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Transkript Statistik II - Video 12: Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Übung 4

Wir kommen zu einer weiteren anderen Aufgabenstellung, und zwar schauen wir uns jetzt an: das, was wir gegeben haben. Nämlich die Wahrscheinlichkeit P, dass die standardnormal verteilte Zufallsvariable Z kleiner einem bestimmtem Wert A ist. Und diese Wahrscheinlichkeit, dass Z kleiner A ist, ist gleich 0,7. Ja, wonach könnte hier gefragt sein? In dem Fall suchen wir A, sprich wir suchen die Grenze in der Standardnormalverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte (die Wahrscheinlichkeit also unterhalb der Dichtefunktion) in 2 Teile teilt, und zwar in einen Teil 0,7 und den anderen Teil 0,3. Da diese Wahrscheinlichkeit 0,7 ist und wir wissen, dass hier 0,5, dass das die Grenze ist, 50:50, wir haben ja eine symmetrische Funktion (die verteilt das eben um den Ursprung), wissen wir, dass unser Wert A irgendwo also in dieser Richtung liegen muss, rechts des Ursprungs. Das ist ein kleiner Wissensvorsprung, den wir hier haben. Entscheidend ist jedoch nun der Umgang mit der Tabelle. Und zwar ist es jetzt so: Wir haben in der Tabelle als Achsen jeweils den Z-Wert in unterschiedlichen Dezimalstellen gegeben und als Koordinate innerhalb der Tabelle eben steht die Wahrscheinlichkeit dann. Derjenige, der das Tabellenwerk momentan vor sich liegen hat, dem wird auffallen, dass dort nicht exakt der Wert 0,7 da steht, sondern nur etwas drum herum. Nun, wir müssen einfach nun entscheiden, welche Grenze nehmen wir hier, dass wir sagen Z<A=0,7, exakt geht es nicht. Wir können uns nun beispielsweise einfach für den Wert A=0,52 - das ist definitiv richtig, wenn wir etwas genauer reingehen wollen, können wir aber auch beispielsweise hier 4 nehmen. So gesehen, was haben wir jetzt hier rausgesucht aus der Tabelle? Dieser Z-Wert, sagen wir mal der ist hier, 0,524, dieser Z-Wert teilt nun unsere Glocke in zwei Teile. Nämlich hier drinnen haben wir dann 0,7% und auf der anderen Seite die übrig gebliebenen 0,3%. Also das ist eine weitere Aufgabenstellung, die wir hier somit kennengelernt haben, dass wir den entsprechenden Z-Wert suchen, der die Wahrscheinlichkeit in einen bestimmten Teil aufteilt. Nun, die Aufgabenstellung lässt sich wie hier gezeigt erweitern. Und zwar haben wir gegeben die Wahrscheinlichkeit 0,6 dafür, dass die standardnormal verteilte Zufallsvariable Z innerhalb des Intervalls liegt, das von -C bis C aufgespannt ist. Wir versuchen uns das Ganze einmal zu visualisieren, das ist an sich immer eine sehr gute Herangehensweise an derartige Aufgaben. Das heißt, wir haben beispielsweise hier -C, hier unser +C, und diese Werte spannen nun ein Intervall auf. Dieses Intervall entspricht 60% der Fläche, also ist hier drunter eine Wahrscheinlichkeit von 0,6 gegeben. Was hilft uns das jetzt weiter? Nun, wir überlegen uns, was außerhalb dieser 0,6, außerhalb dieses Intervalls passiert. Und zwar haben wir als restliche Fläche gegeben, dass wir sagen 1-0,6 entspricht 0,4 und diese 0,4 sind ja so gesehen aufgeteilt auf die linke Seite des Intervalls und auf die rechte Seite des Intervalls. So, und zwar haben wir hier 0,2, hier 0,2 - was hilft uns das jetzt? Nun, das verdeutlicht uns nun, dass C an sich, wenn wir sagen unabhängig von -C, spaltet diese Wahrscheinlichkeit auf in diesen Teil, rechts von C gesehen 0,2 und den restlichen und der restliche ist 0,8. Sprich wir haben links von C eine Wahrscheinlichkeit von 0,8, sprich 80% der Fläche. Nun, und mit dieser Idee können wir nun aus der Tabelle den Wert für 80% entnehmen, also für den Wert 0,8. Und dieser Wert für 0,8 - das heißt, wir haben für C den Wert 0,842. Warum? Weil bei 0,842 steht die Wahrscheinlichkeit von 0,8 da, und 0,8 ist genau das, was wir nun mal hier von -∞ bis +C haben. Und woher wissen wir, dass wir das brauchen? Wir haben nämlich gesagt, dass rechts von C einfach noch eine Wahrscheinlichkeit von 0,2 verteilt ist. Und somit haben wir dann den Wert für C mit 0,842 bestimmt. Mittlerweile sind wir mit der Normalverteilung, der Standardnormalverteilung, durchaus vertraut, würde ich mal ganz mutig behaupten. So, dass wir uns nun etwas anderen Aufgabenstellungen widmen, wie hier gezeigt. Und zwar sehen wir hier schon eine wenig andere Verteilung, wie wir sie gewohnt sind, denn unsere Zufallsvariable X ist zwar weiterhin normal verteilt, allerdings haben wir keinen Zahlenwert für den Parameter μ. Ja, die Varianz ist weiterhin gegeben mit 100 und wir haben hier eine Voraussetzung gegeben, die wir nun versuchen gemeinsam zu interpretieren. Also, was haben wir hier? Es ist eine Voraussetzung, die erfüllt sein soll, und zwar Folgende: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X>60 ist, soll <0,04 sein. Einige Fragezeichen, vielleicht, vielleicht auch nicht. Wir visualisieren das Thema einmal und kommen der Lösung auf diese Art und Weise auf die Schliche. Das Intervall hier proportioniere ich jetzt absichtlich ein wenig über, damit das nur einmal deutlich wird. Wir haben hier diesen Teil von 0,04. Und dieser Teil von 0,04 wird durch diese Grenze aufgespannt und soll nicht größer als 0,04 werden. Nun, wir sind hier noch in der Standardnormalverteilung, hier in der Normalverteilung, das ändern wir jetzt erst mal. Dafür verwenden wir unsere bekannte Umformung, und zwar gehen wir jetzt davon aus, wir formen X in Z um, wie gehabt haben wir jetzt X-μ, also (60-μ) geteilt durch unser σ, geteilt durch 10, und das soll <0,04 sein. Nun, wie zeigt sich jetzt dieses Ergebnis hier unten eigentlich? Wo finden wir das in welcher Form? Wir sagen, μ soll einen bestimmten Wert annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Z größer diesem Wert ist, <0,04 beträgt. So, das heißt, wie haben hier nichts anderes als die Grenze selber, (60-μ)/10. Diese Grenze, die wir hier aufspannen, die ist ja hier definiert, Z sollte eben nur unter dieser Voraussetzung größer sein als diese Grenze. Ja, das heißt, was passiert nun mit dieser Grenze, wenn wir μ verändern? Gehen wir davon aus, dass μ wächst. Umso größer μ wird, desto kleiner wird der Zähler. Also, umso kleiner der Zähler wird, desto kleiner wird der komplette Wert, und die Grenze verschiebt sich nach links. Nun, ein anderes Beispiel: Wenn μ kleiner wird, wird der Zähler größer und die Grenze verschiebt sich nach rechts. Nun, und da hier die Voraussetzung ist, dass es kleiner 0,04 sein soll, diese Fläche, ist es uns lieber, wenn es sich nach rechts verschiebt, also wenn μ kleiner wird. Dementsprechend, was suchen wir hier? Wir suchen für μ eine Obergrenze. Und wenn diese Obergrenze überschritten wird, ist unser Wert hier zu weit links, und damit dieser Abstand hier, dieses Intervall, zu groß. Ja, das heißt, wie gehen wir jetzt vor? 0,04 ist unsere Wahrscheinlichkeit. Das heißt, wir suchen jetzt den entsprechenden Z-Wert raus für die Wahrscheinlichkeit 1-0,04, und das entspricht gleich 0,96. Das heißt, diese Wahrscheinlichkeit suchen wir jetzt in der Tabelle für die Standardnormalverteilung. Wer schon dabei ist, dem wird aufgefallen sein, dass es diese Wahrscheinlichkeit 0,96 nicht exakt gibt, das heißt, jetzt müssen wir uns zwischen zwei Zahlen entscheiden, nämlich eine, die ein wenig kleiner als 0,96 ist, die andere, die ein wenig größer als 0,96 ist. Nun ja, wie entscheiden wir uns nun in diesem Fall? Hier gibt es eine ganz klare Anweisung, und zwar dass das Intervall kleiner als 0,04 sein soll. Dementsprechend ist es die einzige Möglichkeit, dass wir den Wert nehmen, der geringfügig größer ist als 0,96. Weil ansonsten haben wir ein größeres Intervall hier rechts als die 0,04. Nun, der Wert, den wir also suchen, ist letztendlich (60-μ)/10, und das Ganze ist jetzt verteilt um den Wert 1,751. 1,751 ist der Z-Wert, der hier für 96%, für 0,96, steht. Ja, warum haben wir jetzt hier dieses Vorzeichen umgedreht? Nun, wir haben ja gesagt, uns ist hier lieber, dass die Grenze sich nach rechts bewegt. Also, so gesehen diese Grenze, definiert durch (60-μ)/10, kann nur größer als dieser Wert 1,751 sein, denn wenn sie kleiner ist, wird dieser Bereich größer als 0,04. Nun, was folgt jetzt daraus? Durch leichte Umformung erhalten wir so gesehen 60-μ>17,51. Jetzt teilen wir hier mal ganz geschickt die Tafel noch auf, sodass wir hier weiter rechnen können. Das heißt, wir haben letztendlich 60-17,51≥μ, und das entspricht der Voraussetzung, dass wir sagen μ soll kleiner sein als, was haben wir jetzt hier, als 42,49. Nun, das ist das Ergebnis für μ. Ich hoffe, ihr habt jetzt so ein bisschen verstanden, anhand der Visualisierung, wie wir darauf gekommen sind. So gesehen, wenn μ<42,49 ist, bewegt sich diese Grenze, also für alle Werte von 0 bis 42,49, eher nach rechts, und das darf sie ja, weil wir gesagt haben, das Intervall muss kleiner als 0,04 sein. Wenn nun allerdings μ größer als diese 42,49 ist, bewegt sich unsere Grenze hier nach links. Und was bekommen wir dann daraus? Dass dieses Intervall >0,04 ist. Also somit für die Fragestellung, wie groß darf μ höchstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit X>60<0,04 ist, haben wir hier unsere Antwort: μ ist gleich diese 42,49.                

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1 Kommentar
  1. Default

    Ich habe für den Wert C einen Wert von 0,7881 in der Tabelle gefunden. Wie kann ich mir das erklären?

    Von Nadine S., vor etwa 3 Jahren