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Transkript Reelle Zahlenfolge 3 - Häufungspunkte

Hallo liebe Schüler, liebe Studenten! Hier ist Dr. Vodopivec. Heute werden wir uns mit Häufungspunkten einer reellen Zahlenfolge beschäftigen. Häufungspunkte werden oft Häufungswerte genannt. Wir werden zuerst den Begriff Teilfolge einer Folge definieren und einige Beispiele dazu angeben. Dann definieren wir die Häufungspunkte einer Folge und geben wir an, einige wichtige Beispiele und Sätze dazu. Einer der grundlegendsten Sätze ist der sogenannte Bolzano-Weierstraß-Satz. Anschließend definieren wir limsup und liminf. Dazu geben wir auch Beispiele an. Zum Schluss werden wir die wichtigsten Sätze zum Thema Häufungspunkte angeben. Teilfolgen. Seien (an):=(a1,a2,a3,...) eine reelle Zahlenfolge und (nk):=(n1,n2,n3,...) eine Folge natürlicher Zahlen mit n1<n2<n3<... und so weiter, dann heißt (ank)= Teilfolge von (an). Als Beispiel geben wir nun einige Teilfolgen von (an) an. Wenn wir also endlich viele oder unendlich viele aber nicht fast alle Folgenglieder der Folge (an) weglassen, entsteht eine Teilfolge von (an). Nun geben wir einen wichtigen Satz an. Eine Folge (ab) ist genau dann konvergent, wenn jeder ihrer Teilfolgen konvergiert. In diesem Fall konvergiert jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert, nämlich gegen den Grenzwert von (an). Häufungspunkte oder Häufungswerte. Eine reelle Zahl a ist definitionsgemäß genau dann ein Häufungspunkt der Folge (an), wenn zu jedem ε größer als 0 und zu jeder natürlichen Zahl großes N ein kleines n existiert, sodass Betrag von |an-a|<ε ist. Diese Definition ist gleichbedeutend mit der folgenden. Zu jedem &epsilon">;>0 gibt es unendlich viele Folgenglieder an mit Betrag von |an-a|<ε. Das ist äquivalent zur folgenden Aussage. In jeder ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgenglieder an. Das ist weiter äquivalent zu: Es existiert eine Teilfolge (ank) von (an) mit dem Grenzwert a. Beispiel: Sei an:=1+(-1)n, also (an)=(0,2,0,2,...). Diese Folge hat trivialerweise zwei Häufungspunkte: 0 und 2. Im Folgenden geben wir einige wichtige Sätze an: Wenn eine Folge konvergiert, dann hat sie nur einen Häufungspunkt. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch. Der zweite Satz: Wenn eine Folge nicht genau einen Häufungspunkt hat, dann divergiert die Folge. Die Umkehrung ist hier auch falsch. Dass die beiden Umkehrungen falsch sind, zeigen wir durch das Gegenbeispiel mit (an)=(1,0,3,0,5,0,7,...). Diese Folge divergiert, obwohl die Folge genau einen Häufungspunkt hat. Der nächste Satz besagt, eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt. Uneigentliche Häufungspunkte. ∞ ist definitionsgemäß genau dann ein uneigentlicher Häufungspunkt von (an), wenn es zu jeder reellen Zahl R viele Folgenglieder der (an) gibt, so dass an>r ist. Oder es gibt eine Teilfolge von (an) die gegen unendlich bestimmt divergiert. Oder (an) ist nach oben unbeschränkt. -∞ kann auch ein uneigentlicher Häufungspunkt sein, wenn größer > durch kleiner < ersetzt wird. Oder ∞ durch -∞. Oder "oben" durch "unten" ersetzt wird. Beispiel: Die Folge (1,0,3,0,5,0,7,...) hat einen eigentlichen Häufungspunkt, nämlich die 0 und einen uneigentlichen Häufungspunkt, nämlich ∞. Bolzano-Weierstraß-Satz Jede beschränkte reelle Folge besitzt einen reellen Häufungspunkt. D. h. eine konvergente Teilfolge. Oder anders formuliert: Jede reelle Folge besitzt einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungspunkt. limsup und liminf Im Folgenden sei (an) eine reelle Zahlenfolge. Wir definieren: limsupan als der größte  und liminfan als der kleinste Häufungspunkt von (an). limsup wird oft mit lim Oberstrich an und liminf mit lim Unterstrich an bezeichnet. Hier ist noch zu beachten, dass der größte bzw. der kleinste Häufungspunkt im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn gemeint ist. limsup und liminf können also reelle Werte oder + bzw. - ∞ annehmen. Beispiele: Die Folge (1,1,1,1,...) hat genau einen Häufungspunkt, nämlich die 1. Und so mit sind limsup und liminf gleich zueinander. Im nächsten Beispiel erhält man 2 Häufungspunkte. Und limsup =1 und liminf =0. Bei der Folge (1,0,3,0,5,0,7,...) erhält man limsup =∞ undliminf =0. Zu diesem Thema geben wir noch einen Satz an: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn limsup und liminf reelle Werte annehmen und zueinander gleich sind. Zum Schluss geben wir alle wichtigen Sätze von heute auf einen Blick an:  Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert, bzw. wenn die Folge beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt, bzw. wenn limsupan=liminfan ist und in R liegt. Zum Schluss noch mal Bolzano-Weierstraß-Satz: Jede beschränkte reelle Folge besitzt einen reellen Häufungspunkt. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Und viel Spaß beim Lernen! Euer Dr. Vodopivec.

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3 Kommentare
  1. Default

    Danke

    Von Stuschud, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Danke, das Video hat mir sehr geholfen.
    Kurz und knackig, das wichtigste ist drin und gute Beispiele.

    Von Gammerdinger, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Sehr schön gemacht, etwas schnell, aber gut! Danke!
    Die Beweise der Sätze wären noch interessant.

    Von Rueschendorfer, vor fast 3 Jahren