist eine andere Funktion als die Schätzfunktion, die letztendlich als wirksam tituliert werden soll, oder nicht. Diese andere Schätzfunktion darf keine Varianz haben, die kleiner ist als die Varianz der Schätzfunktion, die wirksam sein soll. Also wie gesagt, diese Varianz darf nicht kleiner sein als die. Sprich die Varianz unserer Schätzfunktion, die wirksam sein soll, soll die kleinste Varianz haben. Lasst uns an dieser Stelle versuchen, das Gütekriterium Wirksamkeit grafisch nachzuvollziehen. Was haben wir hier gegeben? Kenner unter Euch, unter uns werden direkt festgestellt haben, hierbei handelt es sich um Dichtefunktionen, dreier Schätzfunktionen. Das heißt, wir haben die Schätzfunktion Q1, Q2, Q3. Also Q1,2,3. ^ weil es sich um eine Schätzfunktion handelt. Diese Schätzfunktion ist abhängig von unserem Parameter q^ und die Dichtefunktion ist hier dargestellt, als f abhängig von der jeweiligen Schätzfunktion, die hier im Index stehen soll. Gut, also wir haben die Dichtefunktion gegeben. Was sind wesentliche Merkmale der Dichtefunktion? Nun an dieser Stelle sei es der Erwartungswert. Den haben wir hier für die Funktion 1 und 2 an dieser Stelle. Die haben den gleichen Erwartungswert, wohingegen die dritte Dichtefunktion, hat den Erwartungswert für den Parameter Q an dieser Stelle. Das heißt, die unterscheiden sich hier und der Erwartungswert der Schätzfunktion Q3 > als der tatsächliche Parameterwert q. Was bedeutet das? Diese Funktion fällt weg. Sie ist nicht erwartungstreu. Also diese Schätzfunktionen sind erwartungstreu. Da wir sagen können, der Erwartungswert der beiden Schätzfunktionen, stimmt mit dem tatsächlichen Parameter überein. Das heißt 3 fällt weg, weil nicht erwartungstreu. Wir befinden uns nur noch bei 1 und 2. Jetzt gehen wir weiter und prüfen, auf Wirksamkeit. Wir erinnern uns, was haben wir gesagt, endliche Varianz muss gegeben sein. Die ist in beiden Fällen gegeben und nun müssen wir noch betrachten, welche Varianz kleiner ist. So gesehen, welche Schätzfunktion eine kleinere Varianz hat und daher eben genauer ist. Nun das ist, wie sich unschwer erkennen lässt, die zweite Funktion. Also die zweite Funktion hat eine kleinere Varianz um den Erwartungswert und ist somit die wirksamere Schätzfunktion an dieser Stelle. Was hat das eigentlich mit der Eigenschaft der Konsistenz auf sich? Nun eine konsistente Schätzfunktion liefert um so bessere Schätzwerte für den entsprechenden Parameter q, je größer der Stichprobenumfang ist. Das ist logisch, denn wenn unser Stichprobenumfang der kompletten Grundgesamtheit entspricht, sollte unser in Anführungsstriche Schätzwert ja dem exakten Parameter entsprechen. So, wie schaut diese vereinfachte Aussage nun mathematisch formal aus? Bedeutet nichts anderes als hier lim n gegen unendlich, also wenn wir n gegen unendlich laufen lassen, ist die Wahrscheinlichkeit = 1, dass, was ist?  Dass der geschätzte Parameter und der tatsächliche Parameter, dass diese Differenz aus diesen beiden Werten kleiner einem bestimmten Wert Epsilon ist. Epsilon kann beliebig was > 0 sein. Also anders ausgedrückt. Die Differenz der beiden geht quasi gegen null und diese Wahrscheinlichkeit soll = 1 sein, wenn n, unser Stichprobenumfang, gegen 0 läuft. Die Eigenschaft der Suffizienz lässt sich ganz kurz und schmerzfrei zusammenfassen. Nämlich soweit, dass man sagt. Eine Schätzfunktion Q^ ist dann suffizient oder eben erschöpfend, wenn es quasi keine andere Schätzfunktion Q^ gibt, die weitere Aussagen über unseren unbekannten Parameter q gibt. Das war es vom Gütekriterium Suffizienz. Kommen wir zum ersten Gütekriterium der Schätzfunktion, ja hierbei handelt es sich um die Erwartungstreue, die wir uns zunächst anschauen. Im Laufe des Videos wird Euch auffallen, dass auch bei den anderen Kriterien die Namen bereits gewisse Rückschlüsse auf die tatsächliche Bedeutung der jeweiligen Eigenschaft haben werden. Nun worum handelt es sich bei der Erwartungstreue? Im Endeffekt geht es darum, dass der Erwartungswert unserer Schätzfunktion dem tatsächlichen gesuchten Parameterwert entsprechen soll. Das ist die Kurzfassung. Ein Beispiel hatten wir dazu indirekt bereits in einem vorigen Video, und zwar im Video Stichprobenfunktionen, da hatten wir uns ein Urnenexperiment angeschaut. Aus diesem Urnenexperiment gingen bestimmte Kenntnisse vor. Wir entnahmen Stichproben, haben diese analysiert und wir sind draufgekommen, dass der Erwartungswert unseres Stichprobenmittels nämlich exakt dem Erwartungswert der Grundgesamtheit entspricht, dem Mittelwert. So, das heißt, damals haben wir das schon bewiesen, dass die Schätzfunktion Stichprobenmittelwert, dass diese Schätzfunktion erwartungstreu ist, weil das Ergebnis eben µ ist und dem tatsächlichen Parameter der Grundgesamtheit entspricht. Also, wenn dieser Sachverhalt so gesehen bewiesen ist und das gilt für bestimmte Funktionen, die wir uns noch im weiteren Verlauf anschauen werden, dann sprechen wir von einer erwartungstreuen Schätzfunktion. Das war es auch schon wieder für heute, wir haben heute die verschiedenen Gütekriterien kennengelernt, von Schätzfunktionen, die sollen uns einfach helfen, Schätzfunktionen, die wir kennen oder die wir neu kennenlernen, zu bewerten. Ja, das war es, wir haben einige Brücken geschlagen zu vorigen Themen und die Schätzfunktionen an sich, kommen zum Einsatz, wenn es darum geht, entsprechende Konfidenzintervalle zu berechnen. Also kann ich es nur empfehlen, schaut Euch auch die entsprechenden praktischen Videos dazu an. Dazu gehören dann die Videos zu den Konfidenzintervallen, einerseits die Vorlesung, aber eben auch insbesondere die Übungen zu den entsprechenden Intervallen. Gut dann, viel Erfolg mit dem Gelernten und bis zum nächsten Mal.

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1 Kommentar
  1. Default

    Der eingangs erwähnte Begriff der Robustheit wurde anschließend gar nicht erklärt. Gehe ich richtig in der Annahme, dass dies ein Synonym zur Suffizienz ist?

    Von V. Schoch, vor mehr als 3 Jahren