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Transkript Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion

Hallo liebe Schüler, liebe Studenten. Hier ist Dr. Vodopivec. Heute werden wir zeigen, wie man die komplexen Zahlen in arithmetischer Darstellung addiert und subtrahiert. Die arithmetische Darstellung einer komplexen Zahl Z wird in der Form Z=a+bi angegeben. Dabei sind a und b Elemente von R. Die reelle Zahl a wird Realteil von Z genannt. Die Zahl b heißt Imaginärteil von Z und die Variable i wird aus \sqrt(-1) definiert. Im Folgenden zeigen wir, wie man 2 komplexe Zahlen addiert. Zur Erinnerung, das Rechnen in Komplexen entspricht im Rechnen mit den Termen im Reellen. Dabei gelten insbesondere Assoziativität, Kontraktivität und Distributivgesetze. Also Zahlen. Z1=a+bi und Z2=c+di. Zwei komplexe Zahlen in der arithmetischen Darstellung. D. h., a, b, c und d sind Elemente von R. Wir addieren Z1 und Z2. Dazu schreiben wir beide Zahlen noch mal in ihrer arithmetischen Darstellung auf. Z1+Z2= (a+bi) + (c+di). Die Addition ist nun definiert als (a+c)+(b+d) × i. Da a+c Element von R und b+d Element von R gilt, ist die Summe in der arithmetischen Form dargestellt. Beispiel 1: Wir berechnen Z1+Z2, Zahlen Z1=(2+3i) und  Z2=(-1-i) =2-1+3i-i =1+2i Weiter zeigen wir, wie man zwei komplexe Zahlen subtrahiert. Zahlen wieder Z1=a+bi und Z2=c+di in der arithmetischen Darstellung gegeben. Wir berechnen Z1-Z2, wieder notieren wir die arithmetische Darstellung beider Zahlen. Es gilt Z1-Z2= (a+bi)-(c+di). Die Differenz beider Zahlen ist nun definiert als (a-c)+ (b-d) × i. Da a-c und b-d reell sind, haben wir die Differenz in der arithmetischen Darstellung angegeben. Beispiel 2: Zahlen wieder Z1=2+3i und Z2=-1-i. Es gilt Z1-Z2 = 2+3i-(-1-i) = 2+3i+1+i =3+4i Beispiel 3: Seien Z1=-\sqrt2+ 3i, Z2=1-1/2i, Z3=2\sqrt2-2i, Z4=-1+\sqrt2+1/2i. Wir berechnen Z1-Z2+Z3-Z4. Es gilt Z1-Z2+Z3-Z4, =-\sqrt2+3i-(1-1/2i)+2\sqrt2-2i-(-1+\sqrt2+1/2i) = -\sqrt2+3i-1+1/2i+2\sqrt2-2i+1-\sqrt2-1/2i Nun fassen wir alle rein reellen Zahlen zusammen. Also =-\sqrt2-1+2\sqrt2+1-\sqrt2 und alle rein imaginären Zahlen zusammen. Also +3i+1/2i-2i-1/2i. Für die reellen Summen ergibt sich die 0 und für die imaginären i, also gleich i. Heute haben wir gelernt, wie man zwei komplexe Zahlen Z1 und Z2 addiert und subtrahiert. Vielen Dank für die Ausmerksamkeit. Viel Spaß beim Lernen. Euer Dr. Vodopivec.

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5 Kommentare
  1. Default

    Hallo Sarah, hallo Herr Dr. Vodopivec, vielen Dank für die schnellen Antworten. Ich werde alles von vorn noch einmal durch spielen.
    Herzliche Grüsse Steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  2. Sarah2

    Steffen K.: Schau dir im Video noch einmal die Regeln zur Addition und Subtraktion an. Setze dann entsprechend die Zahlen aus der Aufgabe für a, b, c und d ein und bedenke, dass die Vorzeichen mit zu den einzelnen Werten gehören. Wenn du Schritt für Schritt mit der Langform rechnest (wie im Video vorgemacht), kommst du sicherlich auf das entsprechende Ergebnis. Ansonsten wende dich bitte an den Mathe-Fachchat, der täglich von 17-19 Uhr online ist.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    z+z'=3+1+4i-1/2i=(3+1)+(4-1/2)i=4+7/2i

    Von Dr. Vodopivec, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Hallo, bin irgendwie bei der Übungsaufgabe komplett gestolpert. Komme weder auf 9/2 noch 7/2. Können Sie mir bitte mit einer ausführlichen Lösung helfen?
    Danke Steffen Kaiser

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Hallo Herr Dr. Vodopivec,

    sehr gut erklärt, habe vorher noch nie mit komplexen Zahlen gerechnet aber trotzdem auf Anhieb verstanden!

    Gruß Florian

    Von Florianstotz7, vor fast 3 Jahren