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Transkript Rechnen mit komplexen Zahlen 3 - Division von komplexen Zahlen

Hallo liebe Schüler, liebe Studenten, hier ist Dr. Vodopivec. Heute werden wir zeigen, wie man komplexe Zahlen dividiert. Dazu geben wir zwei komplexe Beispiele an. Alle Ergebnisse werden wir in der arithmetischen Darstellung angeben. Also stellen wir im Folgenden eine komplexe Zahl Z in der Form Z:=a+bi da, dabei sind a und b reelle Zahlen. A heißt Realteil und die Zahl b Imaginärteil von Z. Das i wird als \sqrt-1 definiert. Weiter wiederholen wir die Definition des Betrages um der konjugierten, der komplexen Zahl Z. Der Betrag von Z wird definiert durch |Z|:=\sqrta²+b². Die Konjungierte von Z wird gekennzeichnet und definiert durch Z¯:=a-bi. Insbesondere gilt |Z|²=Z×Z¯. Zur Erinnerung, dass Rechnen in Komplexen entspricht dem Rechnen mit den Thermen in Reellen. Dabei gelten insbesondere Assoziativität-, Kommutativität-, und Distributivgesetze. Nun dividieren wir 2 komplexe Zahlen. Z1:=a+bi und Z2:=c+di mit a, b, c und d Elemente von R. Das heißt in der arithmetischen Darstellung. Es gilt Z1/Z2=a+bi/c+di=a+bi/c+di×c-di/c-di also die Brucherweiterung mit c-di. So erhalten wir =ac-adi+bci-bd²/(c²-(di))². Mit -bdi²=+bd erhalten wir =ac+bd-(ad-bc)i/(c²+d²). Nun trennen wir den Bruch ein rein reelles und ein rein imaginäres Teil, somit haben wir den Quotient Z1/Z2 in der arithmetischen Form dargestellt. Nun zeigen wir eine andere Möglichkeit, um das selbe Divisionsverhalten zu notieren. Also berechnen wir noch mal den Quotient Z1/Z2. Zuerst erweitern wir den Bruch mit der konjugierten Z2¯ um Z2, dann ergibt sich =(a+bi)×(c-di)/Z2×Z2¯, wobei gilt Z2×Z2¯=|Z2|², weiter gilt =ac+bd-(ad-bc)i/(c²+d²). Zum Schluss erhalten wir noch mal den Quotient in der arithmetischen Darstellung. Beispiel 1: Es sind Z1:=2-3i und Z2:=-5i gegeben, dann gilt Z1/Z2=2-3i/-5i=(2-3i)×5i/((-5i)×5i), also die Brucherweiterung mit 5i.Weiter gilt =10i-15i²/-25i² und mit i²=-1 erhält man =10i+15/25=15/25+10/25i=3/5+2/5i. Beispiel 2: Es sind Z1:=3+2i und Z2:=2+i gegeben, dann gilt Z1/Z2=3+2i/(2-i)=(3+2i(2+i)/((2-i)(2+i)), also eine Brucherweiterung mit 2+i. Nach dem Ausmultiplizieren der Klammern ergibt sich weiter =6+3i+4i+2i²/(4-i²) und mit i²=-1 erhält man =4+7i/5=4/5+7/5i. Heute haben wir gelernt, wie man 2 komplexe Zahlen dividiert. Dabei haben wir den Quotient in der arithmetischen Darstellung angegeben. Danke für die Aufmerksamkeit. Viel Spaß beim Lernen, Euer Dr. Vodopivec

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2 Kommentare
  1. Default

    Guten Abend Andy,

    ausführliche Rechnun in Minute 3:14:
    -bdi²=(-1)bdi²=(-1)bd(-1)=+bd

    Von Dr. Vodopivec, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Guten Abend Herr Vodopivec,

    wieso rechnen Sie bei der allgemeinen Rechnung in Minute 3:14 -bdi²=+bd? Ich verstehe nicht wie Sie darauf kommen?

    Danke schon mal im voraus.

    Viele Grüße

    Andy

    Von A Kuehr86, vor mehr als 3 Jahren